4.2.4 积化和差与和差化积公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦“积化和差与和差化积公式”，通过复习两角和差的正余弦公式及辅助角公式搭建学习支架，以“三角函数乘积如何化简”的问题驱动，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 其亮点在于以公式推导过程培养数学思维，通过典例（如三角形中取值范围问题）和同步练习强化数学语言应用，全课总结系统梳理公式体系。学生能提升公式应用与问题解决能力，教师可借助清晰的教学路径高效开展教学。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第2节 两角和与差的三角函数公式 2.4 积化和差与和差化积公式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握积化和差、和差化积公式. 2、会利用公式进行化简、计算及证明. 1、掌握积化和差、和差化积公式. 1、会利用公式进行化简、计算及证明. 2 新 知 引 入 cos(α+β)=_______________________ （Cα+β） cos(α-β)=________________________ （Cα-β） 公式中的 α、β 为_______角. 1、两角和与差的余弦公式 2、两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=_________________________ （Sα+β） sin(α-β)=__________________________ （Sα-β） 公式中的 α、β 为_______角. sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ 任意 任意 新 知 引 入 3、三角函数的叠加公式（辅助角公式） a a ____________________________________ sin( ) , tanφ= cos( ), tanθ= 利用辅助角公式可以把两个三角函数的和或差的形式化简为一个三角函数。 那么，当遇到两个三角函数的乘积时，比如sinxcos(x+),该如何化简为一个三角函数呢？ 学 习 新 知 cosαcosβ - sinαsinβ = cos(α+β) ① cosαcosβ + sinαsinβ = cos(α-β) ② sinαcosβ + cosαsinβ = sin(α+β) ③ sinαcosβ - cosαsinβ = sin(α - β) ④ 积化和差公式 ①+②得： cosαcosβ=_____________________________ [cos(α+β)+cos(α-β)] ① - ②得： sinαsinβ=_____________________________ - [cos(α+β) - cos(α-β)] ③+④得： sinαcosβ=_____________________________ [sin(α+β)+sin(α-β)] ③ - ④得： cosαsinβ =___________________________ [sin(α+β) - sin(α-β)] 学 习 新 知 积化和差公式 cosαcosβ= [cos(α+β) + cos(α-β)] sinαsinβ= - [cos(α+β) - cos(α-β)] sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ= [sin(α+β) - sin(α-β)] 注意：1、 2、 余余，正正（等号左边两个三角函数同名），公式后面是两个余弦； 正余，余正（等号左边两个三角函数异名），公式后面是两个正弦. 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数的和 乘常数的形式，常用于三角函数的求值和化简. 典 例 引 路 例1、求值：（1） sincos 解：sincos = [sin + sin] = = + . （2）sin15°sin30°sin75° 解： sin15°sin30°sin75° = sin15°sin75° = [cos(15°+75°)-cos(15°-75°)] = (cos90°-cos60°) = ×() = . 同 步 练 习 练1、求值：（1）coscos (2) 2cos(α-45°)sin(α+45°) 解：coscos = [cos( + )+cos( - )] = ( + 1) = 解：2cos(α-45°)sin(α+45°) = sin[(α-45°)+(α+45°)]-sin[(α-45°)-(α+45°)] = sin2α+sin90° = 1+sin2α 典 例 引 路 例2、函数f(x)=4sinx 的最大值是( )   A.1 B.3 C.-1 D.2 解： ∴ 函数的最大值为1. A 同 步 练 习 练2、函数y=cos 的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.π 解： ）+ ∴ 函数的最小正周期 =π. C 典 例 引 路 例3、在△ABC中，若B=30°，则cosAsinC的取值范围是（     ） A. [-1,1] B. [- ,] C. [- ,] D.[- , ] 解：∵ 180°= A+B+C = A+30°+C ∴C = 150°- A cosAsinC = cosAsin(150°- A) = [sin(A+150°- A)-sin(A-150°+ A)] = [ - sin(2A-150°)] = - sin(2A-150°)+ ∵0°＜A＜150° ∴0°＜2A＜300° ∴-150°＜2A-150°＜150° ∴- ≤sin(2A-150°)≤ ∴ - ≤ - sin(2A-150°)≤ ∴ - ≤- sin(2A-150°)+ ≤ C 同 步 练 习 练3、求函数 y=sinxcos( - x),x∈(0, )的值域。 解：y = sinxcos( - x) = [sin(x+ - x)+sin(x - + x)] = [ + sin(2x - ) ] = sin(2x - )+ ∵ 0＜x＜ ∴ 0＜2x＜π ∴ - ＜2x- ＜ ∴ - ＜sin(2x - )≤1 ∴- ＜sin(2x - )≤ ∴ 0＜sin(2x - )+ ≤ ∴ 函数的值域为（0，]. 学 习 新 知 cos(α-β)-cos(α-β)=______________ cosαcosβ= [cos(α+β) + cos(α-β)] sinαsinβ= - [cos(α+β) - cos(α-β)] sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ= [sin(α+β) - sin(α-β)] sin(α+β)+sin(α-β)=_____________ sin(α+β)-sin(α-β)=______________ cos(α+β)+cos(α-β)=_____________ 2sinαcosβ 2cosαsinβ 2cosαcosβ -2sinαsinβ 和差化积公式 设 α+β = x , α -β = y则 α = ,β = sinx+siny=2sincos sinx - siny=2cossin cosx+cosy=2coscos cosx-cosy=-2sinsin 学 习 新 知 和差化积公式 sinx+siny = 2sincos sinx-siny = 2cossin cosx+cosy = 2coscos cosx-cosy = -2sinsin 注意：1、 2、 等号左边是两个同名函数. 利用和差化积公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函 数的和或差化成积的形式. 典 例 引 路 例4、把下列各式化为积的形式： (1)sin103°+sin17°； (2)cos -cos . 解：sin103°+ sin17° = 2sincos = 2sin60°cos43° = cos43° 解：cos -cos = 2sin·sin = 2sin·sin = sin. 同 步 练 习 练4、把下列各式化成积的形式：   sin3x-sin5x 解： = = -2cos4xsin ) = -2sinxcos4x 解： = 2cos46°cos6° 典 例 引 路 例5、把cosx+化为积的形式. 解：cosx+ = cosx+cos = 2cos cos = 2cos cos . 同 步 练 习 练5、把cosx+ 化为积的形式. 解：cosx+ = cosx+cos = 2cos cos = 2cos cos . 典 例 引 路 例6、若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=_____. 解： = cosxcosy+sinxsiny = cos(x-y) = sin2x+sin2y = 2sincos = 2sin(x+y)cos(x-y) = 2sin(x+y)× = sin(x+y) ∴ sin(x+y)= 同 步 练 习 练6、若sinxcosy+cosxsiny= ,cos2x - cos2y = ,则sin(x-y)=________. 解： = sinxcosy+cosxsiny= sin(x+y) = cos2x - cos2y = -2sinsin = -2sin(x+y)sin(x-y) = -2×sin(x-y) = -sin(x-y) ∴ sin(x-y) = - 典 例 引 路 例7、(多选题)函数f(x)= 的图象的对称轴 方程不可能为( ) CD 解：f(x) = sin(x+ )-cos[ +( - x)]=sin(x+ )+sin( - x) = 2sincos = 2sincos(x+ )= cos(x+ ) ∴x + = kπ,k∈Z ∴x = kπ- ,k∈Z ∴当k=0时，x= - ; 当k=1时，x= 同 步 练 习 练7、求函数 f(x)=sinx[sinx-sin(x+)]的最小正周期与最值． 解：f(x) = sinx·2cossin = sinx·2cos(x+ )sin(- ) = sinx·2cos(x+ )·(- ) = - sinxcos(x+ ) = - [sin(x+x+ )+sin(x-x- )] = - [sin(2x+ )+sin(- )] = - sin(2x+ )+ ∴ T=π , ymax= , ymin= - 同 步 练 习 全 课 总 结 积化和差公式 cosαcosβ= [cos(α+β) + cos(α-β)] sinαsinβ= - [cos(α+β) - cos(α-β)] sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ= [sin(α+β) - sin(α-β)] 和差化积公式 sinx+siny=2sincos sinx - siny=2cossin cosx+cosy=2coscos cosx-cosy=-2sinsin THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $