4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用（第2课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦两角和与差的正切公式，通过复习两角和差的余弦、正弦公式导入，搭建知识支架，引导学生从已学公式出发推导新公式，形成连贯的三角恒等变换知识脉络。 其亮点在于以逻辑推导培养数学思维，通过求tan15°、三角形内角正切计算等典例，结合角的变换与公式变形，提升学生数学眼光。总结清晰呈现公式结构，助力学生系统掌握，教师使用可有效落实重点，提升学生应用与推理能力。

北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第2节 两角和与差的三角函数公式 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、能利用两角和与差的余弦、正弦公式导出两角和与差的正切公式,了解它们的内在联系． 2、会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 1、会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 1、会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 2 新 知 引 入 cos(α+β)=_______________________ （Cα+β） cos(α-β)=________________________ （Cα-β） 公式中的 α、β 为_______角. 1、两角和与差的余弦公式 2、两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=_________________________ （Sα+β） sin(α-β)=__________________________ （Sα-β） 公式中的 α、β 为_______角. sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ 任意 任意 学 习 新 知 两角和与差的正切公式 tan(α+β)= = 分子、分母同除以________________(≠0)， tan(α+β)= tan(α-β)= tan[α+_______] = = (-β) (-β) (-β) 学 习 新 知 两角和与差的正切公式 tan(α+β)= (Tα+β) tan(α-β)= (Tα-β) 注意：1、 α≠kπ+(k∈Z)，β≠kπ+(k∈Z)，α±β≠kπ+(k∈Z). 2、 3、 4、 通常情况下tan(α+β)≠tanα+tanβ，tan(α-β)≠tanα-tanβ. 运用公式时经常要进行拆角或凑角.常见角的变换有:①α=(α-β)+β ②α=+，③2α=(α+β)+(α-β)，④2β=(α+β)-(α-β) 公式的变形形式：tanα-tanβ = tan(α-β)(1+tanαtanβ) tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) tanαtanβ = - 1 典 例 引 路 例1、求tan15°的值. 解：tan15° = tan(45°- 30°) = = = = 2- 同 步 练 习 练1、求tan75°的值. 解：tan75° = tan(45°+ 30°) = = = = 2 典 例 引 路 例2、（1） = ________ 解： = = tan(-45°) = -1 （2）在△ABC中，若tanA=2，tanB=3，则角tanC=_____． 解：tanC = tan(π-A-B) = -tan(A+B) = = - = 1 同 步 练 习 练2、（1）=______ 解：原式= = tan60°= （2）若tanα、tanβ是方程x2-2x-4=0的两根，则tan(α+β)=____ 解:∵ tanα、tanβ是方程x2-2x-4=0的两根， ∴ tanα+tanβ=2, tanα·tanβ= - 4 ∴ tan(α+β)= = = 典 例 引 路 例3、（1）计算：tan23°+tan37°+tan23°tan37° 解：原式 = tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+ tan23°tan37° = tan60°(1-tan23°tan37°)+ tan23°tan37° = (1- tan23°tan37°)+ tan23°tan37° = （2）=______ 解：原式= = = = = 同 步 练 习 练3、（1）tan68°-tan23°-tan68°tan23°=____________． 解：原式 = tan(68°-23°)(1+tan68°tan23°)- tan68°tan23° = tan45°(1+tan68°tan23°) - tan68°tan23° = (1- tan68°tan23°)+ tan68°tan23° = 1 （2）=_________. 解： = = = = - 典 例 引 路 例4、已知tanα=2，tanβ=- ，其中0＜α＜ ＜ β＜π. 求：(1) tan(α-β)； (2) α+β. 解： (1) tan(α-β) = = = 7. (2) tan(α+β) = = = 1. 因为0＜α＜ ， ＜ β＜π，所以 ＜ α+β ＜ . 由于在 与 之间，只有 的正切值等于1，故α+β= . 同 步 练 习 练4、已知α，β均为锐角，且tan= , tanβ= ,则α+β=______． 解：∵ α，β均为锐角 ∴ 0＜α+β＜π ∵ tan(α+β) = = = 1 ∴ α+β= 典 例 引 路 例5、已知α∈（0，），β∈（ ，π），若sinα= ,tan(α-β)= , 则 2α-β=_______. 解：∵ α∈（0， ） sinα= ＜ = sin ∴ α∈（0， ）,且 cosα = ∴tanα= ∵ α∈（0， ），β∈（ ，π） ∴ 2α∈（0， ），-β∈（ -π，- ） ∴ 2α-β∈（-π，0） 又∵ tan(2α-β) = tan[(α-β)+α]= = = 1 ∴ 2α-β= - 同 步 练 习 练5、若 tan(α-β)=2 , tanβ=1,则 tanα=_____. 解：tanα = tan[(α-β)+β] = = = -3 典 例 引 路 例6、已知 tan(α-β)= , sin(α-β)=3cos(α+β),则 tanα-tanβ=______． 解：∵ = tan(α-β) = ∴ 1+ tanαtanβ= (tanα-tanβ) ① ∵ sin(α-β)=3cos(α+β) ∴ sinαcosβ-cosαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ ∴ = ∴ tanα-tanβ=3(1-tanαtanβ) 即1-tanαtanβ= （tanα-tanβ） ② ①+②得 2 = （tanα-tanβ） ∴ tanα-tanβ= 同 步 练 习 练6、若tan(α+)=-3，则 =( ). A.-4 B.4 C.5 D.-5 解： tan(α+ )= = -3， 解得tanα= 2. 故 = = - 5. D 典 例 引 路 例7、已知△ABC的三个内角满足tanA+tanB+tanC=tanBtanC，则A=___． 解：在△ABC中，A+B+C=π，所以A+B=π- C， 则tan(A+B)=tan(π-C)= - tanC，即tanC = - ∴ tanA+tanB+tanC= tanA+tanB-tan(A+B) = tanA+tanB - = - = tanAtanB·(- ) = tanAtanBtanC 又∵ tanA+tanB+tanC=tanBtanC ∴ tanA=1 ∴ A = 同 步 练 习 练7、在△ABC中，若accosB=2abcosC=3bccosA，则tanA的值__________. 解:∵ accosB = 2abcosC = 3bccosA ∵ sinAsinCcosB = 2sinAsinBcosC = 3sinBsinCcosA 由sinAsinCcosB = 3sinBsinCcosA可得：tanB = tanA 由2sinAsinBcosC = 3sinBsinCcosA可得：tanC = tanA ∴ tanA = -tan(B+C) = - = - ∴ tan2A = 9 又∵tanB = tanA ，tanC = tanA ∴tanA＞0 ∴ tanA = 3 典 例 引 路 例8、在△ABC中，a=bcosC-ccosB,则tan(B-C)的最大值为________. 解:∵ a=bcosC-ccosB ∴sinA=2sinBcosC-2sinCcosB 又∵ sinA=sin(B+C))=sinBcosC+cosBsinC ∴ 2sinBcosC-2sinCcosB=sinBcosC+sinCcosB 即sinBcosC=3sinCcosB 即tanB=3tanC 则tanB,tanC同号，B与C不能同时为钝角，所以tanC＞0， ∴tan(B-C)= = = = ≤ = （当且仅当3tanC = 即tanC = 时，等号成立） 同 步 练 习 练8、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2,b2,2c2成等差数列， 则tan(C-B)的最小值为__________. 解:∵ a2,b2,2c2成等差数列，∴ a2+2c2=2b2 ∴ cosB = = = , cosC = = = ∴ = = 即tanB=3tanC (tanC＞0) ∴ tan(B-C)= = = = ≤ = （当且仅当3tanC = 即tanC = 时，等号成立） ∴tan(C-B)≥- 同 步 练 习 全 课 总 结 两角和与差的正切公式 tan(α+β)= (Tα+β) tan(α-β)= (Tα - β) THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $