6.1第1课时计数原理及其简单应用课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学 高中全程学习方略 新知初探·生思维之根 师生共研·开素养之花 人教A版 第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　计数原理及其简单应用 【学习目标】 1.了解两个计数原理的特征. 2.理解两个计数原理的概念与区别. 3.掌握两个计数原理的应用. 4.会根据实际问题的特征,合理地分类或分步. 【素养达成】 数学抽象 数学抽象 逻辑推理、数学运算 逻辑推理 返回 新知初探·生思维之根 返回 一、分类加法计数原理 【点睛】 (1)每类方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事. (2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥”. 返回 【思考】 完成一件事,有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 提示:分类加法计数原理可以推广,因此,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 返回 二、分步乘法计数原理 【点睛】 (1)每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事. (2)各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依”. 返回 【思考】 如果完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有多少种不同的方法? 提示:分步乘法计数原理可以推广,因此,完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 返回 【明辨是非】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) 提示:在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的. (2)用分类加法计数原理解决实际问题时,分类标准是唯一的.( ) 提示:分类标准并不唯一,但应先确定一个适合的分类标准,然后在这个标准下进行分类. × × 返回 (3)从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车 发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为24.( ) 提示:根据分类加法计数原理可得,一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为 3+4+2=9. (4)现有4件不同款式的上衣与3条不同颜色的长裤,如果一件上衣和一条长裤配成 一套,则不同的搭配方法有12种.( ) 提示:因为选定1件上衣时,有不同颜色的裤子3条,所以1件上衣有3种不同的搭配方 法,所以共有3×4=12(种)不同的搭配方法. × √ 返回 师生共研·开素养之花 返回 类型一 分类加法计数原理(逻辑推理) 【典例1】(1)一个三层书架,分别放置语文类读物12本,政治类读物14本,英语类读物11本,每本图书各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有(　　) A.3种 B.1 848种 C.37种 D.6种 【解析】选C.根据题意,分3种情况讨论: 若取出的书为语文类读物,有12种取法;若取出的书为政治类读物,有14种取法; 若取出的书为英语类读物,有11种取法,则共有12+14+11=37(种)取法. √ 返回 (2)(一题多解)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为　　　　.  【解析】方法一:根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中 满足题目条件的两位数依次有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知, 符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 方法二:分析个位数字,可分以下几类: 个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故共有8个; 个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故共有7个; 同理,个位是7的有6个;…;个位是2的有1个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 答案:36 返回 (3)已知a,b∈{0,1,2,…,9},若满足|a-b|≤1,则称a,b“心有灵犀”.则a,b“心有灵犀”的情形共有　　　　　种.  【解析】当a为0时,b只能取0,1两个数;当a为9时,b只能取8,9两个数; 当a为其他数时,b都可以取三个数,例如a=1时,b可取0,1,2. 综上,一共有2+2+3×8=28(种)情形. 答案:28 返回 【总结升华】 利用分类加法计数原理计数时的解题流程   提醒:确定分类标准时,一方面要做到分类“不重不漏”,另一方面要确保每一类都能独立地完成这件事. 返回 【即学即练】 1.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有(　　) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 【解析】选C.不同的选派情况可分为3类:若选甲、乙,有2种方法;若选甲、丙,有1种方法;若选乙、丙,有1种方法.根据分类加法计数原理知,不同的选派方法有2+1+1=4(种). √ 返回 2.用1,3,5,7中的任意一个数为分子,2,4,8,9中的任意一个数为分母,则可构成真分数的个数为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】选D.分四类:①当分子为1时,有,,,,共4个真分数;②当分子为3时,有,,=,共3个真分数;③当分子为5时,有,,共2个真分数;④当分子为7时,有,,共2个真分数.根据分类加法计数原理知,可构成4+3+2+2=11(个)真分数. √ 返回 类型二 分步乘法计数原理(逻辑推理) 【典例2】(1)(易错·对对碰) ①4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,则不同的报名方法数为　　　　　.  ②4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得),则不同的冠军结果数为　　　　.  返回 【解析】①因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=81(种)报名方法. 答案:81 ②因为每项冠军只能由一人获得,三项冠军都有得主这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步,而每项冠军是四人中的某一人,有4种可能的情况,于是共有4×4×4=64(种)可能的冠军结果. 答案:64 返回 (2)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成的不同的二次函数共　　　　个,其中不同的偶函数共　　　　个.(用数字作答)  【解析】一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知,共有不同的二次函数3×3×2=18(个). 若二次函数为偶函数,则b=0.a的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知,共有不同的偶函数3×2=6(个). 答案:18　6 返回 【总结升华】 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程   提醒:注意完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可. 返回 【即学即练】 1.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有(　　) A.48种 B.36种 C.24种 D.12种 【解析】选B.由题意可知,分三步完成: 第一步,从2种主食中任选1种有2种选法; 第二步,从3种素菜中任选1种有3种选法; 第三步,从6种荤菜中任选1种有6种选法. 根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法. √ 返回 2.从集合{0,1,2,3,4}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有(　　) A.10个　 B.12个　 C.16个　 D.20个 【解析】选C.因为a,b互不相等且a+bi为虚数,所以b只能从{1,2,3,4}中选一个,有4种, a从剩余的4个中选一个,有4种,所以根据分步乘法计数原理知虚数有4×4=16(个). √ 返回 类型三 两类计数原理的简单综合问题(逻辑推理、数学运算) 【典例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同取法? (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法? 【解析】(1)从书架上任取1本书,有三类方案:第1类方案是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类方案是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类方案是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数为4+3+2=9. (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,可以分三个步骤完成:第1步,从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步,从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3步,从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为4×3×2=24. 返回 【总结升华】 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 返回 【即学即练】 1.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标. (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个? 【解析】(1)可分为两类:A中元素为x,B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×4+4×3=24(个)不同的点. (2)位于第一象限的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数,共有2×2+2×2=8(个)不同的点. 返回 2.某公园休息处东面有8个空闲的凳子,西面有6个空闲的凳子,小明与爸爸来这里休息. (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐),有几种坐法? (2)若小明与爸爸分别就坐,有多少种坐法? 返回 【解析】(1)小明爸爸选凳子可以分两类: 第一类:选东面的空闲凳子,有8种坐法; 第二类:选西面的空闲凳子,有6种坐法. 根据分类加法计数原理,小明爸爸共有8+6=14(种)坐法. (2)小明与爸爸分别就坐,可以分两步完成: 第一步,小明先就坐,从东西两面共14个凳子中选一个坐下,共有14种坐法;小明坐下后,空闲凳子数变成13, 第二步,小明爸爸再就坐,从东西两面共13个空闲凳子中选一个坐下,共13种坐法. 由分步乘法计数原理,小明与爸爸分别就坐共有14×13=182(种)坐法. 返回 数学 高中全程学习方略 $