精品解析：山西忻州一中2027届高三方向卷（四）

忻州一中2027届高三方向卷（四） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为； 再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为， 旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长， 所以． 2. 设在上的最小值为0，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系，讨论函数在区间上的最小值，令其等于解得的值，再取交集即可得到元素个数. 【详解】函数． 要求在上的最小值为0． 当时，对称轴在区间左侧，函数在上递增，最小值为，最小值小于，矛盾． 当时，对称轴在区间内，最小值为． 令，得． 当时，对称轴在区间右侧，函数在上递减，最小值为，最小值小于，矛盾． 所以，又，即， 故，元素个数为2． 3. 随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得出，再根据古典概型概率公式即可求解． 【详解】由，， 得． 要使，即． 由于，独立且均等可能取，1，共有4种等可能情况：，，，． 满足和为0的有2种，所以所求概率为． 4. 已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 5. 已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 6. 由0，1组成的长度为5的序列中，把连续出现的一段1称为一个“1块”．例如，序列10110中有两个“1块”．则长度为5且恰有两个“1块”的0，1序列共有（ ） A. 10个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 【答案】C 【解析】 【分析】对长度为5的0，1序列中含1的个数分别讨论求解. 【详解】若有2个1，要形成两个“1块”，则这两个1不能相邻．从5个位置中选2个不相邻的位置，有种； 若有3个1，要形成两个“1块”，这3个1必须分成长度为1和2的两块， 即共6种； 若有4个1，要形成两个“1块”，必须是四个1被一个0分开，且这个0不能在两端，所以有3种； 若有5个1，只有一个“1块”，不符合． 所以共有个． 7. 数列满足，，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】应用递推公式逐个计算求解. 【详解】由， 依次计算： 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，所以． 8. 已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】就或或分类讨论后可求实数的和. 【详解】由可得函数图象关于直线对称． 因为集合中恰有两个元素， 故或或， 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 所以所有满足条件的实数的和为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. （多选题）从所有长度为4的0，1序列中随机取一个，每个序列被取到的概率相同．定义该序列的“变化次数”T：若相邻两项不同，则记为一次变化．例如，序列0010的变化次数为2．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 为偶数 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出所有长度为4的0，1序列（共个），再计算每个序列的“变化次数”取值的概率判断. 【详解】长度为4的0，1序列共有个． 时，序列有共2个； 时，序列有共6个； 时，序列有共6个； 时，序列有共2个. 所以，A正确； ，B正确； ，故C错误； 为偶数，D正确． 10. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. 方程有且仅有一个实根 C. 对任意，函数关于单调递增 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性，即可判断A；令，利用导数确定其单调性，即可确定零点个数，即可判断B；因为，利用导数可确定其单调性，从而判断C；举反例判断D. 【详解】由，得． 当时，；当时，． 所以在处取得最小值．故A正确； 方程 等价于， 即， 令． 则， 且． 除外，， 故严格递增，只有一个零点0．所以方程有且仅有一个实根．故B正确． 对任意，． 对求导得． 所以关于单调递增．故C正确． 当时，． 令，有． 故不可能对任意都有．D错误． 11. 点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为 C. 当取得最大值时， D. 满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角换元，令，，，将椭圆上的点用三角形式表示，转化为三角函数的最值问题，再逐一判断各选项. 【详解】点在椭圆的第一象限部分运动，所以可令，，． 矩形面积为，因此，所以A正确； 矩形周长为，（其中且为锐角）， 当时，取最大值，所以B正确； 当取得最大值时，，所以． 此时，，于是， 故，所以C错误； 若，则，在内有两个解，因此满足条件的点有且仅有两个．所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为____． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为，， 所以展开式中的系数为． 13. 已知函数．若的最大值为2，且，，则____． 【答案】 【解析】 【详解】由，则其最大值为， 已知的最大值为2，故， 又，因此，即， 求导得，， 题设，故， ． 14. 定义数列的“局部弯曲量”为．已知，则____． 【答案】36 【解析】 【分析】由递推式可得，再根据，分别求出、、的值，即可得答案. 【详解】由， 及， 得． 计算：，，． 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某设备连续记录5次信号，每次信号只可能为0或1．设第次记录为，其中，，且，，，，相互独立．把连续出现的一段1称为一个“1块”．例如，记录10110中有两个“1块”．设随机变量表示5次记录中的“1块”个数． （1）当时，求恰有两个“1块”的概率； （2）求； （3）求的最大值，并说明取等条件． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，当且仅当时取得 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合组合计算可得所求的概率； （2）法1：根据排列组合的计算方法求出分布列后可求数学期望；法2：利用期望的线性可加性可求期望； （3）根据二次函数的性质可求期望的最大值. 【小问1详解】 当时，所有长度为5的0，1序列等可能，共个． 若5次记录中有2个1，要恰有两个“1块”，则这个两个1不相邻，故有个； 若有3个1，要恰有两个“1块”，则3个1分成两段，长度只能为1和2，共有个； 若有4个1，要恰有两个“1块”，说明4个1被唯一一个0分开， 且该0不能在首尾，所以有3个． 若有5个1，只有一个“1块”，不符合． 所以恰有两个“1块”的序列共有个．因此． 【小问2详解】 法1：可取， 而， 结合（1）中分析可得， 而时， 若5次记录有且只有一个1，则对应的概率为； 若5次记录有且只有两个1，则对应的概率为； 若5次记录有且只有三个1，则对应的概率为； 若5次记录有且只有四个1，则对应的概率为； 若5次记录有且只有五个1，则对应的概率为； 故， 又， 故 ， 化简得， 法2：“1块”的开始位置有两类． 第一类：第1位就是1，它会开启一个“1块”．记， 则． 第二类：从第位开始一个新“1块”，其中．这要求，． 记，则． 于是． 由期望的线性可加性得． 【小问3详解】 因为，所以． 当且仅当时取等，故的最大值为． 16. 在中，设，．已知，，，． （1）求，； （2）求与； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量模的运算性质及已知条件，求出与的值，再逆用韦达定理求解即可.； （2）结合题意得到，再结合平面向量的性质得到. （3）利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 设，．由题意得，， 又，，由， 得．解得． 又，故． 代入，得，解得． 因此，是方程的两个根，解得． 由于，所以，，故，． 【小问2详解】 由题意得角是向量与的夹角， 所以，又． 于是． 可得． 【小问3详解】 由，得到． 由三角形面积公式得. 17. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求： （1）点的轨迹； （2）的最小值； （3）该轨迹的长度． 【答案】（1）设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，点的轨迹为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据题设中的几何条件即可求解； （2）根据空间两点的距离公式及二次函数即可求解最小值； （3）根据点的轨迹即可求解． 【小问1详解】 建立空间直角坐标系：，，，． 则，， 设， 则，其中，且， 点到平面的距离为． 点到平面的距离为． 点到平面的距离为． 因为，，依次成等差数列，所以． 即，解得， 设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 由，可知，点的轨迹为线段. 【小问2详解】 ,， 所以当时，取得最小值，最小值为. 【小问3详解】 因为，点的轨迹为， 所以，即轨迹的长度为. 18. 已知抛物线．对任意，设，是方程的两个根．抛物线上参数分别为，的两点记为，．设线段的中点为． （1）求直线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）令，并记．设为三角形的面积，求的表达式，并判断数列的单调性． 【答案】（1）：； （2），； （3），数列单调递增 【解析】 【分析】（1）通过韦达定理表示出直线方程即可. （2）利用韦达定理表示出坐标后通过消参数法求出其轨迹方程即可. （3）通过面积割补法计算出三角形面积后并判断其单调性. 【小问1详解】 由题意，，是方程． 的两个根，所以，． 由于，方程有两个不同正根． 对抛物线， 参数为，的两点，， 解得斜率， 方程为， 代入，， ， 得． 所以：． 【小问2详解】 点为的中点，其横坐标为． 又． 所以． 其纵坐标为． 因此． 设，则，． 所以轨迹方程为，． 【小问3详解】 由，得． 令． 则，． 作直线轴， 通过割补法将三角形面积分解为， 可求得三角形的面积为 代入，得． 由于随正整数增大而增大，所以数列单调递增． 19. 已知函数．对每个正整数，记，为函数图象上的两点．设，且曲线在处的切线与直线平行． （1）证明：这样的存在且唯一； （2）求； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）设，则， 根据拉格朗日中值定理，在区间上至少存在一点， 使得，所以存在， 因为，所以． 令， 又因为严格增函数，所以满足条件的是唯一的. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据指数函数得出单调性，再结合对数函数单调性即可证明； （2）根据切线与直线平行，得出即可求解； （3）利用等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线的斜率为． 曲线在处的切线斜率为． 因该切线与直线平行，所以． 两边取自然对数，得． 【小问3详解】 由，及． 得． 因此，又=，所以=. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2027届高三方向卷（四） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 设在上的最小值为0，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 由0，1组成的长度为5的序列中，把连续出现的一段1称为一个“1块”．例如，序列10110中有两个“1块”．则长度为5且恰有两个“1块”的0，1序列共有（ ） A. 10个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 7. 数列满足，，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. （多选题）从所有长度为4的0，1序列中随机取一个，每个序列被取到的概率相同．定义该序列的“变化次数”T：若相邻两项不同，则记为一次变化．例如，序列0010的变化次数为2．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 为偶数 10. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. 方程有且仅有一个实根 C. 对任意，函数关于单调递增 D. 对任意，都有 11. 点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为 C. 当取得最大值时， D. 满足的点有且仅有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为____． 13. 已知函数．若的最大值为2，且，，则____． 14. 定义数列的“局部弯曲量”为．已知，则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某设备连续记录5次信号，每次信号只可能为0或1．设第次记录为，其中，，且，，，，相互独立．把连续出现的一段1称为一个“1块”．例如，记录10110中有两个“1块”．设随机变量表示5次记录中的“1块”个数． （1）当时，求恰有两个“1块”的概率； （2）求； （3）求的最大值，并说明取等条件． 16. 在中，设，．已知，，，． （1）求，； （2）求与； （3）求的面积． 17. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求： （1）点的轨迹； （2）的最小值； （3）该轨迹的长度． 18. 已知抛物线．对任意，设，是方程的两个根．抛物线上参数分别为，的两点记为，．设线段的中点为． （1）求直线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）令，并记．设为三角形的面积，求的表达式，并判断数列的单调性． 19. 已知函数．对每个正整数，记，为函数图象上的两点．设，且曲线在处的切线与直线平行． （1）证明：这样的存在且唯一； （2）求； （3）设，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $