第46讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线的倾斜角、斜率与方程核心考点，按基础回顾（定义、公式）、必备知识（特殊直线、法向量）、分题型突破（倾斜角与斜率关系等五类）、课时精练的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导（如数形结合法）、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学眼光与思维培养，如题型二通过图形分析直线与线段相交的斜率范围，渗透几何直观；设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈。能提升学生用数学语言表达问题的能力，为教师精准把控复习节奏、高效提升学生应考能力提供有力支持。

第46讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 题型一 直线的倾斜角与斜率及其关系 3 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 4 题型三 两条直线平行及求参 6 题型四 两条直线垂直及求参 7 题型五 两条直线平行及垂直的综合应用 9 课时精练 10 【基础回顾】 知识点1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 知识点2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 知识点3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝． (3)斜率与倾斜角的联系 如图，当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率k越大； 当α∈（）时，α越大，直线l的斜率k越大． 知识点4．直线的方向向量同斜率的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． 知识点5．直线的截距 若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零． 知识点6．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 注意：当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n． 【必备知识】 1．特殊直线的方程 (1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1． (2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1． (3)y轴的方程为x＝0． (4)x轴的方程为y＝0． 2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 3．两直线的夹角公式 若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝． 题型一 直线的倾斜角与斜率及其关系 确定倾斜角与斜率范围的常用方法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图像法 根据正切函数图像，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 【例题精讲】 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．7 3．在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（    ） A．-1 B． C． D． 4．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 9．（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 10．（多选）已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．过定点 C．若，则 D．若，则 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例题精讲】 1．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 9．（多选）已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 题型三 两条直线平行及求参 【例题精讲】 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则直线：和直线：的位置关系为（    ） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 3．直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 4．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 5．已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 6．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 7．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 8．（多选）关于直线，下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 9．（多选）已知直线的斜率是-2，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．在轴上的截距等于 10．的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 题型四 两条直线垂直及求参 1．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 2．已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线：，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线方程是 C．点在直线上 D．若直线，则 4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 6．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 7．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若 ，则或 D．若，则 9．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若 ，则 10．（多选）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 题型五 两条直线平行及垂直的综合应用 1．已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．，及是直角坐标平面上的三点．设及分别是的垂心及外心．求的长度．（　　） A．11 B．21 C．22 D．33 3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 4．下列选项中，是的充要条件的是（   ） A．已知非零向量 B．已知 C．在中， D．直线 5．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知O为坐标原点，过点作直线（不全为零）的垂线，垂足为，当变化时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 7．已知直线，则下列结论正确的个数是（    ） ①直线的截距为             ②向量是直线的一个法向量 ③过点与直线平行的直线方程为 ④若直线，则 A． B． C． D． 故选: B. 8．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 10．（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C．当时，直线与直线垂直 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 课时精练 一、单选题 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 5．“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 7．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 二、多选题 9．（多选）若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 11．（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 三、填空题 12．若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 13．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 14．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 四、解答题 15．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 16．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 17．（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 18．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 19．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 题型一 直线的倾斜角与斜率及其关系 3 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 7 题型三 两条直线平行及求参 15 题型四 两条直线垂直及求参 19 题型五 两条直线平行及垂直的综合应用 24 课时精练 29 【基础回顾】 知识点1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 知识点2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 知识点3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝． (3)斜率与倾斜角的联系 如图，当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率k越大； 当α∈（）时，α越大，直线l的斜率k越大． 知识点4．直线的方向向量同斜率的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． 知识点5．直线的截距 若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零． 知识点6．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 注意：当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n． 【必备知识】 1．特殊直线的方程 (1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1． (2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1． (3)y轴的方程为x＝0． (4)x轴的方程为y＝0． 2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 3．两直线的夹角公式 若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝． 题型一 直线的倾斜角与斜率及其关系 确定倾斜角与斜率范围的常用方法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图像法 根据正切函数图像，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 【例题精讲】 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率，再结合倾斜角的范围得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：C. 2．已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】由直线倾斜角得到，根据齐次式化弦为切，代入求值即可. 【详解】由已知得，则. 故选：C 3．在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线倾斜角为， 由直线方程可得：， 又角的终边位于直线， 由两角的终边相同可知：. 故选：C 4．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 5．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行得出正切值为，再应用二倍角正弦及余弦公式结合齐次式计算求值. 【详解】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 6．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 7．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 9．（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. 10．（多选）已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．过定点 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由斜率的范围判断A，根据直线所过的定点判断B，根据直线平行或垂直的判断方法求出对应的参数值判断C，D即可. 【详解】对于A，的斜率，倾斜角的取值范围是，故A正确； 对于B，易知过定点，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C错误； 对于D，由C可知，当时，， 所以当时，有，解得，故D正确． 故选：ABD 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例题精讲】 1．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图像可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 2．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 3．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图像即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 又点，由题意如图所示： 则， 因为直线与线段有公共点，由图像可得直线斜率的取值范围为， 故选：A. 4．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 5．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 6．已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线过定点，再求出临界点处直线的斜率，结合图像得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即， 令，解得， 所以直线过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，即的取值范围是. 故选：A 7．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A：根据平行线的性质和平行线间的距离公式进行求解判断即可； 对于B：根据互相垂直直线的性质进行求解判断即可； 对于C：根据点到直线距离公式，结合基本不等式进行运算求解判断即可； 对于D：根据直线斜率公式，利用数形结合思想进行运算求解判断即可. 【详解】对于A：因为直线与直线平行， 所以， 所以两直线方程为， 而， 所以它们之间的距离是，所以本选项说法正确； 对于B：因为直线与直线互相垂直， 所以或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以本选项说法不正确； 对于C：点到直线的距离为， 令，所以， ， 当时，， 当时，， 所以当时，即时，有最大值， 此时，所以本选项说法正确； 对于D：如图所示： ， 直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是或，所以本选项说法不正确. 故选：AC 9．（多选）已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 【答案】ABC 【分析】对于A，先求出，再结合图形求解判断即可；对于B，根据直线平行得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于C，根据直线垂直得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于D，先求出直线的方程，设，进而列式计算即可判断. 【详解】对于A，由， 如图，要使直线过点且与线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为，故A正确； 对于B，由于，则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即，故B正确； 对于C，由于，则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即，故C正确； 对于D，由于，则直线的方程为，即， 设，则，解得， 则点的坐标为，故D错误. 故选：ABC 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 【答案】AC 【分析】由直线方向向量与斜率的关系求解可判定A；根据两直线的位置关系列出方程，求得的值，然后结合充要条件可判定B；根据直线过定点，结合垂直时距离最大，求得的值可判定C；根据直线的斜率公式，求得直线斜率的取值范围，可判定D. 【详解】对于A，因为直线的一个方向向量为， 所以该直线的斜率为，故A正确； 对于B，因为直线和互相垂直， 所以，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 所以B错误； 对于C，将直线方程变形为，由，可得， 所以直线过定点， 当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，则，所以C正确； 对于D，如图所示，由，， 所以由图知，或，所以斜率的取值范围是，所以D错误. 故选：AC. 题型三 两条直线平行及求参 【例题精讲】 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．已知，则直线：和直线：的位置关系为（    ） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 【答案】D 【分析】因为，所以或；当时，则直线垂直，当时，两直线重合. 【详解】因为，所以或.当时，：，：， ，所以 ，则两直线垂直；当时，：，：，则两直线重合. 故选：D 3．直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等，是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合. 故选：C. 4．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 5．已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】B 【分析】利用过两直线的交点直线系方程求得定点坐标判断A；根据两直线垂直与平行的条件计算可判断BC；根据两平行直线间的距离公式计算可判断D. 【详解】对A，变形为 令，则，因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，由于，，故两直线不平行，故B错误； 对于C，当时，， 由于，故两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时，则两直线距离为， 故D正确； 故选：B. 6．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 7．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    8．（多选）关于直线，下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 【答案】AB 【分析】判断A，求得直线斜率可得倾斜角；判断B，由截距定义计算；判断C，作出图像，根据图像判断；判断D，由直线平行的条件判断. 【详解】直线可化为， 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为2，故B正确； 对于C，作出直线的图像如下：    由图像可知直线经过第一、二、三象限，故C错误； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 故选：AB. 9．（多选）已知直线的斜率是-2，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．在轴上的截距等于 【答案】BCD 【分析】由斜率可确定方向向量判断A，由平行垂直的斜率关系可判断BC，由直线方程可判断D. 【详解】解：因为直线的斜率，因此不是直线的一个方向向量，A错误； 直线的斜率，且经过点，故直线方程为，即，它与直线平行，B正确； 直线的斜率为，，垂直，C正确； 在直线方程中，令得，故在轴上的截距等于，D正确； 故选：BCD 10．的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 【答案】BD 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BCD． 【详解】直线的斜率为， 而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为， 直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线过原点时方程为，C错； 因为，直线的斜率为， 所以过点A且平行于的直线方程为, 即，D正确. 故选:BD． 题型四 两条直线垂直及求参 1．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 2．已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时， 当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为， 所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为. 故选：B 3．已知直线：，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线方程是 C．点在直线上 D．若直线，则 【答案】B 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；将点代入直线判断C；利用直线的斜率乘积判断D即可. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B，过点与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，因为，所以点不在直线上，故C错误； 对于D，直线的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知直线与直线，满足， 故两直线垂直， 直线过定点，直线过定点， 故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点）， 该圆方程为，设其圆心为，半径为3， 则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 5．若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 6．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 7．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 8．（多选）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若 ，则或 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 9．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若 ，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 10．（多选）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 题型五 两条直线平行及垂直的综合应用 1．已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两直线所过的定点，再分析出两直线的位置关系，得出点轨迹，再根据几何关系求出的面积最大值. 【详解】将直线变形为：，知过定点， 将直线变形为：，知过定点， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当且时，两直线的斜率乘积知：此时， 因为，由直径所对的圆周角为知， 点在以线段为直径的圆上（不含、两点）， 所以点到线段的距离即为的高，设为， 易知，因为，所以 所以， 即的面积的最大值是, 故选：D 2．，及是直角坐标平面上的三点．设及分别是的垂心及外心．求的长度．（　　） A．11 B．21 C．22 D．33 【答案】D 【分析】利用外心和垂心的性质求出点的坐标，进而得到线段长度即可. 【详解】由中点坐标公式得的中点为，的中点为， 则由题意得的中垂线为，而由斜率公式得的斜率为， 可得垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，，故， 由题意得边上的高为，边上的高的斜率为， 则高的方程为， 联立方程组，解得，，故， 可得，故D正确. 故选：D 3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 4．下列选项中，是的充要条件的是（   ） A．已知非零向量 B．已知 C．在中， D．直线 【答案】C 【分析】根据充要条件、向量数量积运算、一元二次不等式、正弦定理、直线平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是的充要条件，则， A选项，对于，，可能， 但的长度、方向不一定相等，不能得到，所以A选项错误. B选项，对于，， 解得，而，所以B选项错误. C选项，在三角形中，大角对大边，所以， 由正弦定理得，所以，所以C选项正确. D选项，对于，时，两直线的方程都可以化为， 此时两直线重合，所以D选项错误. 故选：C 5．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 6．已知O为坐标原点，过点作直线（不全为零）的垂线，垂足为，当变化时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线恒过点，结合，求得点的轨迹方程，结合点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为直线，可得， 由方程组，解得，即直线恒过点， 有因为过点作直线的垂线，垂足为，设， 可得，所以， 可得， 整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 又由，所以. 故选：B. 7．已知直线，则下列结论正确的个数是（    ） ①直线的截距为             ②向量是直线的一个法向量 ③过点与直线平行的直线方程为 ④若直线，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④. 【详解】对于①,令,则;令,则,故①错误; 对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确; 对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确; 对于④, 直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确, 所以结论正确的个数为3， 故选: B. 8．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 10．（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C．当时，直线与直线垂直 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 【答案】AC 【分析】根据直线的性质以及直线间的位置关系判断每一个选项即可. 【详解】由直线方程，若，即直线过定点，所以选项A正确； 时，，令则，令则，显然截距不相等，故选项错误； 时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，所以直线与直线垂直，故选项正确； 若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，所以选项D错误. 故选： 课时精练 一、单选题 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 3．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 4．已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 【答案】D 【分析】先明确集合A与集合B为直线上的点集，再依次分析各选项. 【详解】对于A，方程可变形为， 表示直线过定点，且斜率不为0， 所以集合A表示直线上所有的点，则，A错误. 对于B，当时，，， 由，得 ，B错误. 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得． 综上所述，当时，或，C错误. 对于D，若，则，且直线与重合， ，此时方程组无解，所以，D正确． 5．“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 6．已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 7．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 8．下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（多选）若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设，则， 所以在点处的切线斜率， 则，又，所以得， 对照选项，只有选项AC符合题意． 10．（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】ACD 【分析】逐一分析选项，核心是直线过定点、平行、垂直的判定及平行线间距离公式． 【详解】解：对于A，变形为，令，则 因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当时，，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，得， 此时，，， 则两直线间的距离为，故D正确． 故答案为：ACD. 11．（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 【答案】AB 【分析】A求出直线斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出；B利用点到直线的距离公式；CD将点坐标代入直线中即可判断. 【详解】由题意得，直线的斜率为， 设直线MN的倾斜角为，则，得，故A正确； 点到直线的距离为，故B正确； 因为，所以点不在直线上，故C错误； 直线的斜率为1，与直线的斜率相等， 将点代入直线，有，说明点在该直线上， 因此，直线与直线为同一条直线（重合），而非平行，故D错误. 故选：AB 三、填空题 12．若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 13．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 14．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 四、解答题 15．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 16．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 17．（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. 18．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 19．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $