4.3.2 半角公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦半角公式，通过问题导思（如用30°余弦值推导15°正余弦值）衔接二倍角公式，构建从已知到未知的推导支架，帮助学生梳理三角函数公式体系脉络。 其亮点在于以问题驱动公式推导，培养数学抽象与逻辑推理素养，典型例题结合规律方法（如符号判断、公式选择）提升数学运算能力，分层评价巩固应用。学生能深化知识理解，教师教学有明确路径，提升课堂效率。

3.2　半角公式 　 第四章　§3　二倍角的三角函数公式 学习目标 1.会用二倍角公式推导出半角公式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.　 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用，培养数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　半角公式 1 任务二　三角函数式的化简 2 任务三　半角公式的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　半角公式 返回 问题1.我们知道cos 30°＝，结合倍角公式你能求出cos 15°和sin 15°的值吗？ 提示：因为cos215°＝，所以cos 15°＝＝＝＝＝＝，sin 15°＝＝. 问题导思 问题2.如果已知角α的余弦值cos α，能否求出这个角的半角的所有三角函数值呢？ 提示：根据倍角公式cos α＝2cos2－1＝1－2sin2，所以sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±. 问题3.对于tan 你还有其他的表示方法吗？ 提示：tan ＝＝＝；tan ＝＝＝. 半角公式 新知构建 半角公式中前面的符号由的所在象限相应的三角函数值的符号确定，若所在象限无法确定，则根号前保留±两个符号. 微提醒 (链教材P167练习T3)已知θ∈且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值. 解：因为θ∈，且sin θ＝，所以cos θ＝－. 又∈， 所以sin ＝－＝－＝－， cos ＝－＝－＝－， 所以tan ＝＝2， 或tan ＝＝＝2. 典例 1 利用半角公式化简、求值的思路 1.看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. 2.明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 规律方法 3.选公式：涉及半角的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝， cos2＝计算. 规律方法 对点练1.(1)(一题多解)已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于 A.2－ B.2＋ C.－2 D.±(－2) √ 法一：因为sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝－2.故选C. 法二：因为sin α＝＞0，cos α＝＞0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，所以tan ＞0，故tan ＝＝＝－2.故选C. (2)已知cos ＝，720°＜α＜900°，则sin 等于 A.－ B.－ C. D. √ 因为720°＜α＜900°，所以180°＜＜225°.因为cos ＝，所以sin ＝－＝－＝－.故选A. 返回 任务二　三角函数式的化简 返回 化简：. 解： ＝(－ ＝＝·＝. 典例 2 　　对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 规律方法 对点练2.(1)已知α是锐角，cos α＝，则cos ＝ A.－ B.＋ C.－ D.－ √ 因为α是锐角，所以0＜＜，因为sin 2＝＝＝，cos 2＝＝＝，所以sin ＝，cos ＝.所以cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝－.故选D. (2)化简：＝____________. －2cos 因为0＜α＜π，所以tan ＝＝＝，所以tan ＝sin α.又因为cos ＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2，所以＝＝＝－.因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以sin ＞0.所以＝ －2cos . 返回 任务三　半角公式的综合应用 返回 求证：＝sin 2α. 证明：左边＝＝＝sin αcos α＝sin 2α＝右边. 所以原等式成立. 典例 3 证明恒等式的一般步骤 第1步：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； 第2步：本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 规律方法 对点练3.求证：－tan θtan 2θ＝1. 证明：左边＝－tan θtan 2θ＝－·＝－＝1＝右边. 所以原等式成立. 返回 课堂小结 任务 再现 1.半角公式.2.三角恒等式的化简与证明 方法 提炼 切化弦、变量代换、角度归一、化繁为简、转化与化归思想方法 易错 警示 半角公式符号的判断 随堂评价 返回 1.已知cos α＝－，＜α＜π，则sin 等于 A.－ B. C.－ D. √ 由＜α＜π可知＜＜，故sin ＝＝＝.故选D. 2.已知cos θ＝－，－180°＜θ＜－90°，则cos 等于 A.－ B. C.－ D. √ 由－180°＜θ＜－90°可知－90°＜＜－45°，故cos ＝＝＝.故选B. 3.△ABC中，sin ＝，则tan ＝ A. B. C.2－ D.－1 √ 因为在△ABC中，sin ＝，所以cos A＝，且A为锐角，所以tan ＝＝2－.故选C. 4.化简：＝_____. 1 原式＝＝＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.已知cos 2α＝－，且α∈，则sin α的值为 A. B. C.－ D.－ √ 因为α∈，所以sin α＞0.因为cos 2α＝－，所以sin α＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知α∈，sin α＝－，则tan ＝ A.3 B.－3 C. D.－ √ 由tan ＝，又α∈，sin α＝－，则cos α＝，所以tan ＝－.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知α为锐角，若sin α＝，则cos 2＝ A. B. C. D. √ 已知α为锐角，若sin α＝，则cos α＝＝，所以cos 2＝＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若α是第三象限角，且sincos β－sin β·cos ＝－，则tan 的值为 A.－5 B.5 C.－ D. √ 由已知及两角差的正弦公式，得sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－.所以tan ＝＝＝－5.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若tan α＝，且α为第一象限角，则sin ＝ A. B.± C. D.－ √ 因为α为第一象限角，且tan α＝，所以cos α＝，且是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ＝＝；当是第三象限角时，sin ＝－＝－.故sin ＝±.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)设sin 2x＝a，cos 2x＝b，0＜x＜，以下各式等于tan 的是 A.－ B. C. D. √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由半角公式，得tan ＝＝，所以tan ＝＝＝，故A正确；tan ＝＝＝＝，故C正确；tan x＝＝，所以tan ＝＝＝，故D正确.故选ACD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.sin ＝__________. sin ＝＝＝. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.设－π＜a＜π，化简的结果是_________. cos ＝＝＝.因为－π＜a＜π，所以－＜＜，从而＝＝cos . 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.·＝_______. －2 原式＝2··＝－·tan 10°＝－2. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知＜α＜3π，试化简 ＋cos . 解：因为＜α＜3π，所以＜＜. 所以cos α＜0，sin ＜0. 故原式＝＋cos ＝＋cos ＝＋cos ＝－sin ＋cos . 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为 A. B.1 C.2 D.不存在 √ √ 2sin α＝4sin cos ＝1＋cos α＝2cos 2，当cos ＝0时，tan 不存在，当cos ≠0时，2sin ＝cos ，则tan ＝.故选AD. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.设a＝cos 212°－sin 212°，b＝，c＝，则 A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.b＜a＜c √ 因为0°＜24°＜30°，依题意，得a＝cos 212°－sin 212°＝cos 24°＞cos 30°＝，b＝＝tan 24°＜tan 30°＝，c＝＝＝sin 24°＜sin 30°＝，则可得b＜a，c＜a，又因为0＜cos 24°＜1，则sin 24°＝＜＝tan 24°，即c＜b，所以c＜b＜a.故选A. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知＝，则tan ＝________. 因为tan ＝，且＝，所以tan ＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知sin ＝，α∈. (1)求sin 的值； 解：因为sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－. 因为α∈，所以sin α＝－＝－＝－. sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 所以sin ＝sin 2α＋cos 2α＝×＋×＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求tan 的值. 解：法一：因为α∈，所以∈，则sin ＞0，cos ＜0. 所以sin ＝＝，cos ＝－＝－， 则tan ＝＝＝－2. 法二：tan ＝＝＝－2. 法三：tan α＝＝，解得tan ＝或－2， 因为α∈，所以∈，则tan ＜0，故tan ＝－2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情景)数学里有一种证明方法叫作Proof without words，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅而有条理.如图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB＝θ，则由tan ∠CAH＝可以直接证明的三角函数公式是 A.tan ＝ B.tan ＝ C.tan ＝ D.tan ＝ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由已知∠COB＝θ，AO＝OC，则∠CAH＝. 又tan ∠CAH＝tan ＝，sin θ＝，cos θ＝， AH＝AO＋OH＝CO＋OH，即CH＝OC·sin θ，OH＝OC·cos θ，所以tan ＝＝＝＝.故选B. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知α∈，β∈，cos －cos (α＋β)＝，tan ＋＝. (1)求cos 2β的值； 解：由cos －cos ＝， 得cos αcos β＋sin αsin β－cos αcos β＋sin αsin β＝，即sin αsin β＝. 因为tan ＝＝， 所以tan ＋＝＋＝. 又因为tan ＋＝，所以＝， 即sin α＝，所以sin β＝， 所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×()2＝－. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求tan (α＋β)的值. 解：由(1)知，sin α＝，sin β＝，又因为α∈，β∈， 所以cos α＝＝＝，cos β＝＝＝. 所以tan α＝＝＝，tan β＝＝＝. 所以tan (α＋β)＝＝＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.2　半角公式 返回 $