4.3.1 二倍角公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦二倍角的三角函数公式，通过回顾和角公式（Sα+β、Cα+β、Tα+β），令β=α引导学生推导得出sin2α、cos2α、tan2α公式，构建起与三角恒等变换前期知识的逻辑联系。 其特色在于注重公式推导的思维过程，通过正误对比、变形公式（升幂、降幂）强化理解，结合求值、化简、三角形及实际应用等多样例题（如例3连乘余弦化简、例7矩形面积最值），培养学生数学思维与应用意识，助力教师高效开展分层教学，提升学生公式灵活运用能力。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第3节 二倍角的三角函数公式 3.1 二倍角公式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握二倍角公式及其推导过程. 2、灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明问题. 3、体会二倍角公式与和角、差角公式的内在联系. 1、掌握二倍角公式. 1、会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证明. 2 新 知 引 入 1、sin(α+β)=_________________________ （Sα+β） 公式中的 α、β 为_______角. 2、cos(α+β)=_______________________ （Cα+β） 公式中的 α、β 为_______角. 3、tan(α+β)=_______________________ (Tα+β) 公式中的 α、β 满足条件：_____________________ _____________________ _____________________ sinαcosβ+cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ 任意 任意 α≠kπ+(k∈Z) β≠kπ+(k∈Z) α±β≠kπ+(k∈Z) 左侧三个公式中，令β=α会得到什么结果呢？ 学 习 新 知 1、sin(α+α)=________________________ =_______________ 2、cos(α+α)=_______________________ =_______________=____________=______________ 3、tan(α+α)=__________________=______________ sinαcosα+cosαsinα 二倍角公式 2sinαcosα cosαcosα-sinαsinα cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 学 习 新 知 二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα （S2α） cos2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α （C2α） tan2α= （T2α） 注意：1、 2、 3、 4、 S2α、C2α中α∈R，T2α中α≠kπ+且α≠+,k∈Z. 变形形式，如：sinαcosα= sin2α, 1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α(升幂公式） cos2α=,sin2α=（降幂公式） 错误公式：sin2α=2sinα , cos2α=2cosα , tan2α=2tanα. 正确理解“二倍角”含义的相对性，如4α是2α的二倍角，α是 的二倍角， 是 的二倍角. 典 例 引 路 例1、已知角α是第二象限角，cosα=，求sin2α， cos2α和tan2α的值. 解：因为角α是第二象限角，所以sinα＞0， sinα= = . 由二倍角公式，有 sin2α= 2sinαcosα= ， cos2α= 2cos2α-1 = 2× -1 = ， tan2α = = = . 同 步 练 习 练1、已知角α是第二象限角，sinα=，求sin2α， cos2α和tan2α的值. 解：因为角α是第二象限角，所以cosα＜0， cosα= - = - . 由二倍角公式，有 sin2α= 2sinαcosα= ， cos2α=2cos2α-1=2× -1= ， tan2α = = - . 典 例 引 路 例2、已知sinα=，则sin +cos =_____. 解：∵ sinα= ， ∴(sin +cos )2 = sin2 + 2sincos + cos2 = 1 + sinα = 1 + = . ∴ sin + cos = ±. 同 步 练 习 练2、已知sinα-cosα=,则sin2α的值为______． 解：∵ sinα-cosα= ∴（sinα-cosα）2 = ∴ sin2α-2sinαcosα+cos2α= ∴ 1-sin2α= ∴ sin2α= 典 例 引 路 例3、求cos20°cos40°cos80°的值. 解：原式 = = = = = = = = = = 同 步 练 习 练3、求sin6°sin42°sin66°sin78°的值. 解：原式 = cos84°cos48°cos24°cos12° = cos12°cos24°cos48°cos84° = = = = = = = = = = 典 例 引 路 例4、求下列各式的值： （1）1-2sin2750° 解：原式 = cos(2×750°) = cos1500° = cos(4×360°+60°) = cos60° = （2）cos4 - sin4 解：原式 =（cos2 + sin2 )(cos2 - sin2 ) = cos2 - sin2 = cos = 同 步 练 习 练4、 （1）求值： - cos2 解：原式 = （1-2cos2 ) = - (2cos2 - 1) = - cos = - × = - （2）化简：,α∈(,2π） 解：∵α∈( ,2π） ∴ cosα＞0 且 ∈( ,π） ∴ cos＜0 原式 = = = = = = |cos| = -cos 典 例 引 路 例5、 解： = = × = × = (1)若tanα=2，则tan(2α+)=______ 解：tan2α= = - tan(2α+ ) = = = - (2)已知tan2α=2，则=____ 同 步 练 习 练5、 解： = = × = × = （2）已知tan2α=4，则=____ (1)若tanθ=，则tan(2θ- )=________ 解：tan2θ= = = 4 tan(2θ- )= = = 典 例 引 路 例6、在△ABC中，已知AB=AC=2BC，求角A的正弦值. 解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为D.设∠BAD=θ，则∠BAC=2θ. ∵ BD = BC = AB， ∴ sinθ= = . ∵ 0＜2θ＜π， ∴ 0＜θ＜， ∴ cosθ=2 = . ∴ sin∠BAC = sin2θ = 2sinθcosθ = 2×× = . D A B C θ 同 步 练 习 练6、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=且3sinB=2sinA,c=. (1)求a的值； (2)求sinB的值； (3)求sin(2B+C)的值． （3）因为a＞b，所以A＞B， 若B为钝角或直角，则A必为钝角，与三角形内角和定理矛盾，故B必为锐角， ∴ cosB = = ∴ sin2B = 2sinBcosB = , cos2B = cos2B-sin2B = ∴sin(2B+C)=sin2Bcos + cos2Bsin = × + × = 解：（1）∵ 3sinB=2sinA ∴b= a ∴()2= a2+b2 - 2abcos = a2 + (a)2 -2a·a· = a2 ∴ a=3 (2) ∵a=3 ∴b = a = 2 ∵ = ∴ = ∴sinB = 典 例 引 路 例7、要把半径为R的半圆形木料截成矩形，应怎样截取，才能使矩 形面积最大？ A O B R α 解：如图，设圆心为O，矩形面积为S，∠AOB=α， 则 AB = Rsinα，OB = Rcosα， S = Rsinα·2(Rcosα) = 2R2sinαcosα = R2sin2α. ∴ 当sin2α取最大值1，即α= 时，矩形面积最大， 最大面积等于R2. 同 步 练 习 练7、如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ= ,C是扇形圆弧上的动点， 矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值是________． 解:连接OC，设∠BOC=α,α∈(0,）， 在Rt△BOC中，0C=1，则BC=OCsinα=sinα,OB=OCcosα=cosα， 因为ABCD为矩形，所以AD=BC=sinα， 又∠POQ=,则OA=AD=sinα，则AB=OB-OA=cosα-sinα， 所以矩形ABCD面积 S = AB×BC = (cosα-sinα)sinα = sinαcosα-sin2α = (sin2α+cos2α)- = sin(2α+ )- ∵α∈(0, ） ∴2α+∈(,) 当2α+ = 即α= 时，S有最大值. 典 例 引 路 例8、已知函数f(x)=sin2x-sin2(x- ), (1)求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间[- ,]上的最大值和最小值. 解：f(x) = - = (cos2x + sin2x)- cos2x = sin2x- cos2x = sin(2x- ) (1)T = = π (2) ∵ - ≤x≤ ∴ - ≤2x≤ ∴ - ≤2x - ≤ 当2x - = - 即x= - 时，f(x)min= - 当2x - = 即x= 时，f(x)max= × = 同 步 练 习 练8、已知函数f(x)=4cosωx·sin(ωx+)(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；（2）讨论f(x)在区间 [0,] 上的单调性. 解：f(x) = 4cosωx·(sinωxcos + cosωxsin) = 4cosωx·(sinωx + cosωx) = 2sinωxcosωx+2cos2ωx = sin2ωx+(cos2ωx+1) = (sin2ωx+cos2ωx)+ = 2sin(2ωx+ )+ (1)∵ π= ∴ω=1 (2)∵ 0≤x≤ ∴ ≤2x + ≤ ∴当 ≤2x + ≤ 即0≤x≤时，f(x)单调递增 当≤2x + ≤ 即≤x≤时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在[0, ]上单调递增，在[,]上单调递减. 同 步 练 习 全 课 总 结 二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα （S2α） cos2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α （C2α） tan2α= （T2α） THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $