精品解析：2026年河南省驻马店市汝南县三门闸乡联考中考阶段测试数学试题

河南省2026年初中学业水平考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. 1.5 D. 1.6 【答案】A 【解析】 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 2. 根据2026年1月17日《河南日报》发布的数据，河南出口产品向新升级，其中“新三样”产品（电动汽车、锂电池、光伏产品）出口约336亿元，数据“336亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题时先将336亿改写为原数，再按要求确定和即可． 【详解】∵ 336亿 ． 3. 唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（ ） A. “更” B. “带” C. “朝” D. “烟” 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的平面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，利用这一特点即可判断． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形． ∴ 在中间一行中，“柳”与“带”相隔一个“更”，故“柳”与“带”是相对面； “更”与“朝”相隔一个“带”，故“更”与“朝”是相对面． ∴ 剩余的“绿”与“烟”是相对面． 4. 如图，的顶点在直线上，且，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，，求出，利用角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同类二次根式的合并规则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，完全平方公式逐一判断选项． 【详解】对选项A，与不是同类二次根式，不能直接合并相加，A错误； 对选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，B错误； 对选项C，积的乘方，将每个因式分别乘方，得，C正确； 对选项D，根据完全平方公式，得 ，D错误． 6. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线交于点．若，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ． 7. 某银行招聘大堂经理，需从专业能力、沟通服务、应急处理三个核心维度考评应聘人员，三个维度的权重占比为，最终考评得分由加权计算得出．应聘人员张婷在这三个维度的得分为专业能力94分、沟通服务92分、应急处理88分，则张婷的最终考评得分为（ ） A. 91.6分 B. 91.3分 C. 90.8分 D. 92.4分 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的权重比，套用加权平均数公式计算即可得到最终结果． 【详解】解：∵三个维度的权重比为，张婷三个维度的得分分别为94分，92分，88分， ∴最终得分为： ， ∴张婷的最终考评得分为91.6分． 8. 定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】根据新运算，将展开得， 整理为一元二次方程一般式得， 计算根的判别式： ， 又任意实数的平方非负，即， ， 方程有两个不相等的实数根． 9. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为点，连接．若，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质及可证与均为等边三角形，从而得出，；在中利用角性质及已知条件求出的长；过点作于点，利用等边三角形性质求出和，进而求出，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 同理可得是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为． 10. 智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ） 信息窗 1．电路中的（触发器电阻忽略不计）； 2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为，压力为（g取），要求不低于． A. 压力传感器阻值随所受压力的增大而增大 B. 当时，压力传感器阻值 C. 当送餐量为时， D. 为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由图得，压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，此选项错误； B．由图得，当时，压力传感器阻值，此选项错误； C．由图得，当送餐量为时，即当时，，此选项正确； D．因为智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为150N，所以由图得此时，因为要求不低于140Ω，所以，即，此时，因此为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值，此选项错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式在实数范围内有意义的的值：______． 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件求出的取值范围，取任意符合条件的值即可． 【详解】∵代数式在实数范围内有意义， ∴分母， 解得， ∴符合条件的的值为（答案不唯一，即可）． 12. 一个不透明的盒子里装有三张完全相同的卡片，分别标有如图所示的数字，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，摇匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算算术平方根，再根据树状图法求解即可． 【详解】解：， 可知是无理数，、是有理数． 画树状图如下： 可知共9种情况，其中两次抽取的卡片上的数字都为有理数的情况有4种， 即两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为． 13. 关于的不等式组的解集为，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定原则，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式， 去括号得， 移项得， 系数化为得； 解不等式 移项得， 不等式组的解集为，根据同大取大的原则， ， 解得， 故答案为． 14. 如图，将扇形沿弦对折后，恰好经过扇形的顶点．已知弦，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，交于点，根据垂径定理得，根据折叠的性质得，根据等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义求出，根据勾股定理求出，最后根据可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴，即是的边上的中线， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∵将扇形沿弦对折后，恰好经过扇形的顶点， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，， ∴， 即阴影部分的面积为． 15. 如图，在正方形中，为对角线上不与端点重合的一动点，作，交于点，已知．若是等腰三角形，则_________． 【答案】1或 【解析】 【分析】为等腰三角形有三种情况，即：，和，根据等腰三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 所以，为等腰三角形有三种情况： ①当时，此时，则， ∴点与点重合，与已知矛盾， ∴此情况不成立； ②当时， ∵， ， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴, ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； ③当时，此时， ∴，，， ∴为的中点， ∴, 综上，的值为1或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 学校开展消防器材实操培训，让师生掌握灭火器、消防栓等使用技能，增强全校师生的消防安全意识，提升火情初期处置能力，筑牢校园安全防线，为师生生命财产安全保驾护航．河南某校开展消防器材实操培训后，为了解学生操作灭火器的熟练度，进行了如下统计．[收集数据]在九（1），（2）两个班各随机抽取了12名学生进行测试，测试成绩（单位：，时间越短越熟练）如下： 九（1）班：28，35，35，36，39，39，45，35，37，43，41，40； 九（2）班：30，41，33，38，39，44，32，41，40，35，41，36． [整理数据]分组整理这两组数据如表所示： 组别频数 九（1）班 1 4 2 九（2）班 2 3 6 1 [分析数据]两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 37.75 35 18.35 九（2）班 37.5 38.5 16.92 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________． （2）若规定成绩在38以下为优秀，请估计该校九年级480名学生中，测试成绩为优秀的有多少人． （3）你认为哪个班的学生操作灭火器的熟练度更好？请根据以上统计数据说明理由． 【答案】（1）5；41；38 （2）220 （3）九（2）班的学生操作灭火器的熟练度更好，理由：九（2）班成绩的平均数和方差均小于九（1）班，说明九（2）班学生操作的平均用时更短，且成绩更稳定（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据题中信息即可求解；；先将九（1）班成绩排序：28，35，35，35，36，37，39，39，40，41，43，45；可得中位数； （2）利用样本估计总体，可列式求解； （3）由于九（2）班成绩的平均数和方差均小于九（1）班，说明九（2）班学生操作的平均用时更短，且成绩更稳定，所以九（2）班的学生操作灭火器的熟练度更好． 【小问1详解】 解：；； 将九（1）班成绩排序：28，35，35，35，36，37，39，39，40，41，43，45； ∴中位数； 【小问2详解】 解：（人）， 答：测试成绩为优秀的有220人； 【小问3详解】 解：九（2）班的学生操作灭火器的熟练度更好，理由：九（2）班成绩的平均数和方差均小于九（1）班，说明九（2）班学生操作的平均用时更短，且成绩更稳定． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点落在轴上，顶点落在轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）现将直角三角尺沿轴正方向平移，顶点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数，求出的值即可； （2）过点作于点，证明，求得，，设三角尺沿轴正方向平移了m个单位，则，代入，求出，从而可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将代入反比例函数，得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ∵， ∴，， ∵是等腰直角三角形，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设三角尺沿轴正方向平移了m个单位，则， ∵点在上，代入得：， 解得， ∴点向右平移个单位后，坐标为，即． 19. 如图1，古塔用于藏舍利、经卷，兼具宗教信仰、文化传承与历史见证意义，是古代建筑艺术瑰宝．综合与实践活动中，某小组要利用测角仪测量一古塔的高度，其测量模型如图2所示，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度，点，，在同一条水平直线上．该小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用坡度得到垂直边与水平边的比例关系，设未知数，结合勾股定理列方程求解． （2）作垂线构造矩形，转化线段长度；由角得两直角边相等，再利用角的正切值列方程，解方程并取近似值得到塔高． 【小问1详解】 解：， ∴是直角三角形， ∵，的坡度， ， 设，则． 在中，， 由勾股定理得： 解得（舍去负根）， ． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点G， ∴四边形，是矩形， ∴，， 由（1）得，， ，， ， 设，则，， 在中，， ， ， 解得：， ， ． 塔的高度约为． 20. 为满足市场对特色美食的需求，某商户计划一次性购进汝南五香鸡汁豆腐干和宿鸭湖烤鸭蛋两款热门特产共50箱．已知购进3箱豆腐干和2箱烤鸭蛋共需190元，购进2箱豆腐干和3箱烤鸭蛋共需180元． （1）求购进豆腐干和烤鸭蛋的单价． （2）豆腐干的售价为50元/箱，烤鸭蛋的售价为38元/箱，若豆腐干的进货量不少于烤鸭蛋进货量的一半，且不超过30箱，求两种特产全部售完时的最大利润及对应的进货方案． 【答案】（1）购进豆腐干的单价为42元/箱，烤鸭蛋的单价为32元/箱． （2）两种特产全部售完时的最大利润为360元，对应的进货方案为购进豆腐干30箱，烤鸭蛋20箱． 【解析】 【分析】（1）根据两种进货情况的总花费，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可得到单价； （2）先得到总利润关于豆腐干进货量的一次函数，再根据进货量的限制条件求出自变量取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润和对应进货方案． 【小问1详解】 解：设购进豆腐干的单价为元/箱，烤鸭蛋的单价为元/箱． 根据题意得， 解得， 答：购进豆腐干的单价为42元/箱，烤鸭蛋的单价为32元/箱； 【小问2详解】 解：设购进豆腐干箱，全部售完的总利润为元，则购进烤鸭蛋箱． 每箱豆腐干的利润为（元），每箱烤鸭蛋的利润为（元）， 则， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（箱）． 答：两种特产全部售完时的最大利润为360元，对应的进货方案为购进豆腐干30箱，烤鸭蛋20箱． 21. 如图，是的直径，为的弦，为射线上一点，弦平分． （1）作，垂足为（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证：为的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是的半径， ∴为的切线； （3）3 【解析】 【分析】（1）以D为圆心，适当长为半径画弧，交于，再分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，过D和点作直线，交于E，则； （2）连接，证明，得，由得，故可得结论； （3）连接，证明是等边三角形，得，再证明是等边三角形，得，再求出，故可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． （1）设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． （2）若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． （3）为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【答案】（1） （2）点离地面的高度为 （3）该枝条不会被折断，理由如下： ∵，， ∴， ∵点到主干的水平距离为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 这是一个开口向下的二次函数，顶点在处， 代入得：的最大值为， ∵， ∴该枝条不会被折断． 【解析】 【分析】（1）根据题意得抛物线顶点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点P的纵坐标，即可判断． （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 由题意得，点在抛物线上，代入得：， 解得：， 所以，抛物线的解析式为，即：； 【小问2详解】 解：∵枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为， ∴， ∴ ， ∴点离地面的高度为； 【小问3详解】 略 23. 在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为，的度数为． （1）[问题解决]如图1，若，则的度数为________，的值为_________； （2）[问题探究]如图2，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； （3）[拓展延伸]若，中有一锐角的正切值为，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）解：的值不变化 ，理由如下： 延长，交于点， ∵， ∴， 又，， ∴ ∴，即是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴，即； （3）1或4 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理可得结论；过点作于点，求出，可求出； （2）的值不变化 ，延长，交于点，证明是的中位线，可得结论； （3）分和两种情况，分别求出以及的长，再由勾股定理求出的长，根据和求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵平分，， ∴， 在中，， 设,则，，,, ∴， 在中，， ∴， ∴, ∴， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：，（舍去） 延长，交于点， 由（2）知，， ∴， 又， ∴， ∴由勾股定理得， ∴； 当时，延长，交于点， 同理可得，， ∴由勾股定理得， ∴； 综上，的长为1或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2026年初中学业水平考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. 1.5 D. 1.6 2. 根据2026年1月17日《河南日报》发布的数据，河南出口产品向新升级，其中“新三样”产品（电动汽车、锂电池、光伏产品）出口约336亿元，数据“336亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（ ） A. “更” B. “带” C. “朝” D. “烟” 4. 如图，的顶点在直线上，且，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线交于点．若，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 某银行招聘大堂经理，需从专业能力、沟通服务、应急处理三个核心维度考评应聘人员，三个维度的权重占比为，最终考评得分由加权计算得出．应聘人员张婷在这三个维度的得分为专业能力94分、沟通服务92分、应急处理88分，则张婷的最终考评得分为（ ） A. 91.6分 B. 91.3分 C. 90.8分 D. 92.4分 8. 定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为点，连接．若，则的长为（） A. B. C. D. 10. 智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ） 信息窗 1．电路中的（触发器电阻忽略不计）； 2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为，压力为（g取），要求不低于． A. 压力传感器阻值随所受压力的增大而增大 B. 当时，压力传感器阻值 C. 当送餐量为时， D. 为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式在实数范围内有意义的的值：______． 12. 一个不透明的盒子里装有三张完全相同的卡片，分别标有如图所示的数字，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，摇匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为_________． 13. 关于的不等式组的解集为，则的取值范围是_________． 14. 如图，将扇形沿弦对折后，恰好经过扇形的顶点．已知弦，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在正方形中，为对角线上不与端点重合的一动点，作，交于点，已知．若是等腰三角形，则_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 学校开展消防器材实操培训，让师生掌握灭火器、消防栓等使用技能，增强全校师生的消防安全意识，提升火情初期处置能力，筑牢校园安全防线，为师生生命财产安全保驾护航．河南某校开展消防器材实操培训后，为了解学生操作灭火器的熟练度，进行了如下统计．[收集数据]在九（1），（2）两个班各随机抽取了12名学生进行测试，测试成绩（单位：，时间越短越熟练）如下： 九（1）班：28，35，35，36，39，39，45，35，37，43，41，40； 九（2）班：30，41，33，38，39，44，32，41，40，35，41，36． [整理数据]分组整理这两组数据如表所示： 组别频数 九（1）班 1 4 2 九（2）班 2 3 6 1 [分析数据]两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 37.75 35 18.35 九（2）班 37.5 38.5 16.92 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________． （2）若规定成绩在38以下为优秀，请估计该校九年级480名学生中，测试成绩为优秀的有多少人． （3）你认为哪个班的学生操作灭火器的熟练度更好？请根据以上统计数据说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点落在轴上，顶点落在轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）现将直角三角尺沿轴正方向平移，顶点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的对应点的坐标． 19. 如图1，古塔用于藏舍利、经卷，兼具宗教信仰、文化传承与历史见证意义，是古代建筑艺术瑰宝．综合与实践活动中，某小组要利用测角仪测量一古塔的高度，其测量模型如图2所示，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度，点，，在同一条水平直线上．该小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 20. 为满足市场对特色美食的需求，某商户计划一次性购进汝南五香鸡汁豆腐干和宿鸭湖烤鸭蛋两款热门特产共50箱．已知购进3箱豆腐干和2箱烤鸭蛋共需190元，购进2箱豆腐干和3箱烤鸭蛋共需180元． （1）求购进豆腐干和烤鸭蛋的单价． （2）豆腐干的售价为50元/箱，烤鸭蛋的售价为38元/箱，若豆腐干的进货量不少于烤鸭蛋进货量的一半，且不超过30箱，求两种特产全部售完时的最大利润及对应的进货方案． 21. 如图，是的直径，为的弦，为射线上一点，弦平分． （1）作，垂足为（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证：为的切线； （3）若，，求的长． 22. 转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． （1）设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． （2）若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． （3）为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 23. 在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为，的度数为． （1）[问题解决]如图1，若，则的度数为________，的值为_________； （2）[问题探究]如图2，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； （3）[拓展延伸]若，中有一锐角的正切值为，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $