精品解析：2026年河南省周口市郸城县等校中考前测试数学试题

2026年中考模拟卷（三） 数 学 注意事项 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分： 120分考试时间： 100分钟． 2．答题前，请将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 3．所有答案均需写在答题卡上，写在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点重合的点是. 3. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 4. 如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 5. 已知关于的整式，其中，，，为自然数，与为正整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中有且只有1个二次三项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数定义，准确理解“二次三项式”、“三次二项式”的定义并按条件枚举系数是解题的关键． 先根据“二次三项式、三次二项式”的定义确定多项式的次数和非零系数的个数，再结合 “自然数、正整数”的取值要求与平方和不超过的条件，分情况列出所有符合要求的系数组合，最后用这些组合逐一验证三个说法是否正确即可． 【详解】解：整式的系数满足，且，，，为自然数，与为正整数， ①∵二次三项式要求（二次），且，，（三项），是正整数，，是自然数， ∴，，， ∵，又， ∴ 仅，，满足条件，即，是唯一的二次三项式， ∴ ①正确， ② ∵， ∴且是正整数，，是自然数， 当时，，满足条件的系数组为，，，，对应整式为，，，； 当时，，满足条件的系数组合为，对应整式为； 当时，，无满足条件的系数组； ∵常数项和为，一次项和为，二次项和为， ∴所有整式的和为，而非， ∴②错误； ③ 当为三次二项式时，（三次），且仅两项系数非零（二项），，另一非零系数， ∴（其余系数为0）， 若，则， ∵为自然数且非零， ∴（，故排除）； 若，则， ∵为自然数且非零， ∴（，故排除）； 若，则， ∴（此时整式为单项式，不符合要求，排除）； 若，则，无满足条件的系数组； ∵有个位置（），时每个位置对应种，共种，时每个位置对应种，共种， ∴总组合数为种，即当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有个，而非个， ∴ ③错误； 综上，正确的有①，共个． 故选：B． 6. 已知点都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据判断函数图象所在象限，再根据各点横坐标判断点的位置，最后结合函数增减性比较的大小. 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，可得， ∵， ∴点都在第四象限，可得， 又∵第四象限内随的增大而增大， ∴； 综上可得 . 7. 某校开展社团活动，随机抽取部分学生调查最喜欢的社团类别，绘制成扇形统计图．若参加调查的学生共有200人，其中喜欢文艺社团的人数为60人，则文艺社团对应的扇形圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出文艺社团人数占总人数的比例，再用乘该比例即可得到对应圆心角度数． 【详解】解：∵总人数为人，喜欢文艺社团的人数为人， ∴文艺社团人数占总人数的比例为， 又∵整个扇形的圆心角为， ∴文艺社团对应的扇形圆心角度数为． 8. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断、 【答案】A 【解析】 【分析】计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况． 【详解】解：∵， 而， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 9. 如图，已知，以为直径的圆交于点，与相切于点，E是圆上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理结合切线的性质，以及同角的余角相等，推出，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵以为直径的圆交于点，与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得点、点的纵坐标相同，即，从而可得，再由平行四边形的性质并结合题意可得点、点关于点成中心对称，由此求解即可． 【详解】解：∵平行于x轴，点M的坐标是，点F的坐标是， ∴点、点的纵坐标相同，即， ∴， ∵在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点， ∴点、点关于点成中心对称， ∴点N的坐标是． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根和零指数幂的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 15. 如图，是的直径，是上一点，且，点为的中点，过点作，垂足为点，交于点．已知，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理结合可得，进而，结合点为的中点，可得是等边三角形，可推导出，即可得出结果. 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵是的直径， ， ∴， ， ，， ， ∵点为的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴平分， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．学会因式分解是解决这个问题的关键． 首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分得出化简结果，最后将x的值代入化简后的式子得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 为落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科学实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： （1）①此次调查一共抽取了_________名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“计算思维”课程对应的扇形圆心角为_________度． （2）若该校共有名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢数字艺术课程的学生人数． 【答案】（1）①；②；③ （2）人 【解析】 【分析】（1）①根据“科学实践”课程的人数及其所占百分比，用“部分量÷对应百分比”求出参与调查的总人数；②用总人数减去“计算思维”和“科学实践”的人数，得到“数字艺术”课程的人数，再据此补充条形统计图；③用“计算思维”课程的人数除以总人数，得到其占比，再乘以，算出对应的扇形圆心角度数； （2）先算出样本中“数字艺术”课程的人数占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校喜欢数字艺术课程的学生人数． 【小问1详解】 解：①据图可知，选择“科学实践”的人数为，占比为， 可得（人）， 故此次调查共抽取了名学生； ②据图可知，选择“数字艺术”的学生人数为； ③据图可知，“计算思维”课程对应的扇形圆心角为：． 【小问2详解】 解：根据题意可知，（人）， 故估计该校喜欢数字艺术课程的学生人数为人． 18. 如图，矩形的对角线与交于点O，点F是上的一点，，延长至点G，使，交于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）首先利用中位线的性质证明，然后再证明即可； （2）由条件可知四边形是矩形，因此只要求出即可．首先由求出，进而由勾股定理求出，然后结合矩形对角线的性质以及求出，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴．，， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴． ∴． 19. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O、C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形性质求出的长，利用勾股定理求出的长，再解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，． ， ， 在中，， ， （）， 无人机从点到点的上升高度为． 20. 某文具店购进A、B两种笔记本进行销售，已知每本A种笔记本的进价比B种笔记本贵2元，用1200元购进的A种笔记本数量与用1000元购进的B种笔记本数量相等． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划再次购进A、B两种笔记本共200本，总进价不超过2200元，若A种笔记本每本售价15元，B种笔记本每本售价12元，全部售完后利润不低于490元，请问共有几种进货方案？ 【答案】（1）A种笔记本每本的进价为12元， B种笔记本每本的进价为10元 （2）共11种方案 【解析】 【分析】（1）设B种笔记本每本的进价为x元，则A种笔记本每本的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进A种笔记本m本，则B种本，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 解：设B种笔记本每本的进价为x元，则A种笔记本每本的进价为元． ， 解得：，经检验是原方程的解． 答： A种笔记本每本的进价为12元， B种笔记本每本的进价为10元． 【小问2详解】 解：设购进A种笔记本m本，则B种本． 由题意， 解得 ∵m为正整数， ∴共有种方案． 21. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）过点A作于点G，连接，根据勾股定理，三角函数的应用，三角形的相似，结合的面积为：求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∴， 连接， ∵是的切线． ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点A作于点G， 则， ∴的面积为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的表达式及C点坐标； （2）将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； 【小问2详解】 解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 23. 根据所学知识，解答以下问题 （1）如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； （3）如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2）不成立， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得到边相等、角为直角，由 推导角相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）根据矩形性质得到角为直角，由 推导角相等，证明与相似，结合矩形边长、得到与的比值． （3）过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接，可得四边形是平行四边形，可得 ，所以最小值为的长．利用勾股定理求出的长，结合 证明相关三角形相似，得到与的数量关系；最后利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴（）， ∴． 【小问2详解】 不成立，，理由如下： 在矩形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当D，G，H三点共线时， 的值最小，最小值为的长． ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，易得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟卷（三） 数 学 注意事项 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分： 120分考试时间： 100分钟． 2．答题前，请将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 3．所有答案均需写在答题卡上，写在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的整式，其中，，，为自然数，与为正整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中有且只有1个二次三项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知点都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某校开展社团活动，随机抽取部分学生调查最喜欢的社团类别，绘制成扇形统计图．若参加调查的学生共有200人，其中喜欢文艺社团的人数为60人，则文艺社团对应的扇形圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断、 9. 如图，已知，以为直径的圆交于点，与相切于点，E是圆上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_________． 12. 分解因式：__________． 13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 15. 如图，是的直径，是上一点，且，点为的中点，过点作，垂足为点，交于点．已知，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 为落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科学实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： （1）①此次调查一共抽取了_________名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“计算思维”课程对应的扇形圆心角为_________度． （2）若该校共有名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢数字艺术课程的学生人数． 18. 如图，矩形的对角线与交于点O，点F是上的一点，，延长至点G，使，交于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O、C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 20. 某文具店购进A、B两种笔记本进行销售，已知每本A种笔记本的进价比B种笔记本贵2元，用1200元购进的A种笔记本数量与用1000元购进的B种笔记本数量相等． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划再次购进A、B两种笔记本共200本，总进价不超过2200元，若A种笔记本每本售价15元，B种笔记本每本售价12元，全部售完后利润不低于490元，请问共有几种进货方案？ 21. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）已知，，求的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的表达式及C点坐标； （2）将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 根据所学知识，解答以下问题 （1）如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； （3）如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $