第4章 3.1 二倍角公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦二倍角公式，通过“物以类聚”类比情境导入，以“β=α时两角和公式是否成立”问题连接两角和公式与二倍角公式，构建知识脉络，搭配公式推导、自我诊断题作为学习支架，帮助学生夯实基础。 其亮点在于题型覆盖正用逆用、条件求值、化简证明及实际应用，如用二倍角公式解决半圆形空地内接矩形面积问题，培养数学眼光与思维。通性通法总结清晰，助力学生掌握逻辑推理与数学运算能力，教师可直接利用分层练习提升教学效率。

3.1　二倍角公式 1 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式，了解它们的内在联系（逻辑推理、数学运算）. 2.能够运用二倍角公式解决化简、求值问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般性的 事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多.在三角恒等变换 中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？ 【问题】　在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若β＝α，公式还成立吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β＝α 简记符号 正弦 sin 2α＝ ⁠ Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝ ⁠ ＝ ⁠ ＝ ⁠ Cα＋β C2α 正切 tan 2α＝ ⁠ Tα＋β T2α 2 sin α cos α　 cos 2α－ sin 2α　 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二 倍，α是 的二倍等，“倍”描述的是两个数量之间的关系，这里蕴含 着换元思想. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对任意α∈R，总有 sin 2α＝2 sin α. （　×　） （2）对任意α∈R，总有 cos 2α＝1－2 cos 2α. （　×　） （3）对任意α∈R，总有tan 2α＝ . （　×　） （4） sin 22°30' cos 22°30'＝ . （　√　） × × × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 cos x＝ ，则 cos 2x＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： cos 2x＝2 cos 2x－1＝2× －1＝ . √ 3. 已知 sin α－ cos α＝ ，则 sin 2α＝ 　－ 　. 解析：∵ sin α－ cos α＝ ，两边平方得 sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝ ，∴2 sin α cos α＝－ ，即 sin 2α＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜二倍角公式的正用、逆用 【例1】　求下列各式的值： （1） sin 2 π－ cos 2 π； 解：原式＝－ ＝－ cos π ＝－ cos ＝ cos ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） ； 解：原式＝ ＝2× ＝2× ＝2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3） cos 20°· cos 40°· cos 80°. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 对于给角求值问题，一般有两类 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本 关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正 弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件， 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） sin cos ； 解：原式＝ ×2 sin cos ＝ × sin ＝ . （2） ； 解：原式＝ · ＝ ×tan 45°＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3） cos 4 － sin 4 . 解：原式＝ ＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用二倍角公式解决条件求值问题 【例2】　已知 sin （x＋ ）＝ ，x∈（0， ）. （1）求tan 2x的值； 解： sin （x＋ ）＝ cos x＝ ， 由于x∈（0， ），所以 sin x＝ ， 故tan x＝ ＝2 ， 故tan 2x＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求2 cos 2（x＋π）＋ cos （ －2x）的值. 解：由2 cos 2（x＋π）＋ cos （ －2x）＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决条件求值问题的方法 　　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观 察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变 换和角之间的二倍关系. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知 sin α＝ ，α∈（0， ），则 cos （2α＋ ）的值为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为 sin α＝ ，α∈（0， ），所以 cos α＝ ＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ ， cos 2α＝1－2 sin 2α ＝1－2×（ ）2＝ .所以 cos （2α＋ ）＝ cos 2α－ sin 2α＝ × － × ＝ .故选A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜利用二倍角公式解决化简与证明问题 【例3】　（1）化简： － ； 解：原式＝ ＝ ＝tan 2θ. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求证： cos 2（A＋B）－ sin 2（A－B）＝ cos 2A cos 2B. 解：证明：左边＝ － ＝ ＝ （ cos 2A cos 2B－ sin 2A sin 2B＋ cos 2A cos 2B＋ sin 2A sin 2B）＝ cos 2A cos 2B＝右边，∴原等式成立. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用二倍角公式化简与证明的方法 （1）化简的方法：①尽可能地利用二倍角公式及其变形降低三角函数的 次数，将函数名称尽可能地统一，将复角化单角，尽量统一角度；②要求 化简后的结果能求值的求值，不能求值的要保证三角函数名种类最少、项 数最少、次数最低，分式分母中尽量不含根号； （2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一 边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等 式出发，一步步寻找等式成立的条件. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 （1）求证： · ＝tan 2α； 解：证明：左边＝ · ＝tan 2α＝右边，∴原等式成立. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）化简： . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜二倍角公式在实际问题中的应用 【例4】　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划 出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另 两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. （1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积 最大，最大值是多少？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：连接OB，如图所示， 设∠AOB＝θ，则AB＝OB sin θ＝20 sin θ，OA＝OB cos θ＝20 cos θ，且θ∈ . 因为A，D关于点O对称， 所以AD＝2OA＝40 cos θ. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AD·AB＝40 cos θ·20 sin θ＝400 sin 2θ. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 因为θ∈ ， 所以2θ∈（0，π）， 所以当 sin 2θ＝1， 即θ＝ 时，Smax＝400（m2）. 此时AO＝DO＝10 （m）. 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最 大，其最大面积是400 m2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位 置，使步行小路的距离最远？ 解：由（1）知AB＝20 sin θ，AD＝40 cos θ， 所以AB＋BC＋CD＝40 sin θ＋40 cos θ＝40 sin （θ＋ ）， 又θ∈ ，所以θ＋ ∈ ， 当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，（AB＋BC＋CD）max＝40 ， 此时AO＝DO＝10 ，即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的 距离最远. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的 常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变 换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的 有界性来解决. 2. 在三角形中讨论三角函数问题时，要注意三角形内角和定理A＋B＋C ＝π，以及各角的范围是（0，π）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点， 四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值时，矩形 ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解：在Rt△OBC中，OB＝ cos α，BC＝ sin α. 在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝ sin α， ∴AB＝OB－OA＝ cos α－ sin α. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AB·BC＝（ cos α－ sin α） sin α ＝ cos α sin α－ sin 2α＝ sin 2α－ ＝ － ＝ sin － . 由0＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ . ∴当2α＋ ＝ ，即α＝ 时，S最大＝ . 因此，当α＝ 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，则 sin 2α＝（　　） A. B. － C. － D. 解析：因为 sin α＝－ ，π＜α＜ ，所以 cos α＝－ .所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若 sin 2α＝－ ，则 cos 2（α－ ）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： cos 2（α－ ）＝ ＝ ＝ ＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 求值： ＝ 　​ 　. 解析：∵ sin 50°（1＋ tan 10°） ＝ sin 50°· ＝ sin 50°· ＝1， cos 80° ＝ sin 10° ＝ sin 210°， ∴ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 函数f（x）＝ sin x cos x的最小值是（　　） A. －1 B. － C. D. 1 解析：　f（x）＝ sin 2x∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知x∈ ， cos x＝ ，则tan 2x＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：　由 cos x＝ ，x∈ ，得 sin x＝－ ，所以tan x＝－ ， 所以tan 2x＝ ＝ ＝－ ，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2 ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 cos 2 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝2 sin x－ sin 2x在[0，2π]内的零点个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：　f（x）＝2 sin x－2 sin x cos x＝2 sin x·（1－ cos x），令f（x） ＝0，则 sin x＝0或 cos x＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所 以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列各式中，值为 的是（　　） A. sin 30° cos 30° B. cos 230°－ sin 230° C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为 sin 30° cos 30°＝ sin 60°＝ × ＝ ，所以A不正 确；因为 cos 230°－ sin 230°＝ cos 60°＝ ，所以B不正确；因为 ＝ × ＝ tan 60°＝ ，所以C正确；因为 ＝ ＝ ，所以D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕函数f（x）＝ sin 2x＋ sin 2x，x∈R，下列说法正确的是 （　　） A. f（x）的最小正周期为2π B. f（0）＝0 C. f（x）的值域为 D. f（x）的值域为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　f（x）＝ sin 2x＋ sin 2x＝ sin 2x－ cos 2x＋ ＝ sin ＋ ，所以T＝ ＝π，所以A不正确；f（0）＝ × ＋ ＝0，所以B正确；因为－1≤ sin ≤1，所以f（x）＝ sin 2x＋ sin 2x的值域为 ，所以C正确，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 2 sin 222.5°－1＝ ⁠. 解析：原式＝－ cos 45°＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若tan α＝3，则 ＝ ⁠. 解析：因为tan α＝3，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°＝ ⁠. 解析：原式＝ sin 6° cos 48° cos 24° cos 12° ＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 求下列各式的值： （1）2 tan 15°＋tan215°； 解：原式＝ tan 30°（1－tan215°）＋tan215° ＝ × （1－tan215°）＋tan215°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°. 解：法一　 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° ＝ cos 20° cos 40° cos 80° ＝ ＝ ＝ ＝ · ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　令x＝ sin 10° sin 50° sin 70°， y＝ cos 10° cos 50° cos 70°. 则xy＝ sin 10° cos 10° sin 50° cos 50° sin 70° cos 70° ＝ sin 20°· sin 100°· sin 140° ＝ sin 20° sin 80° sin 40° ＝ cos 10° cos 50° cos 70°＝ y. 因为y≠0，所以x＝ . 从而有 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知 cos （ －α）＝2 cos （α＋ ），则 sin （2α＋ ）＝（　　） A. B. C. － D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为（ －α）＋（α＋ ）＝ ，所以 cos （ －α）＝ sin （α＋ ），则 sin （α＋ ）＝2 cos （α＋ ），即tan（α＋ ）＝2，所以 sin （2α＋ ）＝2 sin （α＋ ） cos （α＋ ）＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知 sin 2α＝ cos （ π＋α），则α的值可能是（　　） A. 2π B. π C. π D. － π 解析：由 sin 2α＝ cos （ π＋α），得2 sin α cos α＝ sin α，解得 sin α＝0或 cos α＝ ，又 sin 2π＝0， cos π＝ ， cos π＝－ ， cos （－ π）＝ ，故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α cos α，tan ＝ ，则tan α ＝ 　​ 　；β＝ 　​ 　. 解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得1－（1－2 sin 2α）＝ sin α cos α，即2 sin 2α＝ sin α· cos α.因为α为锐角，所以 sin α≠0，所以2 sin α＝ cos α，即 tan α＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.因为β为锐 角，所以β＝ . 法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝1.因为β为锐 角，所以β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知 sin α＋ cos α＝ ，α∈ ， sin ＝ ，β∈ . （1）求 sin 2α和tan 2α的值； 解：由题意得（ sin α＋ cos α）2＝ ，即1＋ sin 2α＝ ，所以 sin 2α ＝ ，又易知2α∈ ， 所以 cos 2α＝ ＝ ， 所以tan 2α＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求 cos （α＋2β）的值. 解：因为β∈ ，β－ ∈ ， sin ＝ ，所以 cos ＝ ， 所以 sin ＝2 sin cos ＝ . 又 sin ＝－ cos 2β，所以 cos 2β＝－ . 又易知2β∈ ，所以 sin 2β＝ . 又 cos 2α＝ ＝ ，所以 cos α＝ ，所以 sin α＝ ，所以 cos （α＋ 2β）＝ cos α cos 2β－ sin α sin 2β＝ × － × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕已知ω＞0，函数f（x）＝ sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－ 的 最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　） A. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称 B. 函数f（x）在区间 上单调递增 C. 将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度可得函数g（x）＝ cos 2x 的图象 D. 当x∈ 时，函数f（x）的最大值为1，最小值为－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为f（x）＝ sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－ ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ sin ，所以T＝ ＝π，所以ω＝1，所以f（x）＝ sin .由2x＋ ＝ ，得x＝ ，所以函数f（x）的图象关于直线x ＝ 对称，所以A正确；当x∈［ ， ］时，2x＋ ∈ ，所以 函数f（x）在区间 上单调递减，故B不正确；将函数f（x）的图 象向右平移 个单位长度所得图象对应的函数为y＝f ＝ sin ＝ sin 2x，所以C不正确；当x∈ 时，2x＋ ∈ ，所以f（x）∈ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 某市政府决定将一扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的 半径为200 m，圆心角∠AOB＝ . （1）如图①，将扇形的内切圆E区域作为市民健身活动场所，其余区域种 植各种花草改造为景观绿地，求内切圆的半径r； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：连接OE并延长交 于点C，设圆E与OA相切 于点D，连接ED，如图. 由题意设EC＝ED＝r，则OE＝200－r，∠EOD＝ ， 所以在Rt△EOD中，ED＝OE sin ，即r＝ （200－r）， 解得r＝400 －600（m）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）如图②，扇形内有一矩形MNOP（边OP在半径OA上，点M在 上）区域为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草改造为景观绿地， 设∠MOA＝θ.求市民健身活动场所矩形MNOP面积的最大值. 解：在Rt△OPM中，OP＝OM cos θ＝200 cos θ，MP＝OM sin θ＝200 sin θ， 所以矩形MNOP的面积为OP·MP＝40 000 sin θ· cos θ＝20 000 sin 2θ， 所以当2θ＝ ，即θ＝ 时，矩形 MNOP的面积有最大值为20 000 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $