4.2.4积化和差与和差化积 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角恒等变换中的积化和差与和差化积公式，课堂导入通过物理简谐振动实例引出和差与乘积转化问题，再复习两角和差公式搭建学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点是采用互动探究模式，分组推导公式培养逻辑推理能力，换元法渗透化归思想，结合记忆口诀和易错点辨析强化应用。既让学生用数学思维构建知识体系，又通过典例提升运算能力，为教师提供结构化资源，助力高效教学。

第4章 三角恒等变换 4.2.4 积化和差与和差化积 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 3 了解积化和差、和差化积公式的推导过程，牢记8个核心公式，能熟练运用公式进行三角函数式的化简、求值与简单恒等证明，掌握公式使用的基本技巧[1][4]。 通过两角和差正弦、余弦公式的加减运算推导新公式，体会化归、换元、逆向使用公式的数学思想，提升逻辑推理能力和数学运算能力 感受三角函数公式之间的内在联系，体会数学的严谨性与系统性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，激发对三角恒等变换的学习兴趣 新课引入 物理中的简谐振动 在物理中，两个简谐振动的合成问题经常遇到。例如： 两个频率相近的音叉同时振动，产生的声波可以表示为,y 2 =Asin(ω 2 t) 合成后的振动为：y=y 1 +y 2 =A[sin(ω 1t)+sin(ω2t)] 思考问题： 如何将 sinα+sinβ 化为乘积形式，以便分析合成振动的特征？ 反过来，如何将 sinαcosβ 这种乘积形式化为和差形式，以便进行积分运算？ 新课引入 同学们，我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，大家还记得这些公式吗？请大家回忆并写出：sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)的表达式。 ① sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ ② sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ ③ cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ ④ cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ 大家观察这四个公式，发现它们都是“和差形式”与“乘积形式”的相互转化——左边是角的和差的三角函数，右边是三角函数的乘积组合。那反过来思考：如果我们遇到三角函数的乘积形式，比如sin37.5°cos7.5°，能不能转化为和差形式来简化计算？如果遇到三角函数的和差形式，比如sin15°+sin5°，能不能转化为乘积形式来方便化简？ 这些问题的解决，就是我们今天要学习的核心内容——积化和差与和差化积，它将进一步丰富我们的三角恒等变换工具，帮助我们更高效地解决三角函数相关问题 互动探究 公式推导探究 和差化积与和差化积 分组任务：将同学们分成4组，每组负责推导1个积化和差公式，给出两角和差的正弦、余弦公式(板书） 探究要求：第1组通过①+②推导sinαcosβ的表达式，第2组通过①-②推导cosαsinβ的表达式，第3组通过③+④推导cosαcosβ的表达式，第4组通过③-④推导sinαsinβ的表达式. 展示交流：每组派代表上台展示推导过程，教师点评纠错，强调推导过程中“消元”的思想，最终得出4个积化和差公式。 互动探究 逆向迁移探究 和差化积与和差化积 提出问题：积化和差是“乘积→和差”，那我们能不能通过换元，将和差化积公式（和差→乘积）推导出来？ 引导换元：令α = ，β = ，那么α+β = x，α-β = y，将其代入积化和差公式，尝试推导sinx+siny、sinx-siny、cosx+cosy、cosx-cosy的表达式 合作完善：同桌合作推导，重点关注换元思想的运用和公式符号的准确性 互动探究 易错点辨析 和差化积与和差化积 判断：给出3个易错示例，判断对错并说明理由： ① sinαcosβ = sin(α+β) + sin(α-β)（忽略系数） ② cosα - cosβ = 2sin sin（符号错误） ③ sinα + sinβ = 2sin(α+β)cos(α-β)（遗漏分母2） 小组讨论：结合自身推导过程，总结公式使用的易错点，教师补充梳理，强化学生对公式细节的记忆 构建体系 积化和差公式 和差化积与和差化积 由两角和差的正弦、余弦公式加减推导得出，核心是将“三角函数乘积”转化为“三角函数和差”，公式如下（注意系数和符号） 1.sinαcosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)] cosαsinβ = [sin(α+β) - sin(α-β)] cosαcosβ = [cos(α+β) + cos(α-β)] sinαsinβ = -[cos(α+β) - cos(α-β)] 关键说明： 1. 所有公式前均有系数，不可遗漏； sinαsinβ公式前有负号，需重点记忆； 3. 公式右边的角为α+β和α-β，与左边的α、β直接相关 构建体系 和差化积公式 和差化积与和差化积 通过换元法由积化和差公式推导得出，核心是将“三角函数和差”转化为“三角函数乘积”，公式如下（注意符号和角的形式）： sinα + sinβ = 2sin[]cos[] sinα - sinβ = 2cos[]sin[] cosα + cosβ = 2cos[]cos[] cosα - cosβ = -2sin[]sin[] 关键说明： 所有公式前均有系数2，右边角的形式为和，不可遗漏分母； cosα - cosβ公式前有负号，可结合记忆口诀辅助记忆； 3. 公式仅适用于同名三角函数的和差（异名可通过诱导公式转化为同名） 知识讲解 公式记忆 和差化积与和差化积 和差化积：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦。 积化和差：积化和差有技巧，系数二分要记牢；同名余弦和为先，异名正弦差来表，正弦相乘负号扰。 公式记忆口诀 公式应用要点 化简：将复杂的三角函数式转化为简单形式（如单角、同名三角函数）； 2. 求值：将非特殊角转化为特殊角的和差，简化计算； 证明：通过公式转化，证明三角恒等式； 4. 注意角的范围对三角函数值符号的影响 典例分析 题型1 积化和差公式的应用 【例1】求下列各式的值[1]： （1）sin37.5°cos7.5°；（2）sin20°cos70° + sin10°sin50° （2）原式 = [sin(20°+70°) - sin(70°-20°)] - [cos(10°+50°) - cos(50°-10°)] = [sin90° - sin50°] - [cos60° - cos40°] = (1 - sin50°) - (1/2 - cos40°) = - sin50° - + cos40° ∵ cos40° = sin50°，∴ 原式 = - sin50° + sin50° = 【解】（1）由sinαcosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)]，令α=37.5°，β=7.5°，则： 原式 = [sin(37.5°+7.5°) + sin(37.5°-7.5°)] = [sin45° + sin30°] = 典例分析 题型2 和差化积公式的应用 【例2】求下列各式的值或化简： （1）cos20° - cos50°； （2）sin20° + sin40° - sin80°； （3）化简： 【解】（1）由cosα - cosβ = -2sin[]sin[]，令α=20°，β=50°，则：原式 = -2sin（）sin（） = -2sin35°sin(-15°) = 2sin35°sin15° （2）原式 = 2sin（）cos（） - sin80° = 2sin30°cos(-10°) - sin80° = 2××cos10° - cos10° = cos10° - cos10° = 0 （3）原式 = = = = tan15° = 2 - 典例分析 题型3 公式的综合应用(证明） 【例3】求证： 分母利用积化和差公式： 典例分析 题型3 公式的综合应用（证明） 【例3】求证： 右边分母和差化积：于是, ,代入得综上，原等式成立。 典例分析 题型3 公式的综合应用（证明） 【例4】证明： [证明] 原式 = ∴ 原式成立。 典例分析 题型3 公式的综合应用（求值） 【例5】证明： [证明] 原式 = ∴ 原式成立。 举一反三 1.求下列各式的值：（1）2cos50°cos70° - cos20°；（2）sin80°cos40° - sin40°；（3）sin15° + sin105° （1）解：原式 = cos(50°+70°) + cos(50°-70°) - cos20° = cos120° + cos20° - cos20° = - （2）解：原式 = [sin(80°+40°) + sin(80°-40°)] - sin40° = (sin120° + sin40°) - sin40° = （3）解：原式 = 2sin[]cos[] = 2sin60°cos(-45°) = 举一反三 2.化简：（1）cos40° + cos60° + cos80° + cos160°；（2） （1）解：原式 = (cos40° + cos80°) + - cos20° = 2cos60°cos20° + - cos20° = cos20° + - cos20° = （2）解：原式 - = 2cos2α + 2sin2αtanα = 2cos2α + 2×2sinαcosα= 2cos2α + 4sin²α = 2(cos2α + 2sin²α) = 2(1 - 2sin²α + 2sin²α) = 2 举一反三 3、下列等式错误的是（ ） sin5θ + sin3θ = 2sin4θcosθ B. cos3θ - cos5θ = -2sin4θsinθ C. sin3θ - sin5θ = -cos4θcosθ D. cos3θ + cos5θ = 2cos4θcosθ C 解析：sin3θ - sin5θ = 2cos4θsin(-θ) = -2cos4θsinθ，故C错误。 4、求sin75°sin15°的值 解：sin75°sin15° = -[cos(75°+15°) - cos(75°-15°)] = -[cos90° - cos60°]= -(0 - ) = 举一反三 5、化简：sinθ + sin2θ + sin3θ 解：原式 = (sinθ + sin3θ) + sin2θ（5分） = 2sin2θcosθ + sin2θ = sin2θ(2cosθ + 1) 6、求cos - cos的值 解：原式 = -2sin[]sin[]（5分） = -2sin()sin(-) = -2××(-) = 学海拾贝 知识小结 1. 核心公式：8个公式（4个积化和差、4个和差化积），重点牢记系数、符号和角的形式，可结合记忆口诀强化记忆[4]。 2. 推导逻辑：以两角和差的正弦、余弦公式为基础，通过“加减运算”推导积化和差公式，通过“换元法”推导和差化积公式，体现了化归、换元的数学思想。 3. 应用场景：主要用于三角函数式的化简、求值和恒等证明，核心是将非特殊角转化为特殊角，将复杂形式转化为简单形式 学海拾贝 易错提醒 1. 遗漏公式系数（积化和差的、和差化积的2）；2. 混淆公式符号（尤其是sinαsinβ、cosα - cosβ的负号）；3. 忽略和差化积公式中角的分母2；4. 异名三角函数和差直接使用和差化积公式（需先通过诱导公式转化为同名） 学海拾贝 后续提示 熟练掌握两角和差公式，理解积化和差、和差化积公式与前者的内在联系，避免死记硬背； 多练习不同题型，总结公式使用的技巧（如角的拆分、换元）； 3. 做题时注意审题，关注角的范围和三角函数值的符号，避免计算错误。 后续我们将学习半角公式，进一步完善三角恒等变换体系，大家可提前预习，巩固本节课公式的应用。 感谢聆听! 北师大版2019 $