4.2.3三角函数的叠加及其应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角函数叠加及辅助角公式，通过物理振动合成、交流电路等实际问题导入，引导学生从特殊到一般探究，搭建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，动态演示（拖动滑块观察振幅、初相位）结合物理应用实例（电流合成、简谐振动），培养学生抽象能力与应用意识。知识小结结构化，易错提醒明确，助力学生掌握化归思想，教师可高效开展教学。

第4章 三角恒等变换 4.2.3 三角函数的叠加及其应用 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 理解三角函数叠加的基本原理，掌握 asinx+bcosx 型函数的化简方法 掌握辅助角公式：asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中 tanφ= 能够运用叠加原理解决物理中的简谐振动合成、交流电路等实际问题 经历从特殊到一般的探究过程，培养数学抽象能力 新课引入 物理中的振动合成问题 某质点同时参与两个同方向的简谐振动： 振动1：=3sin2t ，振动2：=4cos2t ，求质点的合振动方程。 =3sin2t+4cos2t 思考 合位移 y==3sin2t+4cos2t 能否化简为 Asin(2t+φ) 的形式？ 新课引入 交流电路问题 在RLC串联电路中，总电压 u=，若： = sinωt ， = cosωt（电感电压超前电流90°） ， 如何求总电压的幅值和初相位？ 音乐合成 纯音可以表示为正弦函数，不同频率、振幅的正弦波叠加形成复杂的音色。钢琴的一个琴键发声时，实际上是基音与多个泛音的叠加。 互动探究 探究活动1：从特殊到一般 序号 问题 提示 1 能否化为一个三角函数？ 从最简单情形入手 2 尝试提取 ： 引导发现辅助角 3 ，如何继续化简？ 逆用和角公式 4 若改为 呢？ 推广到一般系数 5 对于 ，应提取什么公因子？ 抽象出一般规律 互动探究 探究活动2：几何意义探究 f(x)=asinx+bcosx ， 拖动滑块改变 a,b 的值 ， 观察： 振幅 A=的变化规律 2. 初相位 φ 与点 (a,b) 位置的关系 3. 函数图像的平移变换 绘制函数 动画演示 讲解知识 三角函数的叠加及其应用 核心定理：辅助角公式 a=. 根据Sα+β引入辅助角φ，使得 = =. 所以a==sin(+)(a，b 不同时为0). 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值 由 φ的值确定，也就是由tanφ= 来确定. 讲解知识 三角函数的叠加及其应用 确定辅助角 φ 的方法 步骤： 1. 计算 A= 2. 确定 φ 所在象限：由 (a,b) 的符号决定 3. 计算 tanφ=，结合象限确定 φ 记忆口诀： “提斜化一，找角象限” 所在象限 范围 示例 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 或 讲解知识 三角函数的叠加及其应用 重要推论 推论1（最值）： 最大值： - 最小值： 推论2（周期）： 周期仍为 （当 时） 推论3（单调性）： 令 求增区间 典例分析 题型1 化简函数研究性质 例1：求f(x)=sinx+cosx的最大值和周期. 解： f(x)=2 =2 =2sin . 化简 性质 故当x+=2kπ+(k∈Z)，也就是当x= 2kπ+(k∈Z)时，sin取最大值1， 函数f(x)的最大值为2，周期T=2π. 由此可发现，利用两角和或差的三角 函数公式，可以将某些三角函数式化简成为 Asin(ωx+φ)的情势，以利于研究这类三角函 数的图象和性质. 典例分析 题型2 化简求值 例2 计算 sin +cos 的值是________． 本题主要考察辅助角公式的逆用，核心在于将asinα+bcosα的形式合并为一个正弦函数，简化计算。 步骤1：提取系数，构造特殊角的三角函数值 观察式子 ，系数分别为 和 1。 为了凑出两角和的正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，我们提取两者系数的平方和的算术平方根（即 2）： 原式 ) 步骤2：匹配特殊角，逆用两角和的正弦公式： 根据两角和的正弦公式，逆推得： 步骤3：计算角度并求值 典例分析 题型3 物理应用 例3：已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1=sinωt， I2= 2sin ， I3= 4sin ，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间，求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅. 解：将三个电流瞬时值的函数解析式化成f(x)= Asin(ωx+φ)的情势. 由两角和与差的正弦公式有 I= I1 + I2 + I3 = sinωt+ 2sin + 4sin = sinωt+ 2 +4 =4sinωt+cosωt= =(sinωt cosθ+cosωtsinθ)=sin(ωt+θ)， 其中tanθ=，所以I=sin(ωt+θ)，且它的 振幅是. 典例分析 题型3 物理应用 例4： 已知两个简谐振动 =6sin(2t+)，=8cos(2t+)，求合振动的振幅和初相位。 解答： 首先统一函数名： 设 令 ，则： 其中 ，回代 ： 答案： 合振动振幅 ，初相位 当堂演练 1.已知函数f(x)=sin+cos在(0， a)(a＞0)上是增函数，则a的取值范围是______. 解： f(x)=sin+cos=2sin， 由- +2k≤ ≤+2k，k∈Z， 得+4k≤ ≤+4k，k∈Z， 取k=0得- ≤ ≤ ， 所以0＜a≤ . 故a的取值范围是(0，]. 当堂演练 2.设θ∈，若函数f(x)=sin(x+ θ)+ cos(x+ θ)是奇函数，则θ =_____. 解：函数f(x)=sin(x+ θ)+cos(x+ θ) =2sin(x+ θ+)是奇函数， 故θ+=k，k∈Z，又θ∈ ∴k=0，θ =. 当堂演练 3.将 化为 的形式。 答案与解析 答案： 当堂演练 4.函数 的最大值为_，取最大值时 =_。 最大值 ，此时 ，即 （） 答案： ；（） 当堂演练 5. 已知函数 。 （1）求 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 时，求 的最大值和最小值。 （1） 最小正周期 单调递增：解得：（） （2）当 时， 当 ，即 时， 当 ，即 时， 学海拾贝 知识小结 三角函数的叠加 │ ├── 核心公式：a sin x + b cos x = √(a²+b²) sin(x+φ) │ │ │ ├── 振幅 A = √(a²+b²) │ ├── 辅助角 tan φ = b/a（注意象限） │ └── 几何意义：向量(a,b)的旋转 │ ├── 应用 │ │ │ ├── 求最值：y_max = A, y_min = -A │ ├── 求周期：T = 2π/ω │ ├── 求单调区间：整体代换法 │ └── 实际问题：振动合成、交流电路 │ └── 方法总结 │ ├── 化归思想：将复杂式化为Asin(ωx+φ) ├── 数形结合：向量法理解辅助角 └── 整体代换：将ωx+φ视为整体 学海拾贝 易错提醒 易错点 正确做法 辅助角符号错误 ，不是 忽视 的象限 根据 确定 所在象限 周期计算错误 注意 的影响， 最值取不到 注意定义域限制，可能最值在端点取得 感谢聆听! 北师大版2019 $