4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦公式，通过复习诱导公式及两角和差余弦公式搭建学习支架，引导学生推导得出正弦公式，清晰呈现知识间的逻辑脉络。 其亮点在于以公式推导培养数学思维的推理能力，通过角的拆分（如15°=45°-30°）渗透转化思想，典例与练习结合提升应用意识。学生能掌握公式应用及转化方法，教师可借助层次化设计提高教学效率。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第2节 两角和与差的三角函数公式 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、能利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系． 2、会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 1、会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 1、会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 2 新 知 引 入 cos(α+β)=_______________________ （Cα+β） cos(α-β)=________________________ （Cα-β） 公式中的 α、β 为_______角. 2、两角和与差的余弦公式 cosαcosβ- sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ 1、诱导公式 cos( - α) =_________ ； sin( - α ) =_________ 公式中的α为_______角. sinα cosα 任意 任意 学 习 新 知 sin(α+β)= cos = cos = cos_________+sin ___________sin =_______________________________. 两角和与差的正弦公式 sin +sin sin(α-β)= cos =sin+sin =_______________________________. sinsin 学 习 新 知 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ （Sα+β） sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ （Sα-β） 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 公式中的α、β都是任意角. 运用公式时经常要进行拆角或凑角.常见角的变换有:①α=(α-β)+β ②α=+，③2α=(α+β)+(α-β)，④2β=(α+β)-(α-β) 通常情况下sin(α+β)≠sinα+sinβ，sin(α-β)≠sinα-sinβ. 注意公式的逆用,如sinαcosβ+ cosαsinβ=sin(α+β). 公式的右端的连接符号与左边的连接符号相同. 诱导公式sin( + α)=cosα,sin( - α)=cosα是两角和与差的正弦公式的特例. 典 例 引 路 例1、求sin15°的值. 解：sin15° = sin ( 45°- 30°) = sin45°cos 30°- cos45°sin 30° = × - = 同 步 练 习 练1、求sin75°的值. 解：sin75° = sin ( 45°+ 30°) = sin45°cos 30°+ cos45°sin 30° = × + = 典 例 引 路 例2、(1)sin 21°cos 39°+cos 21°·sin 39°=　　　　.  解：原式 = sin(21°+ 39°)= sin60° = （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°=____________. 解：原式 = sin14°cos16°+sin（90°-14°）cos（90°-16°） = sin14°cos16°+cos14°sin16° = sin(14°+16°) = sin30°= 同 步 练 习 练2、(1)sin 69°·cos 99° - cos 69°·sin 99°=　　　　　.  解：原式 = sin(69°- 99°)= sin(-30°) = - (2)已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα= ,β是第三象限角，则 sin(β- )=__________. 解：∵ = sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sinβ ∴ sinβ= - 又∵β是第三象限角 ∴ cosβ= - ∴ sin(β- )= sinβcos -cosβsin =(- )× -(- )× = 典 例 引 路 例3、已知 sinα=，α为第三象限角，求 sin， cos的值. 解：由α为第三象限角，得 cosα = = = . sin = sin cosα-cos sin = × × = . cos= cos cosα-sin sin = × × = . 同 步 练 习 练3、已知α为锐角，sinα=,β是第四象限角，cosβ=,则sin(α+β)=__________. 解：∵ α为锐角,sinα= ∴ cosα= ∵ β是第四象限角，cosβ= ∴ sinβ= - ∴ sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ = × + ×(- ) = 0 典 例 引 路 例4、已知sinα = - ,cosβ = ，且α∈(- ,0) , β∈(0,),求 α+β 的值. 解：∵ sinα = - 且α∈(- ，0） ∴ cosα= ∵ cosβ = 且β∈(0,） ∴sinβ= ∴ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = (- )× + × = 又∵α∈(- ，0）， β∈(0,） ∴ α+β∈（- ，） ∴ α+β = 同 步 练 习 练4、已知α、β均为锐角，且sinα=,cosβ=,求α-β的值. 解：∵ α、β均为锐角,且sinα= ,cosβ= ∴ - ＜α-β＜, 且cosα= ,sinβ= ∴ sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ = × - × = - ∴α-β= - 典 例 引 路 例5、若α、β为锐角，sinα= ,cos(α+β)= - ,则sinβ=___________． 解:由题意可知α、β∈(0,),∴0＜α+β＜π ∴ sin(α+β) = = = cosα = = = ∴ sinβ = sin[(α+β)-α] = sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα = × - (- )× = 同 步 练 习 练5、已知 0＜α＜＜β＜π，sinβ= , cos(β-α)= ,则 sinα=______． 解：∵ sinβ= ，＜β＜π ∴cosβ= - = - = - ∵ 0＜α＜ ∴ - ＜-α＜0 又∵ ＜β＜π ∴ 0＜β-α＜π 又∵ cos(β-α)= ∴ sin(β-α)== = ∴sinα = sin[β-(β-α)] = sinβcos(β-α)-cosβsin(β-α) = × - ( - )× = 典 例 引 路 例6、已知cos( - α)= , sin( +β)=, α∈( ,) ,β∈(- ,),则sin(α+β)=____. 解：∵α∈( ，），β∈(- ，） ∴ - α∈（- ，0）， +β∈（0，） ∵ cos( - α)= , sin( +β) = ∴ sin( -α) = - ,cos( +β) = ∴ sin(α+β) = sin[( +β)-( - α)] = sin( +β)cos( - α)-cos( +β)sin( -α) = × - ×(- ) = 同 步 练 习 练6、已知sin(π+α) = ,cos(β- ) = ,且0＜α＜＜β＜，则 sin(α+β)=_____. 解： = sin( π+α) = sin[ + ( +α)] = cos( +α) ∵ 0＜α＜ ∴ ＜ +α＜ ∴ sin(+α)= = = ∵ ＜β＜ ∴0＜β- ＜ ∴ sin(β- )== = ∴ sin(α+β)=sin[( +α)+(β- )] = sin( +α)cos(β- )+cos( +α)sin(β- ) = × + × = 典 例 引 路 例7、若0＜α＜，且 sin(α- )=,则 sin(α+)=__________. 解：∵ 0＜α＜ ∴ - ＜α - ＜ ∵ sin(α- )= ∴ cos(α- ) = = = ∴ sin(α+ ) = sin[(α- )+ ] = sin(α- )cos + cos(α- )sin = × + × = 同 步 练 习 练7、已知cos(α+)= ,且α为锐角，则sin(α- )=________. 解:∵α为锐角 ∴ 0＜α＜ ∴ ＜α+ ＜ ∴ sin(α+ ) = = = ∴ sin(α- ) = sin[(α+ ) - ] = sin(α+)cos - cos(α+ )sin = × - × = 典 例 引 路 例8、已知α、β∈(0,),cos(α+β)= ,sin(α-β)= ,则sin2α=_____. 解：∵ α、β∈(0,） ∴ α+β∈（0，π），α-β∈（- ，） ∴ sin (α+β) = = = cos(α-β) = = = ∴ sin2α = sin[(α+β)+(α-β)] = sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) = × + × = 同 步 练 习 练8、已知 ＜β＜α＜ ，cos(α-β)= , sin(α+β)=- ,则sin2β=_____ 解：∵ ＜β＜α＜ ∴ π＜α+β＜ ， 0＜α-β＜ ∴ cos(α+β) = - = - = - sin(α-β) = = = ∴ sin2β = sin[(α+β)-(α-β)] = sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β) =(- )× -（- ）× = - 同 步 练 习 全 课 总 结 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ （Sα+β） sin(α-β) =sinαcosβ - cosαsinβ （Sα-β） THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $