第45讲 空间向量在立体几何中的应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，涵盖平行垂直证明、空间角与距离计算、线上动点问题等高考核心考点，按“基础回顾-题型分类-例题精讲”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破几何证明与计算难点。 讲义以题型精准分类为特色，每个考点配套典型例题与解题策略，如用空间向量法推导空间角公式培养数学思维，通过坐标运算规范表达提升数学语言能力。设置基础到综合的例题梯度，助力学生快速构建解题框架，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第45讲 空间向量在立体几何中的应用 题型一 用空间向量证明平行和垂直 3 题型二 用空间向量求空间角 18 题型三 用空间向量求空间距离 34 题型四 用空间向量解决线上动点问题 51 【基础回顾】 知识点1：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫作平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向量； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点2：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点3：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一 用空间向量证明平行和垂直 【例题精讲】 1．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直来证明面面垂直即可； （2）（方法一）利用线面平行来证明线线平行，再通过线段成比例，可求出线段长； （方法二）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，通过向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接． 因为平面平面， 平面平面，所以． 因为是的中点，所以是的中点，所以． 过点作，交于点，因为是的中点，所以， 因为是的中点，所以，所以． 因为，所以， 因为是的中点，，所以 所以， 则在直角中，可得，所以． （方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为， 是的中点，是的中点，所以． 设， 所以． 因为平面的法向量平面，所以， 所以，即，所以，所以． 2．如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． (1)求证：平面； (2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； (3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明； （2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果. 【详解】（1）在梯形中，因为，所以翻折后有，且， 因为平面，平面，故平面，同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面，又因为平面，所以平面. （2） 由题意，在梯形中，，，即， 且，所以翻折后有，，且， 所以平面，同理，平面， 由二面角的大小为，得， 过点作的垂线，交直线于，由平面，平面， 所以，且，所以平面， 即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值. （3） 过点作的垂线，交直线于点，分别以为轴 正方向建立空间直角坐标系，则，， 在平面中，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， 在平面中，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 3．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 由题意知， 因为， 所以，又平面，又平面， 所以，又平面，且， 所以平面，又平面，所以. (2). 【分析】（1）利用向量数量积证得，再利用线面垂直的性质与判定定义即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系得平面的一个法向量，再设，根据垂直关系得值，最后利用体积公式即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以.    4．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，． (1)求证：平面； (2)设直线与平面交于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量可得答案； （2）连接相交于点，可得的交点就是，由 ，可得答案． 【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，设平面的法向量为， 所以即，令，则， 则，所以，即平面. （2）连接相交于点，则点是中点，连接， 因为平面，故且平面， 而平面，故平面，故平面平面， 所以的交点就是，连接， 又是的中点，所以，， 所以，所以，即. 5．如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，．    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）菱形中，，则是正三角形，在平面内过作， 由平面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是，， 因此，所以.    （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 6．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明如下： 由E，F分别为和的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. (2)当时，为棱的中点. 【分析】（1）利用三角形中位线性质、线面平行的判定推理即得. （2）取AB中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明求解即得． 【详解】（1）略 （2）棱柱中，侧棱底面， 取AB中点O，中点M，连接， 则，平面，而平面，则有， 又，则，即直线两两垂直， 以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 假设在平面上存在点P，使，设， ， ，即，显然， 由，得，因此，即，此时， 所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使. 7．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（1）由已知条件中既有长度关系，又有线面位置关系与角度关系，故可建立空间直角坐标系求解. 取 为原点, 所在平面 为 平面，先求出点 的坐标，再由向量 的方向判断其与平面 的垂直关系. （2）在第(1)问所建坐标系的基础上，先求平面 与平面 的法向量， 再利用两个法向量所成角的余弦值求得两平面的夹角余弦值. 【详解】（1）以 为坐标原点， 所在平面 为 平面， 建立空间直角坐标系. 由题意可取. 设. 因为 ， 所以.(1) 又. 由 ，得即.(2) 同理， 由 ， 得即.(3) 由(2)，(3)联立可得. 代入(1)，得. 因为 在平面 的上方， 所以. 故. 于是. 因为 为上底面 的中心，所以. 所以. 而平面 的方程为 ， 其一个法向量为 . 因此 ，从而. （2）由点的坐标可知， 平面 上各点的 坐标都为 ， 故平面 的一个法向量可取为. 又 . 故平面 的一个法向量可取为. 于是两平面的夹角 满足. 故平面 与平面 的夹角的余弦值为. 8．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】(1) 取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 9．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【详解】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则 ； （2）由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 10．如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)证明：因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，，因为平面，平面，故平面， 又因，平面， 故平面平面，又因平面，故平面. (2)； (3) 【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明； （2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2） 由题意，在矩形中，，在直角梯形中，， 所以为二面角的平面角，即得，同理， 因为，平面，所以平面， 由（1）平面平面，则得平面， 过点作于，由平面，平面，所以， 且，平面，故平面，即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值. （3） 过点作的垂线，交于点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 题型二 用空间向量求空间角 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； (3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以四棱锥的底面为直角梯形， 又因为平面ABCD， 所以四棱锥的体积为：. （2）因为平面ABCD，， 所以可将三棱锥补成长方体，则过四点的外接球即为长方体的外接球， 所以为长方体体对角线的中点， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以， 设异面直线BC与OD所成角为， 所以. 所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为. （3）设，则，， 由题意平面ABP的法向量， 设平面MBP的法向量为， 所以， 令，则，， 所以， 因为平面ABP与平面MBP的夹角为， 所以， 整理得， 所以， 所以当时，， 所以． 2．如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. (1)求异面直线与所成角； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）先证明直线，，两两垂直，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，即可得解； （2）由（1）所建空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，结合二面角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 由，，得， 则，而， 因此，所以直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，所以，， 则，所以， 所以异面直线与所成角为； （2）由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为1. 3．在三棱锥中，和均为等边三角形． (1)若为线段的中点，求证：平面平面； (2)当直线与直线所成角的余弦值为时，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形可得、，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）取的中点，连接，，可证二面角的平面角为，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合线线角可求，从而可求二面角的大小． 【详解】（1）连接，． 和均为等边三角形，，． 为的中点，，． 又，平面，平面，平面， 平面，平面平面． （2）取的中点，连接，． ，为的中点， ，， 二面角的平面角为，设． ，，平面，平面． 以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，设,则 ，，，， ，， 由题意得，， 解得（舍去），，． 故二面角的大小为． 4．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，点H在直线AB上． (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)过P点的直线l与直线EF，直线HG相交，求直线l与平面EFG夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)方法一：因为，，分别为，，的中点，点在直线上， 取中点，连接， 故、，则，故四点共面， 因为平面，，平面， 故直线与直线为异面直线； 方法二：假设直线，不异面，则与相交或平行， 若，又因为，则由，显然不成立，矛盾； 若与相交，不妨设两直线交点为，则平面，且平面， 所以在平面与平面的交线上，因为，显然不成立，矛盾， 综上，假设不成立，直线，为异面直线 (2) 【分析】（1）方法一：根据异面直线的概念，证明直线EF与直线GH不在一个平面内即可. 方法二：利用反证法，证明矛盾，进而得到直线EF与直线GH为异面直线. （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）因为点与直线同在平面中，所以直线平面，又平面， 设直线与直线的交点为，为平面与平面的公共点， 所以交点必在直线上，延长与交于点，联结，则直线即为直线， 因为为中点，所以，又因为，， 所以，所以， 由是正三角形，且为中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、、， 由，分别为，的中点，故、， 则，，，， 设，，则， 所以直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则有， 取，则，即， 设直线与平面的夹角为，则， 当且仅当时，等号成立，故最大值为． 5．如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由题意可取，，， ，，， 为的中点，E为的中点， ，，故， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，且不在平面内， 平面． (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量坐标，求出平面法向量，进而利用法向量与垂直证明结论； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而求出二面角正弦值． 【详解】（1）略 （2）易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则 ， 设平面与平面所成二面角为，则， ． 6．如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即.    7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴， 建立空间直角坐标系，设，根据已知求得，计算即可求得结果； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系． 由题意可取，，，，． 设，，， 则． 于是，． 由可得． 即． 整理得， 所以． 因此． （2）由（1）可知． 平面中，，． 取平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为 设平面与平面所成二面角为，则． 所以． 8．如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，. (1)证明：； (2)已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径. 【答案】(1) 证法一：因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行，即平面平面， 因平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； 证法二：利用向量共线证线线平行 由题知，，， 所以 ， 所以 . 又直线 无公共点，所以 . (2) 【分析】（1）证法一：根据圆台是由圆锥截成的，再由面面平行的性质可得；证法二：根据向量共线证明 ，结合向量共线性质证明结论； （2）先用勾股定理证明，进而证明，然后建立空间直角坐标系，用向量的方法由二面角的值可得圆台的高，设三棱锥 的外接球球心为 ，设 ，根据，列方程求，由此可求结论. 【详解】（1）略 （2）连接， 由已知，得，，分别为上下底面圆的直径， 因此上底面的半径，下底面的半径. 又因为在上底圆，，， 由，可得，即， 由（1）知与必相交于点，所以共面， 因为，，平面，， 所以平面，又因为，所以平面， 且平面，所以； 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系： 设，则， 于是，， 设平面的法向量为， 由，故可取； 又， 设平面的法向量为， 由，故可取， 因二面角的余弦值为， 所以 ，解得（负值舍去）， 所以圆台的高. 设三棱锥 的外接球球心为，易得,则在直线上， 设，又，所以 ， 由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的半径. 9．如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得； （2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）连接，由为中点，则，又， 则四边形为菱形，设，则为中点， 则，所以三角形是直角三角形，且；    （2）当时，是边长为的等边三角形， 又因为梯形的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且，． (1)若平面PCD，求的值； (2)若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量垂直，利用向量的坐标运算求解； （2）（ⅰ）设，利用向量的坐标运算或是利用向量的线性运算即可求解；（ⅱ）利用向量法求平面夹角的余弦即可. 【详解】（1）由题知平面，且， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，， 可得，，， 若平面，平面， 所以． 则，即， 即，解得． （2）（ⅰ）法一：由（1）可得，，，，， 设，连接，如图， 则. 因为点，，，共面， 所以， 则，解得， 故． 法二：设，连接，如图， 则． 因为，即，故， 因为，，，四点共面，且，不共线，所以存在，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 题型三 用空间向量求空间距离 【例题精讲】 1．圆柱的轴截面将其分成两部分，其中一部分如图所示，为母线上一点，截面是边长为4的正方形，四边形的面积为，异面直线与所成角的余弦值为. (1)求； (2)若平面与平面的交线为，求点到的距离； (3)设为平面内一点， ，求直线与平面所成角的正切值的最小值. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）选取圆柱对称中心为原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的余弦值公式列出关于动点坐标的方程，通过代数解法求出点P的位置进而算出PM的线段长度, （2）结合几何垂直性质与坐标法分别求出两相交平面的法向量，通过联立这两个法向量求得平面交线的方向向量，最后利用空间向量的距离公式求出点到该直线的距离, （3）借助正弦定理将题目给定的正弦值比例转化为线段平方比例，进而推导出动点Q在底面内的轨迹为一个圆，最后将线面角正切值最小的极值问题，转化为求底面定点到该圆上动点距离最大的几何问题. 【详解】（1）连接，，如图， 因为，易得四边形为矩形,则，所以．     因为 ， 所以． 因为， 所以，则． 所以点到平面的距离．     取的中点为，以为原点，以平面内垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 所以． 设，则． 所以． 整理得．解得或（舍去）． 所以． （2）由（1）可知，， 则，． 设平面的法向量为， 则 令，则为平面的一个法向量．     因为，，，，平面， 所以平面，即平面． 所以为平面的一个法向量．     设的方向向量为， 则 令， 则为的一个方向向量．     又，所以，． 所以点到的距离为． （3）在中，由正弦定理，得①, 又因为②, 所以联立①②，得 ．     设，则由， 得． 化简整理，得 ．     所以点的轨迹为平面上，以点为圆心，为半径的圆． 易知点在平面内的投影为． 又点的投影到点的距离为， 所以直线与平面所成角的正切值的最小值为． 2．如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 3．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理， ， 即 . 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面 平面. （2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由 ， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. . 4．如图，在正四棱柱中，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解； （2）根据面面角向量法计算求解. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以， 所以点到直线的距离为； （2）， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 5．如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，据此可得线线垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理可得：， 则，所以有，则 由平面平面，平面平面， 且，平面，则平面， 又平面，则. （2）取中点分别为，连接 由为正三角形知，， 结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 可得 设，则，且， 可得 由，解得或（舍去）， 则，且 故点到直线的距离 6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱底面，，点，分别是，的中点，点是的中点，且． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若点是线段上的动点（不含端点），求三棱锥外接球半径的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）先证明线面垂直即平面，再由线面垂直得线线垂直，最后由得； （2）建系，由点到直线距离公式求解； （3）设球心坐标，通过四点共球得方程组求解即可. 【详解】（1）由题意得：，点是的中点，故， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 因为是的中点，所以线段是的中位线，所以， 故． （2）因为侧棱底面，平面，故， 因为，平面，所以平面， 又因为平面， 所以，又因为底面，所以，，两两互相垂直， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，． 因为点是线段的中点，故 ，，． 故点到直线的距离为 （3）设，三棱锥外接球球心为，半径为， 则有， 即解得 所以，故， 即三棱锥外接球半径的取值范围为． 7．为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为．    (1)当时，求二面角的正弦值； (2)当的面积最大时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，利用三棱锥体积的最大值求出的半径，建系后，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （2）利用（1）的坐标系，设，表示出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式求出点到直线的距离的表达式，利用二次函数的性质求出其最大值即得的面积的最大值，以及此时的值. 【详解】（1）设的半径为，则，， 因平面，故当三棱锥体积取得最大值时，中边上的高最大，即为半径长， 故有，解得. 如图以点为原点，所在直线分别为轴，以平面上过点的的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 因，易得，则， 又， 设平面的法向量为， 则，令，取， 易得平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为；    （2）由（1）可得，设，则，， ，则， 所以，则与同方向的单位向量为， 于是点到直线的距离为 ， 因的面积为，， 故当且仅当 时，的面积最大，此时. 8．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求到直线的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. （3）求出，，再求出两向量夹角正弦值，最后乘以即可. 【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． （3），， 则， 则求到直线的距离为. 9．如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】(1)由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）略 （2）因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 10．如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明和，即可证明； （2）根据（1）的结果，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值； （3）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 题型四 用空间向量解决线上动点问题 【例题精讲】 1．在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，是线段的中点， .∵平面平面，平面平面平面， ∴平面.又∵平面，∴， ∵，即，，平面， ∴平面，∵平面 ∴ (2)(2)①；②存在实数 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，进而证明，再结合已知证明平面，最后应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数； ②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【详解】（1）略 （2）解：①取的中点，连接，则 ，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由 平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时， 平面. 2．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形．再从条件①，条件②，条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面． 【答案】(1)只能选择①③，证明见解析 (2) (3)存在点； 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理即可证明平面； （2）先求出两个面的法向量，进一步求出两个法向量夹角余弦的绝对值，即为平面与平面所成角的余弦值； （3）先假设存在，根据线面平行时，线的方向向量与面的法向量垂直，建立等量关系，能求出对应点的坐标，即说明存在. 【详解】（1）证明：因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为的正方形， 所以，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因此，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面平面，平面平面，四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面， 又因为平面，所以，，所以， 又因为，所以，平面，， 所以平面； （2）解：由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 又因为平面，所以为平面的法向量， 所以， 设平面与平面所成角为，则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为； （3）解：假设存在设点，使得平面， 则，因为平面，所以， 又，所以， ，解得， 故，所以， 因此，存在点，即为中点，使得平面，此时． 3．如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至．    (1)是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． (2)当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】(1)翻折到时，平面，此时. (2) 【分析】（1）先证明平面得，再根据时，结合勾股定理，进而即可证明平面，此时求得； （2）结合（1），建立空间直角坐标系，设，，再根据向量法求解线面角，并结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）因为在中，，垂足为， 所以，翻折至时，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为，． 所以，， 所以，当翻折到时，，即， 因为，平面， 所以平面， 综上，当翻折到时，平面，此时. （2）如图建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，整理得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 ， 因为， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为.    4．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解. 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面， ∴. （2）取的中点，连接，， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，由， 令，则，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 设，， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段（不含端点）上存在点，当或时， 直线与平面所成角的正弦值为. 5．如图，四棱锥中，平面，平面平面， (1)证明：平面： (2)点为线段上一点（与不重合）. （i）若，求二面角的余弦值： （ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内. 【分析】（1）方法一：利用线面垂直判定定理，通过证明垂直平面内两条相交直线与来实现；方法二：先求出相关边长和角度，再证明垂直平面内两条相交直线与. （2）（i）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. （ii）先根据向量关系得出点坐标，再利用球心到四点距离相等列出方程，求解方程得到球心坐标，最后根据球心在平面内确定的值. 【详解】（1）方法一：由平面，平面，得， 因为平面平面，且平面平面， 取的中点，连接，又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面. 方法二：因为平面，平面，得， 又因为，所以，， 又因为，所以，， 又因为， 由余弦定理得， 所以，故， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故， 又因为，且，，、平面， 所以平面. （2）（i）以为原点，、、方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由于，即，即， 所以，则， 设平面的法向量为，，， 则，令，则， 设平面的法向量为，， 则， 令，则， 设二面角的平面角为，注意到为锐二面角， 所以， 即二面角的余弦值为. （ii）设，则， 设过，，，四点的球的球心为， 半径为，则， 即，求解可得：， 令，解得满足条件， 综上所述：时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内. 6．在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）根据余弦定理，求出几何体各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由向量共线的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，求出参数值，求出结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，又为的中点，则. 取的中点，显然有. 因为，则在中，， 由余弦定理可得， 可得，所以， 所以，，，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 （2）如图所示，连接，因为，所以， 由（1）可知，两两相互垂直， 则以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故. 记在上的射影点为， 设， 可得， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且. 7．如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面平面ACD； (2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）取的中点，先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论； 解法一：（ⅰ）先证明是二面角的平面角，根据面积公式可得，由此可求结论； （ⅱ）过作交于，求三棱锥的体积，利用等体积法求点到平面的距离，再由线面角的几何定义求结论； 解法二：（ⅰ）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式列方程求， （ⅱ）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）证明：取的中点，由题意知，，所以，，三点共线， 由得；由得， 又，故，所以， 又，且，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）解法一：（几何法） （ⅰ）由（1）知平面，平面， 所以，又，平面平面， 所以是二面角的平面角，所以， 由得， 所以， 即，即， 由得，所以； （ⅱ）过作交于，则平面， 由（ⅰ）知， 所以， 由（ⅰ）知，所以， 记到平面的距离为，所以， 所以，即， 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 解法二：（建系法） （ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则，，， 由得， 设平面的法向量为，由得， 故，取，可得，所以， 设平面的法向量为， 记二面角的大小为，则， 化简得，解得或（舍）， （ⅱ）由（ⅰ）知，取平面的法向量为， 又，记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 8．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. (1)证明： 平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求； (3)若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在 【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明. （2）以为基底，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式可求. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性. 【详解】（1）连接，交于点，连接.如图： 因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形， 所以为中点，又为中点， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）以为基底，设， 则，，，. 设平面的法向量为， 则 . 令，则，所以. 设平面的法向量为， 又，. 由 ， 所以. 令，则，. 所以. 又 . ， . 由 ， 所以 ， 所以或（舍去）. 所以. （3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，. 设，则，，， 因为平面，所以 . 整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量， 要使得为定值，则， 由已知，由（2）得平面的法向量， 而，且点 平面， 则平面， 则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值. 9． 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在, 或 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥； （2）由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得. 【详解】（1）若∥，平面，平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面， 所以∥. （2）因为，所以，所以. 因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面. 过作，垂足为，则. 所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则. 所以平面的法向量为. 由平面，知平面的一个法向量为. 所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 10．如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）由余弦定理求得，由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理可得证； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量即可求解；（3）设，求出平面的法向量，根据两个平面的法向量求解即可. 【详解】（1）由题知， 由余弦定理得， ∴，∴，∴， 又，平面，， ∴平面； （2）如图，过作的垂线，垂足为，则， ∵四边形为等腰梯形，∴. 由（1）知，平面， ∴，又，平面，， ∴平面，∴，∴两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 故与平面夹角的正弦值为； （3）存在. 假设存在，设， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 由题知，解得. 综上，存在点符合，且． 11．如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的中点 (2)存在，M为上靠近点的四等分点 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定定理证明，取的中点，结合和可得到，，，的距离相等，即得三棱锥的外接球球心； （2）建系后设点，分别求平面和的法向量，由两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为，，，平面ABCD， ，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 由题可得，，则，，又， 在中，由余弦定理可得， 由，可得，因为，平面，， 所以平面，又平面，所以， 取的中点，由和是直角三角形， 知到，，，四点的距离相等， 所以三棱锥的外接球球心为的中点. （2）由题可得，，两两垂直，故以为坐标原点， 分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 假设存在点M满足题意，设，，则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 设平面的法向量， 则，故可取. 因为二面角为直二面角，所以， 即，解得，所以M为上靠近点的四等分点. 故存在一点M，使得二面角为直二面角， 此时M为上靠近点的四等分点. 12．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) ． (2)存在， ． 【分析】（1）由线面角的向量求法求解； （2）假设存在点，由面面角的向量求法确定点坐标，并计算的值. 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 ， ， 又， 因为 ，所以 ． 以为原点，、、为 轴正方向建系，如图所示，    则 ， 所以 ， 设平面的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设 与平面 所成角为 ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值 ． （2）假设存在点，设 ，则 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，即 ， 所以 ， 整理得 ，解得 或 ， 所以 或 舍，    所以存在点使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 ． 13．已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点. (1)求体积的最大值； (2)若. （i）时，求外接球的表面积； （ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值， 【分析】（1）根据棱锥体积公式可确定当平面时，四棱锥体积取得最大值，将该体积最大值表示为关于的函数，利用导数可求得最终结果； （2）（i）以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球球心为，根据球心到各个顶点的距离相等可构造方程求得球心坐标和半径，验证可知在该球上，结合球的表面积公式可求得结果； （ii）设，由此可得，根据线面垂直的判定可构造方程组求得的值，进而得到点坐标，由此可表示出，根据向量模长运算可求得结果. 【详解】（1）连接，交于点，连接，作，垂足为，连接， ，，，， ，又， ； ，，， 为中点，是边长为的等边三角形，， ，，即； ，，， 即，，又，平面， 平面，又平面，， ，平面，平面， ， 若四棱锥体积最大，则， 此时； 令，则， 令，解得：， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即四棱锥体积最大值为. （2）由（1）得：为中点，，即，又， 即为二面角的平面角，， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，过作轴平面，可建立如图所示空间直角坐标系， （i）当时，，，，，， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，则， ，解得：，， 此时，即点在三棱锥的外接球上， 三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 四棱锥外接球的表面积. （ii）由题意知：，，，，，， ，，， 三点共线，平面即为平面， 设，则， ， 平面， ，解得：， ，又，， 又， ， ，即的长度为定值，定值为. 14．如图1，在中，两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点，.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，求得，根据面面角的向量求法建立等式计算求解即可. 【详解】（1）在图1的中，， 所以，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2）由题意得平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， ，， 设线段上存在一点，，， 则，，即， 解得，故， 设平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量为， 由题意可得， 令，则，解得， 当时，得，当，此时无解， 所以线段上存在一点，且. 15．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点M即中点 【分析】（1）作平面，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系， 分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解即可； （2）设，利用线面平行的向量判定法求解即可. 【详解】（1）因为平面平面ABCD，平面平面， ，平面，所以平面， 在平面内，过点作 ，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ， 由图可知，二面角的余弦值为. （2）因为，设 则， 由（2）知平面的法向量为 若平面，则有，解得， 所以线段上存在点，使得平面，点即中点. 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲 空间向量在立体几何中的应用 题型一 用空间向量证明平行和垂直 3 题型二 用空间向量求空间角 7 题型三 用空间向量求空间距离 10 题型四 用空间向量解决线上动点问题 14 【基础回顾】 知识点1：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫作平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向量； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点2：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点3：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一 用空间向量证明平行和垂直 【例题精讲】 1．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 2．如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． (1)求证：平面； (2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； (3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 3．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 4．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，． (1)求证：平面； (2)设直线与平面交于，求证：． 5．如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，．    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值． 6．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存在，请说明理由. 7．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 8．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 9．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 10．如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 题型二 用空间向量求空间角 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； (3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 2．如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. (1)求异面直线与所成角； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 3．在三棱锥中，和均为等边三角形． (1)若为线段的中点，求证：平面平面； (2)当直线与直线所成角的余弦值为时，求二面角的大小． 4．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，点H在直线AB上． (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)过P点的直线l与直线EF，直线HG相交，求直线l与平面EFG夹角正弦值的最大值． 5．如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 6．如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 8．如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，. (1)证明：； (2)已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径. 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行，即平面平面， 因平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； 9．如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且，． (1)若平面PCD，求的值； (2)若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值． 题型三 用空间向量求空间距离 【例题精讲】 1．圆柱的轴截面将其分成两部分，其中一部分如图所示，为母线上一点，截面是边长为4的正方形，四边形的面积为，异面直线与所成角的余弦值为. (1)求； (2)若平面与平面的交线为，求点到的距离； (3)设为平面内一点， ，求直线与平面所成角的正切值的最小值. 2．如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 3．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 4．如图，在正四棱柱中，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 5．如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱底面，，点，分别是，的中点，点是的中点，且． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若点是线段上的动点（不含端点），求三棱锥外接球半径的取值范围． 7．为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为．    (1)当时，求二面角的正弦值； (2)当的面积最大时，求． 8．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求到直线的距离； 9．如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 10．如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 题型四 用空间向量解决线上动点问题 【例题精讲】 1．在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形．再从条件①，条件②，条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面． 3．如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至．    (1)是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． (2)当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 4．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 5．如图，四棱锥中，平面，平面平面， (1)证明：平面： (2)点为线段上一点（与不重合）. （i）若，求二面角的余弦值： （ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由. 6．在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 7．如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面平面ACD； (2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 8．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. (1)证明： 平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求； (3)若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 9． 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 10．如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 12．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 13．已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点. (1)求体积的最大值； (2)若. （i）时，求外接球的表面积； （ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由. 14．如图1，在中，两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点，.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $