全册综合检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

[阶段质量评价]　　　　　　　　 全册综合检测 A卷——基本知能盘查 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a3+a6=25,S5=40,则数列{an}的公差d= (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选B　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a3+a6=25及S5=40,得解得d=3.故选B. 2.函数f(x)=cos x(sin x+1)的导数是 (　　) A.cos 2x+sin x B.cos 2x-sin x C.cos 2x+cos x D.cos 2x-cos x 解析:选B　由f(x)=cos x(sin x+1),得f'(x)=-sin x(sin x+1)+cos x·cos x=cos2x-sin2x-sin x=cos 2x-sin x.故选B. 3.已知各项都是正数的等比数列{an},Sn为其前n项和,且S3=10,S9=70,那么S12= (　　) A.150 B.200 C.150或-200 D.200或-150 解析:选A　由题意,设等比数列{an}的公比为q,其中q>0,因为S3=10,S9=70,所以q≠1,可得S3==10,S9==70,两式相除,可得==q6+q3+1=7,即q6+q3-6=0,解得q3=2或q3=-3(舍去),把q3=2,代入=10,可得=-10,所以S12==×[1-(q3)4]=-10×(1-24)=150.故选A. 4.若函数f(x)=ln x-,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由函数f(x)=ln x-,因为y=ln x在定义域内单调递增,y=-在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)=ln x-在区间(0,+∞)上单调递增,所以只需1-x>2x-1>0,得<x<.故选C. 5.已知数列{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,则a2 019+b9= (　　) A.2 025 B.2 529 C.2 026 D.2 275 解析:选D　设等比数列{bn}的公比为q(q>0),由b3=b2+2,得b1q2=b1q+2,∵b1=1,∴q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍去).∴bn=2n-1,∴b4=23=8,b5=24=16.∵数列{an}是等差数列,设公差为d,由b4=a3+a5,b5=a4+2a6,得解得∴an=n,∴a2 019+b9=2 019+28=2 275.故选D. 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=,S6=9S3,若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是 (　　) A.-35 B.-25 C.25 D.35 解析:选C　设等比数列{an}的公比为q,由题意易知q≠1,则解得所以an=×2n-1=2n-3,所以bn=n-3,所以数列{bn}的前10项和T10==5×(-2+7)=25.故选C. 7.已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f'(x)+>0,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当b>a时,有 (　　) A.af(b)>bf(a) B.af(b)<bf(a) C.af(a)<bf(b) D.af(a)>bf(b) 解析:选C　由题意知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f'(x)+>0,所以>0,令F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x),则当x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增,当x<0时,F'(x)<0,F(x)单调递减,因为a,b∈(0,+∞),当b>a时,F(b)>F(a),即af(a)<bf(b),故选C. 8.已知函数y=a+2ln x的图象上存在点P,函数y=-x2-2的图象上存在点Q,且P,Q关于原点对称,则a的取值范围是 (　　) A.[3,e2] B.[e2,+∞) C. D. 解析:选A　函数y=-x2-2的图象与函数y=x2+2的图象关于原点对称,若函数y=a+2ln x的图象上存在点P,函数y=-x2-2的图象上存在点Q,且P,Q关于原点对称,则函数y=a+2ln x的图象与函数y=x2+2的图象有交点,即方程a+2ln x=x2+2有解,即a=x2+2-2ln x有解.令f(x)=x2+2-2ln x,则f'(x)=,当x∈时,f'(x)<0,当x∈(1,e]时,f'(x)>0,故当x=1时,f(x)取最小值3,由f=+4,f(e)=e2,故当x=e时,f(x)取最大值e2,故a∈[3,e2],故选A. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知数列{an}是正项等比数列,且+=,则a5的值可能是 (　　) A.2 B.4 C. D. 解析:选ABD　∵数列{an}是正项等比数列,∴a3>0,a7>0,由=+≥2==,当且仅当=,即a3=,a7=时等号成立,即a5≥2,符合题意的有A、B、D.故选ABD. 10.下列命题不正确的是 (　　) A.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n-1,则数列{an}是等差数列 B.若等差数列{an}的公差d>0,则{an}是递增数列 C.常数列既是等差数列,又是等比数列 D.若等比数列{an}是递增数列,则{an}的公比q>1 解析:选ACD　对于A,{an}的前n项和Sn=An2+Bn,A错误;对于B,若d>0,即an+1-an=d>0,则an+1>an,{an}是递增数列,B正确;对于C,当an=0时,该常数列不是等比数列,C错误;对于D,等比数列{an}是递增数列,当a1<0时,0<q<1;当a1>0时,q>1,D错误.故选ACD. 11.已知函数f(x)=exx3,则以下结论正确的是 (　　) A.f(x)在R上单调递增 B.f(log52)<f<f(ln π) C.方程f(x)=-1有实数解 D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解 解析:选BCD　由函数f(x)=exx3求导,则f'(x)=exx3+ex×3x2=x2ex(x+3),当x<-3时,f'(x)<0,当x>-3时,f'(x)>0,故函数f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,A错误;因为0<log52<,<<1,ln π>1,根据单调性知f(log52)<f()<f(ln π),B正确;f(0)=0,f(-3)=-<-1,且函数f(x)在(-∞,-3)上单调递减,故方程f(x)=-1有实数解,C正确;方程f(x)=kx,易知当x=0时成立,当x≠0时,k==exx2,设g(x)=exx2,则g'(x)=exx(x+2),当x<-2或x>0时,g'(x)>0,当-2<x<0时,g'(x)<0,故函数g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)内单调递减,且g(-2)=.画出函数g(x)的图象,如图所示,当0<k<时有3个交点. 综上所述,存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解,D正确.故选BCD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)(2025·新课标Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  解析:由题意,得f'(x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3x+2),∵x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点, ∴f'(2)=0,得a=2,∴f(x)=(x-1)(x-2)2, 经检验知x=2是极值点, ∴a=2符合题意.故f(0)=-4. 答案:-4 13.(5分)已知数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若1≤a2≤5,2≤a3≤7,则S6的取值范围是　　　　.  解析:设数列{an}的公差为d,依题意有设S6=6a1+15d=x(a1+d)+y(a1+2d),由解得则两式相加得3≤S6≤60,即S6的取值范围是[3,60]. 答案:[3,60] 14.(5分)已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sin x,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是　　　　.  解析:f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),∵f'(x)=1+cos x≥0,∴f(x)在内单调递增.∵>π-2>1>π-3>0,∴f(π-2)>f(1)>f(π-3),即c<a<b. 答案:c<a<b. 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围. 解:由已知条件,得f'(x)=2a+, ∵f(x)在(0,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立, 而g(x)=-(x∈(0,1])在(0,1]上是增函数, ∴g(x)max=g(1)=-.∴a≥-. ∴a的取值范围是. 16.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N*),且a1=1. (1)求数列{an}的通项公式;(5分) (2)记bn=,Tn为{bn}的前n项和,求使Tn≥成立的n的最小值.(10分) 解:(1)由-=1,得数列{}是公差为1的等差数列, 又∵==1,∴ =n,∴Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又∵a1=1也满足上式,∴an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)知,bn==, ∴Tn=++…+==. 由Tn≥得n2≥4n+2,得(n-2)2≥6, ∴n≥5,∴n的最小值为5. 17.(15分)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:f'(x)在区间存在唯一极大值点. 证明:由题意可得f'(x)=cos x-, 设g(x)=f'(x),则g'(x)=-sin x+. 当x∈时,因为y=-sin x,y=在区间内单调递减, 可知g'(x)在区间内单调递减,且g'(0)>0,g'<0, 可得g'(x)在上有唯一零点,设为α. 当x∈(-1,α)时,g'(x)>0; 当x∈时,g'(x)<0. 所以g(x)在(-1,α)内单调递增,在内单调递减. 故g(x)在上存在唯一极大值点, 即f'(x)在上存在唯一极大值点. 18.(17分)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;(5分) (2)求数列{an}的通项公式;(3分) (3)若数列{bn}满足-1·-1·…·-1=(an+1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列.(9分) 解:(1)证明:∵an+2=3an+1-2an, ∴an+2-an+1=2(an+1-an), ∵a1=1,a2=3, ∴=2(n∈N*). ∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)得an+1-an=2n(n∈N*), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*). (3)证明:∵-1·-1·…·-1=(an+1, ∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn, ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn, ① 2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)] =(n+1)bn+1. ② ②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn, 即(n-1)bn+1-nbn+2=0. ③ nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0, 即bn+2-2bn+1+bn=0, ∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*), ∴{bn}是等差数列. 19.(17分)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b). (1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(5分) (2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.是否存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列?若存在,求出x4;若不存在,请说明理由.(12分) 解:(1)当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),则f'(x)=2(x-1)(x-2)+(x-1)2=(x-1)·(3x-5),故f'(2)=1.又f(2)=0,所以曲线y=f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2. (2)f'(x)=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=3(x-a)·,由于a<b,故a<. 令f'(x)>0,解得x<a或x>; 令f'(x)<0,解得a<x<, 可知f(x)在内单调递减,在(-∞,a),上单调递增,所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a,x2=,因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的一个零点,所以x3=b.又因为-a=2,所以x4==,此时a,,,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=. B卷——高考能力达标 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列求导运算正确的是 (　　) A.'= B.(x2-cos x)'=2x+sin x C.(xe)'=(1-x)xe D.(ln 2)'= 解析:选B　对于A,由'=(x-1)'=-x-2=-,所以A错误;对于B,由(x2-cos x)'=(x2)'-(cos x)'=2x+sin x,所以B正确;对于C,由(xe)'=exe-1,所以C错误;对于D,由(ln 2)'=0,所以D错误.故选B. 2.已知Sn是数列{an}的前n项和,则“{Sn}是递增数列”是“an>0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　当{Sn}是递增数列,则Sn>Sn-1(n≥2),则an>0(n≥2),但是a1的符号不确定,故充分性不成立;当an>0时,则Sn>Sn-1(n≥2),故{Sn}是递增数列,即必要性成立.综上,“{Sn}是递增数列”是“an>0”的必要不充分条件.故选B. 3.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= (　　) A.2 B.1 C. D. 解析:选C　由题意可得a3a5==4(a4-1)⇒a4=2,所以q3==8⇒q=2,故a2=a1q=,故选C. 4.曲线y=3x2在点(1,3)处的切线的斜率为 (　　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 解析:选C　设f(x)=3x2,===(3Δx+6)=6.故选C. 5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a7+2a9+a17=24,则S20= (　　) A.240 B.60 C.180 D.120 解析:选D　因为数列{an}为等差数列,所以a7+2a9+a17=2a12+2a9=24,所以a12+a9=12,所以S20==10(a1+a20)=10(a12+a9)=120.故选D. 6.已知数列{an}满足=-,a2=,a4=,数列{bn}的前n项和为Sn,若bn=anan+1,则使不等式Sn>成立的n的最小值为 (　　) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:选C　因为+=,由等差中项的概念可知为等差数列,又a2=,a4=,等差数列的公差d==2,=-d=5-2=3,所以=3+(n-1)×2=2n+1,代入bn=anan+1得bn==,Sn=+…+=>,解得n>12,即n的最小值为13.故选C. 7.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则= (　　) A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 解析:选C　因为f(x)=2x2-4,所以f(1)=-2,所以Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4+2=2(Δx)2+4Δx,所以==4+2Δx.故选C. 8.已知等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,则数列的前n项和Sn= (　　) A.-2n B.- C. D.- 解析:选B　设等比数列{an}的公比为q,则q>0,则=9a2a6=9··a3q3=9q2,所以9q2=1,所以q=,因为2a1+3a2=3a1=1,可得a1=,所以an=a1qn-1=×=,所以log3an=log3=-n,所以log3an+1-log3an=-(n+1)+n=-1,即数列{log3an}为等差数列,所以bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-1-2-…-n=-,所以=-=-+,因此Sn=-2+-+-…-+=-2=-.故选B. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知等比数列{an},a1=1,q=2,则 (　　) A.数列是等比数列 B.数列是递增数列 C.数列{log2an}是等差数列 D.数列{log2an}是递增数列 解析:选ACD　由a1=1,q=2得an=2n-1,=,所以数列是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2an=n-1,数列{log2an}是递增的等差数列,故C、D正确.故选ACD. 10.已知函数f(x)=-x2ln x,则 (　　) A.f(x)≤0恒成立 B.f(x)是(0,+∞)上的减函数 C.f(x)在x=时取得极大值 D.f(x)在区间内只有一个零点 解析:选CD　因为f(x)=-x2ln x,该函数的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=-2xln x-x=-x(2ln x+1),令f'(x)>0,可得0<x<,令f'(x)<0,可得x>,所以当0<x<时,函数f(x)单调递增,当 x>时,函数f(x)单调递减,所以f(x)极大值=f=-e-1ln =,故B错误,C正确;当0<x<1时,ln x<0,此时f(x)=-x2ln x>0,A错误;由题可知函数f(x)在区间内单调递减,而f(1)=0,故f(x)在区间内只有一个零点,D正确.故选CD. 11.记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2,n∈N*,则下列说法正确的是 (　　) A.数列{bn}是等差数列 B.{an}的通项公式an= C.Sn= D.若c1=1且cn+1=cnSnSn+1,则cn= 解析:选ABD　由bn为数列{Sn}的前n项积,则Sn=(n≥2),又因为+=2,n∈N*,所以+=2⇒+=2⇒2bn=2bn-1+1(n≥2),则bn-bn-1=(n≥2),所以数列{bn}是以为公差的等差数列,所以A正确;令n=1,得+=2⇒b1=,则bn=b1+(n-1)=+1,则Sn===(n≥2,n∈N*),S1=b1=也符合,所以Sn=(n∈N*),所以C错误;由题意知an=Sn-Sn-1=-=(n≥2,n∈N*),a1=S1=不满足上式,所以an=所以B正确;对于D,若c1=1且cn+1=cnSnSn+1⇒=×=,则=,得=,=,=,…,=,=,累乘得cn=×××…×××c1=×××…××××1=,所以D正确.故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是-1,那么过点A的切线方程是　　　　　　.  解析:∵切线的斜率为k=-1.∴过点A(1,2)的切线方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 13.(5分)(2025·新课标Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为　　　　.  解析:设等比数列为{an},公比为q,前n项和为Sn,则S4=a1+a2+a3+a4=4,S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 =a1+a2+a3+a4+q4(a1+a2+a3+a4)=(1+q4)(a1+a2+a3+a4)=4(1+q4)=68⇒1+q4=17⇒q4=16⇒q=±2. 答案:±2 14.(5分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),记数列的前n项和为Tn.若对于任意n∈N*,不等式k>Tn恒成立,则实数k的取值范围为　　　　　.  解析:由题设an+1+1=2(an+1),而a1+1=2,则{an+1}是首项、公比都为2的等比数列, 所以an+1=2n,则an=2n-1, 所以==-, 则Tn=-+-+…+-=-<在n∈N*上恒成立, 要使不等式k>Tn恒成立,只需k≥,所以实数k的取值范围为. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知数列{an}满足+++…+=. (1)求{an}的通项公式;(6分) (2)若bn=4n(3n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.(7分) 解:(1)令n=1,得a1=1,当n≥2时,由 得=-=,解得an=, 当n=1时,a1=1也满足上式.综上,an=. (2)由bn=4n(3n-1)an===2×, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×=-8. 16.(15分)已知函数f(x)=(ax+1)ln x+x+3. (1)当a=0时,求证:y=2x+2是曲线f(x)的一条切线;(7分) (2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求实数a的值.(8分) 解:(1)证明:当a=0时,f(x)=ln x+x+3(x>0), 则f'(x)=+1,令f'(x)=2,解得x=1, 又f(1)=4, 所以曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-4=2(x-1),即y=2x+2, 所以y=2x+2是曲线f(x)的一条切线. (2)f'(x)=aln x++1=aln x++a+1(x>0), 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴, 所以f'(1)=0,即1+a+1=0,解得a=-2, 此时f(1)=4, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=4,符合题意, 所以a=-2. 17.(15分)(2025·新课标Ⅰ卷)设数列{an}满足a1=3,=+. (1)证明:{nan}为等差数列;(5分) (2)设f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).(10分) 解:(1)证明:∵=+-, ∴-=-, =⇒(n+1)an+1-(n+1)=nan-n, ∴(n+1)an+1-nan=1,1×a1=3, ∴{nan}是以3为首项,1为公差的等差数列. ∴nan=3+(n-1)×1=n+2. (2)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+amxm,f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…+mamxm-1, xf'(x)=a1x+2a2x2+3a3x3+4a4x4+…+mamxm, (1-x)f'(x)=a1+x+x2+x3+x4+…+xm-1-mamxm=a1+-mam·xm, 令x=-2,3f'(-2)=3+-(m+2)·(-2)m, f'(-2)=1+-·(-2)m=--·(-2)m=-·(-2)m. 18.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;(6分) (2)设是首项为1,公比为3的等比数列. ①求数列{bn}的前n项和Tn;(5分) ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.(6分) 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列, 所以+=+=50,整理得8a1+13d=50,=(a1+3d)2=a1a13=a1(a1+12d),整理得3d=2a1, 联立上式解得a1=3,d=2, 所以an=2n+1. (2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1, 由(1)可得bn=(2n+1)·3n-1, 所以Tn=3×30+5×31+…+(2n+1)×3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n+1)×3n, 得-2Tn=3+2(31+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n=3+2×-(2n+1)×3n=-2n×3n,所以Tn=n×3n. ②由(1)得Sn==n2+2n, 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,将Sn,Tn代入整理得λn×3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立, 所以λ≤对一切n∈N*恒成立, 令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ, 因为f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时,f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时,f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3),f(3)<f(4)<f(5)<…, 所以λ≤f(n)min=f(3)=-,即实数λ的最大值是-. 19.(17分)(2025·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0<k<. (1)证明:f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点;(7分) (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点. ①设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),证明:g(t)在区间(0,x1)单调递减;(5分) ②比较2x1与x2的大小,并证明你的结论.(5分) 解:(1)证明:∵f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,k∈.∴f'(x)=-1+x-3kx2 = =, 当x>0时,令f'(x)=0,解得x=-1>0, ∴当0<x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴x=-1是f(x)在(0,+∞)上唯一的极值点,且是极大值点. 又∵f>f(0)=0,f=ln-<0,∴∃x2∈,f(x2)=0, 即x2是f(x)在(0,+∞)上唯一的零点. (2)①证明:∵g(t)=f(x1+t)-f(x1-t), ∴g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t) =(x1+t-x1)+(x1-t-x1)=3kt =, ∵t∈(0,x1),∴t2--2x1<0,(1+x1)2-t2>0,∴g'(t)=<0, 即g(t)在t∈(0,x1)上单调递减. ②由①得,g(t)在t∈(0,x1)上单调递减, ∴g(x1)<g(0),即f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0,f(2x1)<0, ∵x2是f(x)的零点,∴f(x2)=0, ∴f(2x1)<f(x2), 又∵x2>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1,+∞)上单调递减,∴2x1>x2. 1 / 137 学科网（北京）股份有限公司 $