4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦两角和与差的余弦公式，通过向量数量积旧知与余弦值问题导入，如探究cos(45°-30°)是否等于差，搭建向量与三角的知识支架，引导公式推导。 其亮点在于推导严谨，分情况讨论向量夹角体现数学思维的推理能力，例题分层设计角的拆分应用如α=(α-β)+β，总结口诀“余余正正号相反”强化数学语言表达。助力学生提升公式应用能力，教师可高效实施分层教学。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第2节 两角和与差的三角函数公式 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握两角和与差的余弦公式. 2、会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证明. 1、掌握两角和与差的余弦公式. 1、会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证明. 2 新 知 引 入 1、向量的数量积 设 ， 的夹角为θ（0≤θ≤π），则 ·=__________________ 设 =(x1,y1) , =(x2,y2),则 ·=_________________ ||·||·cosθ x1y1+x2y2 2、 cos90°=_______ , cos45°=________ , cos30°=_______ , cos(90°-45°)=cos90°- cos45°成立么？ cos(90°-30°)=cos90°- cos30°成立么？ cos(45°-30°)=cos45°- cos30°成立么？ 0 不成立 不成立 因为不知道cos(45°-30°)的值，所以无法判断是否成立， 那么如何求出cos(45°-30°)的值呢？ 学 习 新 知 已知角 α、β，不妨设α≥β. 角 α，β 的终边与单位圆的交点分别记为 P，Q. 此时，点 P 和点 Q 的坐标分别为(cosα，sinα)和(cosβ，sinβ). O 1 x y α P β Q 如果0≤α-β≤π， 由向量的数量积定义可知：·=||·||·cos(α-β)=____________ 由向量的数量积的坐标表示可知：·=____________________________ ∴ cos(α-β)=_______________________________. O 1 x y α P β Q 如果π≤α-β≤2π，那么向量和向量的夹角为_______________ 由向量的数量积定义可知：·=_________________=____________ 由向量的数量积的坐标表示可知：·=_________________________ ∴ cos(α-β)= ______________________________. 2π- (α-β) cos(α-β) cos[2π- (α-β)] cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ cosαcosβ+ sinαsinβ 学 习 新 知 综上所述，当α≥β时，有： cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 当α＜β时， 由上式可得cos(β-α)=________________________ 又∵ cos(β-α)=__________________ ∴ _________________________________ cosβcosα+ sinβsinα cos(α-β) cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 综上所述，对于任意角α、β都有： cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 这个公式称为两角差的余弦公式，记作：Cα-β. cos(α+β)=__________________ =______________________________ =______________________________ cosαcos(-β)+ sinαsin(-β) cos[α-(-β)] cosαcosβ- sinαsinβ 即对于任意角α、β都有： cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ 这个公式称为两角和的余弦公式， 记作：Cα+β. 学 习 新 知 cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ （Cα+β） cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ （Cα-β） 两角和与差的余弦公式 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 公式中的α、β都是任意角. 运用公式时经常要进行拆角或凑角.常见角的变换有:①α=(α-β)+β ②α=+，③2α=(α+β)+(α-β)，④2β=(α+β)-(α-β) 通常情况下cos(α+β)≠cosα+cosβ，cos(α-β)≠cosα-cosβ 注意公式的逆用,如cosαcosβ- sinαsinβ=cos(α+β) 公式的右端两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边的连接符号相反。 口诀“余余正正号相反”. 诱导公式cos(+α)=- sinα,cos( - α)=sinα是两角和与差的余弦公式的特例. 典 例 引 路 例1、求cos15°的值. 解：cos15° = cos ( 45°- 30°) = cos45°cos 30°+ sin45°sin 30° = × + = 同 步 练 习 练1、求cos75°的值 . 解：cos75° = cos ( 45°+ 30°) = cos45°cos 30°- sin45°sin 30° = × - = 典 例 引 路 例2、求值:(1)cos 79°cos 19°+sin 79°sin 19°=　　　　　　.  解：原式 = cos(79°-19°) = cos60°= (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; 解：原式 = cos 75°cos 15°- sin 75°sin（180°+15°) = cos 75°cos 15°+ sin 75°sin15° = cos(75°-15°) = cos60° = 同 步 练 习 (2)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° 解:原式 = sin(90°-44°)cos 14°+ sin 44°cos(90°-14°) = cos 44°cos 14°+ sin 44°sin 14° = cos(44°-14°) = cos30° = 练2、求值：（1）cos24°cos36°-sin24°sin36° 解：原式 = cos(24°+ 36°) = cos60°= 典 例 引 路 (2)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α 例3、（1）cos15°+sin15° 解：原式 = cos60°cos15°+ sin60°sin15° = cos(60°-15°) = cos45° = 解：原式 = cos[(α+45°)-α] = cos45° = 同 步 练 习 (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°) 解：原式 = cos[(θ+70°)-(θ+10°)] = cos60° = 练3、（1）cos15°- sin15° 解：原式 = cos45°cos15°- sin45°sin15° = cos(45°+ 15°) = cos60° = 典 例 引 路 例4、求值：=_______ 解：原式 = = = = = = 同 步 练 习 练4、计算 的值为________. 解：原式 = = = = = 典 例 引 路 例5、已知sinα=- ，,cosβ= ,β∈求cos(a+β)的值. 解：∵α∈(π,),sinα= - ∴cosα= - = - = = - ∵β∈(,2π),cosβ= ∴sinβ= - = - = - = - ∴cos(a+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(- )× -(- )×（- ）= - 同 步 练 习 练5、已知 α、β 均为锐角，且sinα=,sinβ=,求α-β的值. 解：∵ 0＜α＜ ， 0＜β＜ ∴ - ＜α-β＜ 又∵sinα= ，sinβ= ∴ α＞β，即0＜α-β＜，且cosα= , cosβ= ∴ cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ = × + × = ∴α-β= 典 例 引 路 解：∵ ＜β＜α＜π，∴ 0＜α-β＜ ， ＜β＜π. ∴ cos(α-β) = = = sinβ= == . ∴ cosα= cos[ (α- β)+β] = cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ = ×- × = . 例6、已知 ＜β＜α＜π，sin(α-β)=，cos β=，求cosα的值. 同 步 练 习 练6、已知cosα= , cos(α-β)= , 且 0＜β＜α＜，求 β 的值. 解：∵ cosα= ，0＜α＜ ∴ sinα= = = ∵ 0＜β＜α＜ ∴0＜α-β＜ 又∵cos(α-β)= ∴ sin(α-β) = = = ∴ cosβ = cos[α-(α-β)] = cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) = × + × = 又∵0＜β＜ ∴β= 典 例 引 路 例7、已知cos(α+β)=,cos(α-β)=- , ＜α+β＜2π, ＜α-β＜π, 求cos2α的值. 解：∵ cos(α+β)= ， ＜α+β＜2π ∴ sin(α+β)= - ∵ cos(α-β)= - , ＜α-β＜π ∴ sin(α-β)= ∴ cos2α= cos[(α+β)+(α-β)] = cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β) = ×(- )-(- )× = - 同 步 练 习 练7、已知cos(α-β)= - ,cos(α+β)= , 且 α-β∈（，π）， α+β∈（，2π） ， 求 β 的值. 解：∵ cos(α-β)= - , ＜α-β＜π，∴ sin(α-β)= ∵ cos(α+β)= ， ＜α+β＜2π，∴ sin(α+β)= - ∴ cos2β= cos[(α+β)-(α-β)] = cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) = ×(- )+(- )× = - 1 ∵ -π＜β-α＜- ，＜α+β＜2π ∴ ＜2β＜ ∴ 2β=π ∴β= 同 步 练 习 全 课 总 结 cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ （Cα+β） cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ （Cα-β） 两角和与差的余弦公式 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $