6.2第2课时排列的应用课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2　排列与组合 第2课时　排列的应用 目 标 素 养 1.进一步加深对排列定义的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的实际问题. 3.通过本节学习,继续提升数学抽象、数学运算与数学建模的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.排列数公式 另外,我们规定0!=1. 微思考 前面学过的计数方法有哪些? 提示:枚举法、分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列数法. 2.解决排列应用题的常用方法 (1)位置分析法:以位置为主,特殊(受限)的位置优先考虑.有两个以上的约束条件时,往往根据其中的一个条件分类处理. (2)元素分析法:以元素为主,先满足特殊(受限)元素的要求,再处理其他元素.若有两个以上的约束条件,往往考虑一个元素的同时,兼顾其他元素. (3)间接法:也叫排异法,直接考虑时情况较多、不易计算,但其对立面情况较少,相对来讲比直接解答简捷,可以先求出对立面,再从总体情况中减去. (4)插空法:首先把无限制的元素排好,然后将不能相邻的元素插入排好的元素形成的空中.要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数,此方法适用于“不相邻”问题的排列. (5)捆绑法:把要求捆绑在一起的相邻元素看成一个整体,与其他元素进行排列,同时需要考虑捆绑元素的内部排序.此法适用于“相邻”问题的排列. 微训练 (1)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为　　　　　.  答案:48 (2)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有　　　　　种.  答案:24 解析:把A,B视为一个整体,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,不同的排法共 =24种. (3)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三种不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有　　　　种.  答案:186 课堂·重难突破 一 无限制条件的排列问题 典例剖析 1.(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有7种不同的书,每种书数量足够多,要买3本送给3名同学,每人1本,共有多少种不同的送法? 解:(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列,共有 =7×6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343种不同的送法. 规律总结 1.典型的排列问题,用排列数计算其排列方法数. 2.非典型的排列问题,用计数原理计算其排列方法数. 3.在排列问题中元素不能重复选取,而在用分步乘法计数原理解决的问题中,元素可以重复选取. 学以致用 1.(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法? (2)有5个不同的科研小课题,高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加,每组限报一个课题,共有多少种不同的报名方法? 解:(1)从5个不同的课题中选出3个,由兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列,因此不同的安排方法有 =5×4×3=60种. (2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研小课题,因此元素可以重复,不是排列问题. 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择,且3个小组都选择完才算完成这件事,由分步乘法计数原理,共有5×5×5=125种报名方法. 二 排队问题 典例剖析 2.有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在正中间或者两边位置; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. 规律总结 1.排队问题的解题策略 (1)合理归类,先将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题、定序问题等,再针对每一类采用相应的方法解题. (2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理. (3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果. 2.元素相邻和不相邻问题的解题策略 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法,即先把相邻元素看作一个整体,再与其他元素排列 元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列形成的空中 学以致用 2.3名女生和5名男生排成一排: (1)如果女生全排在一起,那么有多少种不同的排法? (2)如果女生互不相邻,那么有多少种不同的排法? (3)如果女生不站两端,那么有多少种不同的排法? (4)如果甲、乙两人必须站两端,那么有多少种不同的排法? (5)如果甲不站左端、乙不站右端,那么有多少种不同的排法? 三 数字排列问题 典例剖析 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的: (1)六位奇数? (2)个位数字不是5的六位数? (3)不大于4 310的四位偶数? (方法三)(间接法) (2)(方法一)(间接法) (方法二)(间接法)首位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同.因此需分两类: (3)(直接法) 规律总结 数字排列问题常见的解题方法 (1)“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. (2)“分类讨论法”:先按照某一标准将排列分成几类,再按照分类加法计数原理进行.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏. (3)“间接法”:全排列数减去不符合条件的排列数. (4)“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好. 学以致用 3.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中,所有奇数的个数有多少? (2)在组成的五位数中,数字1和3相邻的个数有多少? (3)在组成的五位数中,若从小到大排列,30 124排第几个? 随堂训练 1.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为(　　) A.36 B.120 C.240 D.720 答案:D 2.6名选手依次演讲,其中甲选手不排在第一个也不排在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有(　　) A.240种 B.360种 C.480种 D.720种 答案:C 3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案:B 4.5位母亲带领5名儿童站成一排照相,儿童不相邻的站法有 　　　　　种.  答案:86 400 5.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为　　　　　.  24 6.有3名男生4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中男生甲不在最左边; (2)全体排成一行,其中4名女生必须排在一起; (3)全体排成一行,3名男生两两不相邻. $