6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，以党代表赴京行程问题导入，通过座位编号、高考志愿选择等实例构建问题链，引导学生从具体情境抽象出原理，形成从实例到概念的学习支架。 其亮点在于结合二十大情境与生活实例，以问题驱动探究，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理规律的能力。通过对比表格明晰两原理区别，助力学生掌握逻辑方法，既提升应用意识，也为教师提供结构化教学资源。

6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 《普通高中教科书数学选择性必修第三册（人教A版2019）》 问题1 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜利召开，会议主题为“高举中国特色社会主义伟大旗帜，全面贯彻新时代中国特色社会主义思想，弘扬伟大建党精神，自信自强、守正创新，踔厉奋发、勇毅前行，为全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴而团结奋斗”。一名党代表A从甲地赴北京参加二十大，途中需要通过乙地进行中转。已知甲地到乙地每天有直达汽车6班，乙地到北京每天有3个航班和2列火车直达．请问该党代表A从甲地到北京参加二十大有多少种方案？ 新课引入 甲地 乙地 北京 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 探究规律 所以总共可以编出26+10=36种不同的号码. 问题2 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 问题3：你能说说这个问题的特征吗？ 问题4：你能举一些生活中类似的例子吗？总结其计数的方法吗？ 探究规律 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 M=m+n 种不同的方法.又称加法原理 探究规律 例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 例题讲解 解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数   N=5+4=9. 例题讲解 分类加法计数原理： 完成一件事,如果有n类方案, 且: 第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 问题5 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？ N=m1+m2+m3 规律升华 分类 计数 结论 将完成一件事的办法分成若干类 求出每一类中的方法数 将每一类中的方法数相加得最终结果 利用分类加法计数原理解题的一般思路： 注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事. 规律升华 　 问题6 用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字, 以A1, A2, … , A9, B1, B2, …的方式给教室里的一个座位编号, 总共能编出多少种不同的号码？ 规律升华 　　方法二：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有 6×9＝54 种不同的号码． 字母 数字 得到的号码 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来 　　左图是解决计数问题常用的”树状图”．你能用树状图列出所有可能的号码吗？ ？ 规律升华 问题7 你能说一说这个问题的特征吗? 规律升华 无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. 　　完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法． 一般地，有如下分步乘法计数原理： 注意：各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成, 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数, 又称乘法原理. 规律升华 例2 某班有男生30名，女生24名.从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 解：第1步, 从30名男生中选出1人, 有30种不同选择； 第2步, 从24名女生中选出1人, 有24种不同选择； 根据分步乘法计数原理，共有 30×24=720种不同方法. 分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步： 第一步, 选男生； 第二步,选女生. 规律升华 问题8 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事需要有n个步骤, 做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数为N=m1×m2×…×mn N＝m1×m2×m3 规律升华 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? 解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9； （2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4×3×2＝24. 规律升华 分步 计数 结论 将完成一件事的过程分成若干步 求出每一步中的方法数 将每一步中的方法数相乘得最终结果 利用分步乘法计数原理解题的一般思路： 注意：确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事. 规律升华 区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题. 区别一 完成一件事情共有n类 办法，关键词是“分类” 完成一件事情,共分n个 步骤，关键词是“分步” 每类办法中的任何一种方法都能独立完成这件事情. 每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成 这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情. 区别二 区别三 各类办法是互斥的、独立的 各步之间是相关联的 问题9 总结分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系？ 规律升华 18 回归情景：2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜利召开，会议主题为“高举中国特色社会主义伟大旗帜，全面贯彻新时代中国特色社会主义思想，弘扬伟大建党精神，自信自强、守正创新，踔厉奋发、勇毅前行，为全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴而团结奋斗”。一名党代表A从甲地赴北京参加二十大，途中需要通过乙地进行中转。已知甲地到乙地每天直达汽车6班，乙地到北京每天有3个航班和2列火车直达．请问该党代表A从甲地到北京参加二十大有多少种方案？ 答案：6×（3+2）=30（种）. 规律升华 1.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 答案：1.（1）N=5+6+4=15（种）； （2）5×6×4=120（种）； （3）5×6+5×4+6×4=74（种）. 当堂检测 20 通过本节课的学习,你有什么收获？ 课堂小结 必做题：练习第1、2、3、4题； 选做题：习题6.1第11题 课后思考：用两个计数原理解决问题时，你认为需要注意些什么？ 布置作业 $