4.2.3 三角函数的叠加及其应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角函数叠加及其应用，核心知识点为辅助角公式。课堂导入先复习三角函数性质及和差公式，通过例1、练1的化简实例，从特殊到一般引导学生发现辅助角公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如从“cosx+√3sinx”化简到一般公式推导，培养数学思维的推理能力。例题涵盖函数性质、实际应用（如电流合成），体现数学语言的模型观念。总结清晰呈现公式两种形式，助力学生系统掌握，提升变换与应用能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第2节 两角和与差的三角函数公式 2.3 三角函数的叠加及其应用 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换． 2、会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题． 1、会利用辅助角公式解决三角函数的性质问题． 1、会利用辅助角公式解决三角函数的性质问题． 2 新 知 引 入 1、三角函数及其性质 k y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 值域 周期性 奇偶性 对称中心 对称轴 单调行 最值性 R R R [-1,1] [-1,1] x≠ π 2π 2π 奇函数 奇函数 偶函数 （ ，0） （ kπ，0） （ kπ+ ，0） x= kπ+ x= kπ 无 无 增区间：(- ) 减区间：无 增区间：[- 减区间：[+2kπ,] 增区间：[ 减区间：[2kπ,] x=2kπ+时，ymax=1 x=2kπ- 时，ymin=-1 x=2kπ时，ymax=1 x=2kπ+π时，ymin=-1 新 知 引 入 cos(α+β)=_______________________ （Cα+β） cos(α-β)=________________________ （Cα-β） 公式中的 α、β 为_______角. 2、两角和与差的余弦公式 3、两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=_________________________ （Sα+β） sin(α-β)=__________________________ （Sα-β） 公式中的 α、β 为_______角. sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ 任意 任意 4、两角和与差的正切公式 tan(α+β)=________________ (Tα+β) tan(α-β)=_________________ (Tα - β) 公式中的 α、β满足： ____________________________ ____________________________ ____________________________ α≠kπ+(k∈Z) β≠kπ+(k∈Z) α+β≠kπ+(k∈Z) 新 知 引 入 由公式Cα+β ， Cα-β ， Sα+β ， Sα-β可以把α±β的三角函数式转化成的三角函数式.如果从右往左使用公式，可以将三角函数式化简. 典 例 引 路 例1、化简： 解：由公式Sα-β，得 解：可以将，分别看成sin和 由公式Sα+β得 同 步 练 习 练1、化简： （1）cos135°cos15°+sin135°sin15° 解：由公式Cα+β，得 cos135°cos15°+sin135°sin15°= cos(135°-15°)= cos120° = - （2）cosx - sinx 解：可以将，分别看成cos和 由公式Cα-β得 学 习 新 知 观察例1、 解： 问题1、如果把原式改为 cosx+sinx ,该如何进行化简呢？ cosx+sinx=2（）=2 问题2、如果把原式改为 cosx+sinx ,该如何进行化简呢？ cosx+ sinx= （）= 分析：把变式提2，就可转化为原式。而2=__________________， 即提出的数字2是_____________________________________________。 cosx和sinx的系数的平方和的算数平方根 分析：把变式提 ，就可转化为原式。而 =__________________， 即提出的数字 是_____________________________________________。 cosx和sinx的系数的平方和的算数平方根 学 习 新 知 一般地,当a,b不同时为0时, asin α+bcos α= . 三角函数的叠加公式 （辅助角公式） 引入辅助角φ，使得 = = . 所以a=_______________________(a，b不同时为0). 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由 φ的值确定，也就是由tanφ= 来确定. sin() 学 习 新 知 一般地,当a,b不同时为0时, asinα+bcosα= bcosα+asinα = . 引入辅助角θ，使得 = = . 所以a=_______________________(a，b不同时为0). 其中角θ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由 θ的值确定，也就是由tanθ= 来确定. 三角函数的叠加公式 （辅助角公式） cos() 学 习 新 知 一、利用三角函数的叠加公式（辅助角公式）可以把三 角函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式。 二、对于同一个函数，无论化成y=Asin(ωx+φ)还是 y=Acos(ωx+φ)都不影响结果。 典 例 引 路 例2、求f(x)=sinx+cosx的最大值和周期. 解： f(x)= 2 = 2 = 2sin . ∴当x+ =2kπ+ (k∈Z)即x=2kπ+ (k∈Z)时，sin取最大值1， 函数f(x)的最大值为2， 周期T = 2π. 同 步 练 习 练2、求f(x)=sinx+cosx的最大值和周期. 解： f(x)= cosx+sinx = 2 = 2 = 2cos . ∴当x- =2kπ(k∈Z)即x=2kπ+ (k∈Z)时，cos取最大值1， 函数f(x)的最大值为2， 周期T = 2π. 典 例 引 路 例3、已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是 I1=sinωt， I2= 2sin ， I3= 4sin ，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间，求它们合成后的 电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅. 解：I = I1 + I2 + I3 = sinωt+ 2sin + 4sin = sinωt+ 2 +4 = 4sinωt+cosωt = = (sinωt cosθ+cosωtsinθ)，其中tanθ= = sin(ωt+θ)，其中tanθ= 振幅是. 同 步 练 习 练3、函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域是___________. 解：f(x) = sinx - cos(x + ) = sinx - cosxcos + sinxsin = sinx - cosx + sinx = sinx - cosx = sin( x- ) ∴ f(x)的值域是[-, 典 例 引 路 例4、已知函数f(x)=sin+cos在(0， a)(a＞0)上是增函数，则a的 取值范围是______. 解： f(x)= sin+cos = 2sin， 由 - + 2k≤ ≤ +2k，k∈Z， 得 +4k≤ ≤ +4kπ，k∈Z， 取k=0得 - ≤ ≤ ， 所以0＜a≤ . 故a的取值范围是(0，]. 同 步 练 习 练4、已知ω＞0，函数f(x)=cosωx+sinωx在区间(0,)上单调递增， 则ω的最大值为______. 解：f(x) = cosωx+ sinωx = 2sin(ωx+ ) ∵ 2kπ- ≤ωx+ ≤2kπ+ ,k∈Z ∴ ≤x≤,k∈Z ∴ ≤0,且,k∈Z ∴ k≤ 且ω≤6k+1,k∈Z 又∵ω＞0 ∴ ω≤1 ∴ ω的最大值为1. 典 例 引 路 例5、设θ∈，若函数f(x)=sin(x+ θ)+cos(x+ θ)是奇函数， 则θ =_____. 解：(法一） 函数f(x)= sin(x+θ)+cos(x+θ) = 2sin(x+θ+ ) ∵ f(x)是奇函数， ∴θ+ =k，k∈Z， ∴θ= kπ- ，k∈Z， 又θ∈ ∴ k = 0 ， θ= . 解：(法二） 函数f(x)= sin(x+θ)+cos(x+θ) = 2cos(x+θ- ) ∵ f(x)是奇函数， ∴θ- =k + ，k∈Z， ∴θ= kπ+ ，k∈Z， 又θ∈ ∴ k = -1 ， θ= . 同 步 练 习 练5、若函数f(x)=5sin(x+θ)+12cos(x+θ)为奇函数，则tanθ=________． 解：f(x)= 13[sin(x+θ)+ cos(x+θ)] 令cosα= ,sinα= ,即tanα= 则f(x)= 13[cosαsin(x+θ)+sinαcos(x+θ)] = 13sin(x+θ+α) ∵ f(x)为奇函数 ∴θ+α=kπ,k∈Z ∴θ=kπ-α,k∈Z ∴ tanθ = tan(kπ-α) = -tanα= - 典 例 引 路 例6、已知函数f(x)=asinx+cosx，若x= 为f(x)的图象的一条对称轴， 则a=_________． 解：f(x)= asinx+cosx = sin(x+θ),其中θ为辅助角 ∵x = 为f(x)的图象的一条对称轴 ∴ f( )为最大值或最小值 ∴ f( ) = asin+cos = ± 即 a + =± 解得 a = 同 步 练 习 练6、若函数 y=asin2x+cos2x的图像关于 x= 对称，则实数a=______. 解：y = asin2x+cos2x = (sin2x· + cos2x·) 令cosθ= , sinθ= ,即tanθ= 则 y = sin(2x+θ) ∵x = 为f(x)的图象的一条对称轴 ∴ 2× +θ=kπ+ ,k∈Z ∴ θ= kπ+ ,k∈Z ∴ = tanθ= tan(kπ+ )= 解得 a = 典 例 引 路 例7、写出函数f(x)=sin2x+cos2x的一个对称中心。 解：f(x)= 2(sin2x + cos2x) = 2(sin2xcos+cos2xsin = 2sin(2x+) ∴ 2x + = kπ,k∈Z ∴ x= - ,k∈Z ∴ 对称中心为（ - ，0），k∈Z ∴ 令k=0,f(x)的一个对称中心(- ,0). 同 步 练 习 练7、已知函数f(x)=Acosωx-sinωx (A＞0,ω＞0)图象的对称中心为 (+,0)(k∈Z),周期为π，则A=______ 解：f(x)=Acosωx- sinωx = cos(ωx+θ),θ为辅助角且tanθ= ∴ = π ∴ω=2 ∴ f(x) = Acosωx- sinωx = cos(2x+θ) ∵ f(x)的对称中心为( + ,0) ∴ 2×( + )+θ = k1π+ ,k∈Z,k1∈Z ∴θ= k1π-kπ+ ,k∈Z,k1∈Z ∴ tanθ = tan(k1π-kπ+) = tan = = ∴ A=3 同 步 练 习 全 课 总 结 三角函数的叠加公式 （辅助角公式） a sin() , tanφ= a cos( ), tanθ= THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $