4.2.4 积化和差与和差化积公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“积化和差与和差化积公式”，通过问题导思引导学生利用两角和差三角公式推导新公式，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理清知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动逻辑推理，通过典例与分层练习提升数学运算能力，课堂小结提炼方法培养数学语言表达。学生能深化公式理解与应用，教师可借助系统资源高效教学。

2.4　积化和差与和差化积公式 　 第四章　§2　两角和与差的三角函数公式 学习目标 1.理解根据公式Sα±β，Cα±β推导出积化和差与和差化积公式的过程，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.　 2.了解积化和差与和差化积公式的应用，培养数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　三角函数的积化和差 1 任务二　三角函数的和差化积 2 任务三　积化和差与和差化积公式的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　三角函数的积化和差 返回 问题1.利用Cα±β公式探究积化和差公式，能用cos(α±β)表示cos αcos β及sin αsin β吗？ 提示：能.由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， 运用方程思想得，cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 问题导思 问题2.利用Sα±β公式探究积化和差公式，能用sin(α±β)表示sin αcos β及cos αsin β吗？ 提示：类似地由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，运用方程思想得，sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 积化和差公式 cos αcos β＝______________________________； sin αsin β＝______________________________； sin αcos β＝______________________________； cos αsin β＝______________________________. 新知构建 [cos(α＋β)＋cos(α－β)] －[cos(α＋β)－cos(α－β)] [sin(α＋β)＋sin(α－β)] [sin(α＋β)－sin(α－β)] (1)在积化和差公式中角α，β均为任意角.(2)积化和差公式的记忆口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加，异名函数取正弦，正弦相乘取负号. 微提醒 (链教材P160例8)求值： (1)sin 37.5° cos 7.5°； 解：sin 37.5°cos 7.5°＝[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)] ＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝. 典例 1 (2)cos 15°sin 105°； 解：cos 15°sin 105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝[sin 120°－sin(－90°)]＝×＋×1＝＋. (3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 解：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. 　　积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或差乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果. 规律方法 对点练1.(1)已知角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)cos β＝，则cos(α＋2β)的值为 A. B. C. D. √ cos α＝，cos(α＋β)cos β＝， 由积化和差得cos(α＋β)cos β＝[cos(α＋β＋β)＋cos(α＋β－β)]， 即cos(α＋β)cos β＝[cos(α＋2β)＋cos α]， 故［cos(α＋2β)＋］＝，解得cos(α＋2β)＝－＝.故选C. (2)若cos·cos＝－，则sin 2α等于 A. B.－ C. D.－ √ 因为coscos＝×＝×＝＝－，所以sin 2α＝.故选C. 返回 任务二　三角函数的和差化积 返回 问题3.在积化和差公式中，令则α＝，β＝，能得到什么样的关系？ 提示：(1)sin x＋sin y＝2sincos； (2)sin x－sin y＝2cossin； (3)cos x＋cos y＝2coscos； (4)cos x－cos y＝－2sinsin. 问题导思 和差化积公式 sin x＋sin y＝______________； sin x－sin y＝______________； cos x＋cos y＝_____________； cos x－cos y＝______________. 新知构建 2sincos 2cossin 2coscos －2sinsin (1)和差化积公式的记忆口诀：“正加正，正在前，余加余，余并肩.正减正，余在前，余减余，负正弦”. (2)在和差化积公式中角x，y均为任意角. 微提醒 (链教材P161例10，例11)将下列各式化成积的形式： (1)sin 24°＋sin 36°； 解：sin 24°＋sin 36°＝2sin cos ＝2sin 30°cos ＝cos 6°. 典例 2 (2)sin－sin； 解：sin－sin＝2cos ·sin ＝2cos αsin ＝cos α. (3)sin x＋. 解：sin x＋＝sin x＋sin ＝2sin cos ＝2sincos. 　　在应用和差化积时，必须是一次同名(正切除外).若是异名，必须用诱导公式化为同名.若是高次函数，必须利用公式降为一次. 规律方法 对点练2.(1)＝ A.－ B.－ C. D. √ ＝ ＝－＝－＝－.故选A. (2)下列关系式中正确的是 A.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ B.cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C.sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D.＝sin xsin y √ 对于A，sin 5θ＋sin 3θ＝sin＋sin＝2sin 4θcos θ，故A错误；对于B，cos 3θ－cos 5θ＝cos－cos＝2sin 4θsin θ，故B错误；对于C，sin 3θ－sin 5θ＝sin－sin＝－2cos 4θsin θ，故C错误；对于D，[cos－cos]＝×＝sin xsin y，故D正确.故选D. 返回 任务三　积化和差与和差化积公式的综合应用 返回 已知sin θsin＝. (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求cos的值； 解：依题意，sin θsin＝ ＝＝－cos＝， 解得cos＝－. 典例 3 (2)求tan θ的值. 解：因为sin θsin＝sin θ＝，所以sin2θ＋sin θcos θ＝. 则＝＝， 解得tan θ＝2或3. 　　利用和差化积与积化和差可以把函数化为一种三角函数，然后再求值或研究函数的性质. 规律方法 对点练3.已知sin α＋sin β＝，tan ＝，则cos α＋cos β＝ A. B. C. D.1 √ 依题意，sin α＋sin β＝2sin cos ＝，则sin cos ＝.又tan ＝＝，则cos cos ＝.所以cos α＋cos β＝2cos cos ＝.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 1.三角函数的积化和差.2.三角函数的和差化积.3.积化和差与和差化积公式的综合应用 方法提炼 公式法、整体代换法 易错警示 由于公式记忆不正确而造成错误 随堂评价 返回 1.sin cos 等于 A.－ B.＋ C.－ D.＋ √ 原式＝＝＝＋.故 选B. 2.函数y＝sin＋sin的最大值是 A.2 B.1 C. D. √ 因为y＝sin＋sin＝2sin xcos ＝sin x≤1，所以y＝sin＋sin的最大值为1.故选B. 3.(多选题)给出下列四个关系式，其中正确的是 A.sin αsin β＝ B.sin αcos β＝ C.cos αcos β＝－ D.cos αsin β＝ √ √ 直接利用公式，知B、D正确.故选BD. 4.cos 2α－cos 3α化为积的形式为____________. 2sin sin cos 2α－cos 3α＝－2sin sin ＝－2sin sin＝2sin sin . 返回 课时分层评价 返回 1.将sin 93°＋sin 27°化为积的形式，下列结论正确的是 A.cos 33° B.cos 43° C.cos 53° D.cos 63° √ sin 93°＋sin 27°＝2sincos＝cos 33°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.2cos(2x＋)sin(2x－)＝ A.＋cos 4x B.－sin 4x C.＋cos 4x D.－＋sin 4x √ 2cos(2x＋)sin(2x－)＝sin［(2x＋)＋(2x－)］－sin＝sin 4x－sin ＝－＋sin 4x.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为 A.0 B. C. D.1 √ 原式＝sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝2sin cos －sin 80°＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝2×cos 10°－sin ＝cos 10°－cos 10°＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y＝sin(2x＋)＋sin(2x－)在［0，］上的最小值为 A.－ B.－1 C.－ D.0 √ y＝sin ＋sin ＝2sin cos ＝2sin 2xcos ＝sin 2x.由于x∈，所以2x∈，则y∈，故函数在上的最小值为0.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.在△ABC中，若sin A sin B＝(1＋cos C)，则△ABC是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 √ 由已知得sin A sin B＝－[cos (A＋B)－cos (A－B)]，则－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝(1＋cos C)，又A＋B＝π－C，所以cos (A＋B)＝－cos C，代入上式，化简得cos (A－B)＝1.又A，B为△ABC的内角，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知sin α－sin β＝－，cos α＋cos β＝，求tan 的值为 A. B. C.－ D.－ √ 由sin α－sin β＝2cos sin ＝－，cos α＋cos β＝2cos cos ＝，两式相除可得＝tan ＝＝－.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.sin·cos 化为和差的结果是______________________. cos(α＋β)＋sin(α－β) 原式＝＝cos＋sin. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.化简：sin 25°cos 65°＋sin 20°sin 70°＝_______. sin 25°cos 65°＋sin 20°sin 70°＝[sin (25°＋65°)＋sin (25°－65°)]＋[cos (20°－70°)－cos (20°＋70°)]＝(sin 90°－sin 40°)＋(cos 50°－cos 90°)＝－sin 40°＋cos 50°－0＝－sin 40°＋sin 40°＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.计算：cos 20°cos 40°－cos 40°cos 80°＋cos 80°cos 20°＝______. cos 20°cos 40°－cos 40°cos 80°＋cos 80°cos 20°＝－[cos (80°＋40°)＋cos ]＋[cos ＋cos ]＝－(－＋cos 40°)＋＝＋(cos 20°－cos 40°＋cos 100°)＝＋＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知cos ＝，cos ＝.求证： (1)cos αcos β＝3sin αsin β； 证明：因为cos αcos β＝[cos ＋cos ]＝＝， sin αsin β＝－＝ －＝， 所以＝3，即cos αcos β＝3sin αsin β. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)＝3tan β. 证明：由(1)知cos αcos β＝3sin αsin β， 则＝，则＝3tan β. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知sin (α＋β)sin (β－α)＝m，则等于 A.－m B.m C.－4m D.4m √ sin (α＋β)sin (β－α)＝＝＝m.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知cos ＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下各式正确的是 A.sin 2α＝ B.cos ＝－ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为cos 2α＝－ (α，β为锐角)， 故sin 2α＝＝， 故A正确； 因为cos ＝－，所以sin ＝， 所以 cos ＝cos ＝cos 2αcos ＋ sin 2αsin ＝×＋×＝， 故B错误； 由 cos ＝cos αcos β ＋sin αsin β＝，cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝－， 故 cos αcos β＝ ＝＝， 故C正确； 且sin αsin β＝[cos －cos ]＝＝， 所以 tan αtan β＝3， 故D错误.故选AC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)若定义在R上的函数f满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)＝1，则满足上述条件的函数f可以为________________ _______.(写出一个即可) f＝1(答案不 唯一) 令x＝0，则f＋f＝2f，所以f＝f，所以函数f为偶函数，可取f＝1，则f＝f＝f＝f＝1，所以∀x，y∈R，f＋f＝2ff，所以函数f＝1符合题意.故答案为f＝1.(答案不唯一). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)设函数f(x)＝sin x. (1)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)； 解：函数f(x)＝sin x的最小正周期为T＝＝4. 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin ＋sin π＋sin ＋sin 2π＝1＋0－1＋0＝0， 又2 026＝506×4＋2， 因此，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×0＋f(1)＋f(2)＝1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)令g(x)＝f，若任意α，β∈R，恒有g(α)＋g(π＋β)＝2cos sin ，求cos cos 的值. 解：g(x)＝f＝sin x，则对任意的α，β∈R， 恒有g(α)＋g(π＋β)＝sin α＋sin (π＋β)＝sin α－sin β＝2cos sin ， 因为cos ＝cos ＝sin ， 则cos cos ＝cos sin ， 令＝，＝，可得α＝，β＝， 因此，cos cos ＝cos sin ＝ ＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)已知函数f＝sin sin ，则 A.f的最小正周期为π B.f的图象关于x＝对称 C.f在区间上单调递增 D.f在区间上有 4 个零点 √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，由f＝sin sin ＝－cos ，f＝π，故A正确；对于B，f＝－cos ＝ －，x＝对应的函数值是最值，故B正确；对于C，x∈时，t＝2x－∈，此时y＝－cos t在上不单调，故f 上不单调，故C错误；对于D，x∈时，t＝2x－∈，f＝0⇔－cos t＝0⇔cos t＝0，而关于t的三角函数方程cos t＝0在t ∈时，恰好有4个根：，，，，所以f上有 4 个零点，故D正确.故选ABD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)在△ABC中，sin B＋sin C＝1. (1)证明：△ABC不是直角三角形； 证明：若sin B＝1，则sin C＝0，显然不成立，则角B不是直角，同理角C不是直角. 若A＝，则1＝sin B＋sin C＝sin B＋sin(－B)＝sin B＋cos B， 则1＝(sin B＋cos B)2＝1＋2sin Bcos B，所以sin Bcos B＝0，则B＝，矛盾，则角A不是直角. 综上所述，△ABC不是直角三角形. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求角A的最大值. 解：1＝sin B＋sin C＝2sin cos ＝2sin cos ＝2cos cos ≤2cos ， 故cos ≥，即0＜≤，即0＜A≤， 又A＝，B＝C＝满足条件，则角A的最大值是. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.4　积化和差与和差化积公式 返回 $