4.3.2 半角公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦半角公式，通过回顾二倍角公式导入，提出半角求值问题，引导学生从二倍角公式推导半角公式，构建知识支架，衔接三角恒等变换的前后内容。 其亮点在于注重数学思维的培养，通过严谨推导（如由二倍角公式令α=2β得半角公式）和层次化典例（例1-7涵盖求值、化简、三角形及函数应用），结合同步练习，提升学生推理与表达能力，总结系统呈现公式及注意事项，助力学生掌握知识，教师可高效开展教学。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第3节 二倍角的三角函数公式 3.2 半角公式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、能用二倍角公式推导半角公式.  2、能熟练运用半角公式求值、化简或证明. 1、能用二倍角公式推导半角公式.  1、能熟练运用半角公式求值、化简或证明. 2 新 知 引 入 1、sin2α=_______________ 2、cos2α=_______________=____________=______________ 3、tan2α=______________ 2sinαcosα cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 在利用二倍角公式解决问题时，已知角α的一个三角函数值和它所在的象限就可以求出这个角的二倍角的所有三角函数值. 那么，如果已知一个角α的一个三角函数值，能否求出这个角的半角 的所有三角函数值呢？ 学 习 新 知 半角公式 cos2α=2cos2α-1 cos2α=1-2sin2α 用 代替α cosα=1-2sin2 sin=± 用 代替α cosα=2cos2 -1 cos=± tan = = _______________ ± 学 习 新 知 半角公式 tan = = =________________ tan = = =________________ 学 习 新 知 半角公式 sin = ± cos = ± tan = ± = = 注意：1、 2、 3、 在这些公式中，根号前面的符号由 所在象限相应的三角函数值的符号确定.若象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号. 公式中的“半角”是相对的。如2α是4α的半角， 是 的半角， 是3α的半角. 半角公式本质上是二倍角公式的逆用. 典 例 引 路 例1、已知cosα= - ,且π＜α＜，求 sin , cos ,tan 的值. 解：∵π＜α＜ ∴ ＜ ＜ ∴ sin = = = cos = - = - = - tan = = - 同 步 练 习 练1、已知cosα= ,且 - ＜α＜0，求 sin , cos ,tan 的值. 解：∵ - ＜α＜0 ∴ - ＜ ＜0 ∴ sin = - = - = - cos = = = tan = = - 典 例 引 路 例2、已知sinα= - ,且π＜α＜，求 sin , cos ,tan 的值. 解：∵ sinα= - ，且π＜α＜ ∴ cosα= - = - = - ,且 ＜＜ ∴ sin = = = cos = - = - = - tan = = - 4 同 步 练 习 练2、已知sinα= ,且 0＜α＜，求 sin , cos ,tan 的值. 解：∵ sinα= ，且 0＜α＜ ∴ cosα= ,且 0＜ ＜ ∴ sin = = = cos = = = tan = = 典 例 引 路 例3、已知 tanα= ,且 π＜α＜，求 sin , cos ,tan 的值. 解：∵ π＜α＜ ∴ ＜ ＜ ∴ sin＞0 , cos＜0 , tan＜0 ∵ = tanα = ∴ 3tan2 + 8tan - 3=0 ∴ tan = -3 或 tan = (舍去） ∴ 由 得sin = ,cos = - 同 步 练 习 练3、已知 tanα= ,且 0＜α＜，求 sin , cos ,tan 的值. 解：∵ 0＜α＜ ∴ 0＜＜ ∴ sin＞0 , cos＞0 , tan＞0 ∵ = tanα = ∴ 2tan2 + 3tan - 2=0 ∴ tan = -2(舍去）或tan = ∴ 由 得sin = ,cos = 典 例 引 路 例4、若 ＜α＜π，sinα= ，则tan =_____. 解：∵ ＜α＜π，sinα= ， ∴ ＜ ＜，cosα= = - ， ∴（法一）tan = = = 3 （法二）tan = = = 3 （法三） tan = = = 3. 同 步 练 习 练4、已知 cosθ= - , π＜θ＜ , 则 tan=______ 解：∵ π＜θ＜，cosθ= - ， ∴ ＜ ＜，sinθ= - = - ， ∴（法一）tan = - = - = - （法二）tan = = = - （法三） tan = = = - 典 例 引 路 例5、化简：sin2(α - )+sin2(α+) - sin2α 解：原式 = + - = - [cos(2α- )+cos(2α+ ) - cos2α] = - (cos2αcos + sin2αsin + cos2αcos - sin2αsin - cos2α) = - (cos2α+ cos2α-cos2α) = 同 步 练 习 练5、化简：cos2A+cos2(60°-A)+cos2(60°+A) 解：原式 = （1+cos2A)+ [1+cos(120°-2A)]+ [1+cos(120°+2A] = + cos2A + [cos(120°-2A)+cos(120°+2A] = + cos2A + (cos120°cos2A+sin120°sin2A+cos2Acos120°-sin2Asin120°) = + cos2A + ×2cos120°cos2A = + cos2A- cos2A = 典 例 引 路 例6、在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边长，sinBsinC=cos2 , (1)证明：△ABC是等腰三角形； (2)若tan + tan =4,a=2,求△ABC的周长． 解：(1)∵ sinBsinC = cos2 = ∴ 2sinBsinC = 1+cos[π-(B+C)] = 1-cos(B+C) = 1-cosBcosC+sinBsinC ∴ 1 = cosBcosC+sinBsinC = cos(B-C) ∴ B-C=0 即B=C 即△ABC是等腰三角形. (2)∵ 4 = tan + tan = tan + tan = + = + = = = ∴ sinC = ∵ B=C ∴ C = , ∴ B = , A = ∵ = = ∴ = = ∴ b = c = 2 ∴△ABC的周长为4+2 。 同 步 练 习 练6、在锐角△ABC中，已知 sinA=,求 tan2 的值. 解：在锐角△ABC中， sinA = ∴ cosA = ∴ tan2 = tan2 = = = 2 典 例 引 路 例7、已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx (1)求出函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[0,]时，求函数f(x)的最大值. 解：f(x) = + sin2x = sin2x - cos2x + = sin(2x - ) + (1) ∵ - + 2kπ≤2x - ≤ + 2kπ ,k∈Z ∴ - + kπ≤x≤ + kπ ,k∈Z ∴ 函数f(x)的单调增区间为[- + kπ, + kπ],k∈Z (2) ∵x∈[0, ] ∴2x- ∈[- ,] ∴ 当 2x- = 即 x = 时，f(x)max = 同 步 练 习 练7、已知函数f(x）=2cos2x+2sinxcosx- (1)求f(x)的单调区间； (2)若存在x∈[0,]，使f(x）≤-a2+2a+2成立，求a的取值范围． 解：f(x) = (2cos2x-1)+×2sinxcosx = cos2x + sin2x = 2cos(2x - ) (1)由-π+2kπ≤2x- ≤2kπ,k∈Z得 - + kπ≤x≤ + kπ,k∈Z ∴f(x)的单调递增区间是[- + kπ, + kπ],k∈Z 由2kπ≤2x- ≤2kπ+π,k∈Z得 + kπ≤x≤ + kπ,k∈Z ∴f(x)的单调递减区间是[ + kπ, + kπ],k∈Z （2）∵x∈[0, ] ∴2x - ∈[- , ] ∴当2x - = 即 x= 时，f(x)min= - 1 ∴ - 1≤-a2+2a+2 ∴-1≤a≤3 同 步 练 习 全 课 总 结 半角公式 sin=± cos=± tan =± = = THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $