精品解析：2026年河南省信阳市多校中考调研数学试卷

2026年九年级中考调研数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 有理数2024的绝对值是（       ） A. 2024 B. C. D. 2. 河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 3. 砚台与笔，墨，纸是传统的文房四宝，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 圆周率π是无限不循环小数，历史上，数学家张衡，刘徽，祖冲之，阿基米德等都对π有过深入研究，其中我国数学家刘辉首创“割圆术”来确定圆周率．某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上四位数学家的画像中随机选取两幅，则选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（ ） A. B. π C. D. 2π 10. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若有意义，的值可以是______（写出一个即可） 12. 不等式组的解集为______． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 14. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为___________． 15. 如图，，点D为上一定点，，点E为射线上一动点，关于对称的图形为（点B的对称点为点F），连接．若是直角三角形，则的长为________． 三、解答题（每题3分，共15分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2026绿色发展科技创新大会，以践行绿色发展理念、交流绿色发展经验为目标，努力以科技创新成果服务生态文明建设和环境保护．为了提高学生的绿色发展意识，某校举办了以“绿色发展”为主题的知识大赛，试卷共10题，每题10分，赛后从七年级和八年级各随机抽取了8名同学的成绩（成绩：分），收集数据如下： 八年级：70　90　80　80　90　100　100　90 分析、整理数据： 平均数 中位数 众数 七年级 a 80 c 八年级 87.5 b 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出表格中a，b，c的值； （2）若该校七、八年级各有600名学生参加此次知识大赛，请估计拿到满分的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 18. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 20. 如图，，，，是上的四个点，，交于点，，． （1）求的长； （2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 21. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材1 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为． 素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩． 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． （1）任务一：以的中点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）任务二：确定桥墩位置，求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）； （3）任务三：拟定设计方案，给出一种广告牌的设计方案，并根据你所建立的坐标系，求出矩形广告牌左上方顶点的坐标． 23. 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．    【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考调研数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 有理数2024的绝对值是（       ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的意义作答即可 【详解】有理数2024的绝对值是2024 故选：A 2. 河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：∵万， 故选：B． 3. 砚台与笔，墨，纸是传统的文房四宝，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：从上面看到的是一个正方形及正方形内与正方形无交点的一个圆，故选项C符合题意． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，由垂直的定义求出，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：， ，，， ， 方程由两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 7. 圆周率π是无限不循环小数，历史上，数学家张衡，刘徽，祖冲之，阿基米德等都对π有过深入研究，其中我国数学家刘辉首创“割圆术”来确定圆周率．某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上四位数学家的画像中随机选取两幅，则选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过画树状图或列表的方法得到所有等可能的情况和符合要求的情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将张衡，刘徽，祖冲之，阿基米德四位数学家分别记作甲，乙，丙，丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∵共有12种等可能的结果，其中选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的结果有6种结果， ∴选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率． 8. 某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在中，米，， ∴，即， ∴飞机A到控制点B的距离为． 9. 如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可． 【详解】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm， ∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°， ∵EF两点的速度均为1cm/s， ∴当0≤x≤2时，y＝•DE•DF•sin∠CDB＝x2， 当2≤x≤4时，y＝•AE•BF•sin∠B＝−x2＋x， 由图象可知A正确， 故选A． 【点睛】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若有意义，的值可以是______（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一） 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴直线为，结合题意，当时，随的增大而减小，可得图象开口向上，，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∵当时，随的增大而减小， ∴二次函数图象开口向上， ∴， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） ． 14. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将正方形拆解拼成另一个没有缝隙的等腰三角形，再利用面积相等得到相关边的长度关系． 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，根据题意得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比即可． 【详解】解：如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形， 设， 根据题意，得 ， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ． 故答案为：． 15. 如图，，点D为上一定点，，点E为射线上一动点，关于对称的图形为（点B的对称点为点F），连接．若是直角三角形，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称的性质可得，，因为是直角三角形，所以需要分三种情况讨论直角顶点：①，②，③，排除不可能的情况，对成立的情况分别解答． 【详解】根据对称的性质可得，， ∴； 如答案图①，当时， 此时， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如答案图②，当时， 过点C作于点H， 则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 由对称可知，， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的长为2或12． 三、解答题（每题3分，共15分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂进行计算即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 17. 2026绿色发展科技创新大会，以践行绿色发展理念、交流绿色发展经验为目标，努力以科技创新成果服务生态文明建设和环境保护．为了提高学生的绿色发展意识，某校举办了以“绿色发展”为主题的知识大赛，试卷共10题，每题10分，赛后从七年级和八年级各随机抽取了8名同学的成绩（成绩：分），收集数据如下： 八年级：70　90　80　80　90　100　100　90 分析、整理数据： 平均数 中位数 众数 七年级 a 80 c 八年级 87.5 b 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出表格中a，b，c的值； （2）若该校七、八年级各有600名学生参加此次知识大赛，请估计拿到满分的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 【答案】（1） （2）225名 （3）从中位数看，七年级有一半的学生成绩不低于80分，八年级有一半的学生成绩不低于90分．（或从众数看，七年级学生成绩为80分的人数最多，八年级学生成绩为90分的人数最多） 【解析】 【分析】（1）从七年级条形统计图提取各分数段的人数，得到8名学生的全部成绩，用七年级成绩总和除以8即可得到．先将八年级8个成绩从小到大排序，因为数据个数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，取第4、第5个成绩计算平均值得到．统计七年级各成绩出现的次数，找出出现次数最多的成绩即为． （2）先分别统计抽取的七年级、八年级8名学生里满分的人数，计算出两个年级样本的满分率，分别用七、八年级总人数600乘各自的满分率，相加得到总满分人数． （3）解释统计量意义：如果选中位数，就结合中位数代表数据中等水平的含义，对应本题说明该年级一半学生的成绩不低于这个数值；如果选众数，就结合众数代表数据出现最多的水平的含义，对应本题说明该年级得分人数最多的成绩是这个数值． 【小问1详解】 解：根据条形图整理七年级成绩：， 对八年级成绩排序得：． 七年级平均数： ． 八年级中位数：8个数据的中位数为第4、5个数的平均数， ． 七年级众数：80分出现次数最多， 故． 最终结果：． 【小问2详解】 解：样本中，七年级8人有1人满分，八年级8人有2人满分， ∴（名）． 答：估计拿到满分的总人数为人． 【小问3详解】 略 18. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】（1）正确， 证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2） 证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）k 【解析】 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 20. 如图，，，，是上的四个点，，交于点，，． （1）求的长； （2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】（1）； （2）选择条件：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择条件：是的直径，如图， 由圆周角定理得， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择条件：，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径， 要使，则需是的直径，题意没有说明， 故选择条件：不能证明． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由等腰三角形的性质得出，再根据圆周角定理得，故有，证明，再通过相似三角形的性质即可求解； （）条件：：，由，则，根据等腰三角形的性质得出，则，从而求解；选择条件：是的直径，由圆周角定理得，证明，通过相似三角形的性质和勾股定理则求出，从而求解；选择条件：，要使，则需是的直径，题意没有说明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 21. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 【答案】（1）场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为 （2）场景B 【解析】 【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得； （2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为， 将，代入，得， 解得， ∴； 场景B中随变化的函数关系为， 将，代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：场景A中当时，； 场景B中，将代入，得，解得， ∵， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材1 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为． 素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩． 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． （1）任务一：以的中点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）任务二：确定桥墩位置，求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）； （3）任务三：拟定设计方案，给出一种广告牌的设计方案，并根据你所建立的坐标系，求出矩形广告牌左上方顶点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）∵矩形广告牌的面积为，且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）： ①；②；③；④；⑤；⑥． ∵拱桥的最高点到的距离， ∴方案①，②，③不符合题意． ∵， ∴方案⑥不符合题意． 方案④：当时，． 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为． ∵， ∴方案④可以满足要求． 此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是． 方案⑤： 当时，． 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为． ∵， ∴方案⑤可以满足要求． 此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是． 综上所述，共有两种设计方案： 方案一：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是． 【解析】 【分析】（1）以的中点为原点，建立平面直角坐标系，则桥拱最高点的坐标为，得出，设抛物线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求解即可； （3）根据矩形的长、宽均为整数，矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）：①；②；③；④；⑤；⑥，逐个分析得出方案④⑤可以满足要求，进而得出矩形广告牌右上方顶点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系，则桥拱最高点的坐标为， ∵， ∴， ∴． 设抛物线的解析式为， 则， 解得． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则，解得，， ∵， ∴两个桥墩之间的距离是． 【小问3详解】 略 23. 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．    【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）如图1， 取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图2， 在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3， ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $