第4章 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“两角和与差的余弦公式及其应用”，通过试验比较cos(60°-30°)与cos60°-cos30°的值，否定错误猜想引出公式推导，结合诱导公式等旧知构建学习支架，帮助学生理解公式来源与内涵。 其亮点在于以情境导入激发探究欲（数学抽象），通过拆角凑角（如15°=45°-30°）培养逻辑推理，分层练习（基础巩固、综合运用、拓展探究）提升数学运算能力。通性通法总结助力学生形成解题框架，既让学生提升数学思维，也为教师提供系统教学资源。

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 1 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义（数学抽象、逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的余弦公式解决、化简求值问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 很多同学认为两角差的余弦 cos （α－β）＝ cos α－ cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验： cos （60°－30°）与 cos 60°－ cos 30°的值作比较， cos （60°－30°）＝ cos 30°＝ ， cos 60°－ cos 30°＝ － ，显然， cos （60°－30°）≠ cos 60°－ cos 30°，由此可 得 cos （α－β）＝ cos α－ cos β不一定成立. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【问题】　如何用α，β的正、余弦值表示 cos （α－β）呢？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 Cα－β cos （α－β）＝ ⁠ ⁠ α， β∈R 两角和的余弦公式 Cα＋β cos （α＋β）＝ ⁠ ⁠ α， β∈R cos α· cos β＋ sin α sin β cos α· cos β－ sin α sin β 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表 示复角的三角函数， cos （α－β）， cos （α＋β）是一个整体；（2）公式 特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接 符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 如何由公式Cα－β推导公式Cα＋β？ 提示：在公式Cα－β中令－β代替β即可. 2. 诱导公式 cos ＝ sin α与公式Cα－β有何关系？ 提示：诱导公式 cos ＝ sin α是公式Cα－β中，β＝ 的特殊情况. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的. （　√　） （2） cos （60°＋30°）＝ cos 60°＋ cos 30°. （　×　） （3）∃α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α－ cos β成立. （　√　） 2. cos 75° cos 15°－ sin 75° sin 15°＝（　　） A. B. － C. 0 D. 1 解析：　逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°· cos 15°－ sin 75° sin 15°＝ cos （75°＋15°）＝ cos 90°＝0. √ × √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 cos ＝ 　​ 　. 解析：因为α∈（0，π），且 cos α＝－ ， 所以 sin α＝ ＝ ， 所以 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜两角差（和）的余弦公式的简单应用 【例1】　求下列各式的值： （1） cos （－375°）； 解： cos （－375°）＝ cos 375°＝ cos 15° ＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） cos 75° cos 15°－ sin 75° sin 195°； 解： cos 75° cos 15°－ sin 75° sin 195° ＝ cos 75° cos 15°＋ sin 75° sin 15° ＝ cos （75°－15°）＝ cos 60°＝ . （3） cos （α＋45°） cos α＋ sin （α＋45°） sin α. 解： cos （α＋45°） cos α＋ sin （α＋45°） sin α ＝ cos [（α＋45°）－α]＝ cos 45°＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 （1）把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦公式的右 边形式，然后逆用公式求值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　 求下列各式的值： （1） cos （θ＋21°） cos （θ－24°）＋ sin （θ＋21°）· sin （θ－ 24°）； 解：原式＝ cos [θ＋21°－（θ－24°）]＝ cos 45°＝ . （2） cos . 解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos cos － sin sin ＝ × － × ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜给值求值 【例2】　（1）已知 cos α－2 cos β＝－ ， sin α－2 sin β＝ ，求 cos （α －β）的值； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由 得 两式相加，得5－4 cos （α－β）＝ ， 所以 cos （α－β）＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知α，β∈ ，且 sin α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求 cos β的值. 解：因为α，β∈ ，所以0＜α＋β＜π， 由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ， 又 sin α＝ ，所以 cos α＝ ， 所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α] ＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α ＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观 察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角； （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地 进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ， ＜α＋β＜2π， ＜α－β ＜π，求 cos 2α的值. 解：因为 cos （α＋β）＝ ， ＜α＋β＜2π， 所以 sin （α＋β）＝－ ＝－ . 因为 cos （α－β）＝－ ， ＜α－β＜π， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以 sin （α－β）＝ ＝ . 所以 cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－β）] ＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α－β） ＝ × － × ＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜给值求角 【例3】　已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，求β的值. 解：由 cos α＝ ，0＜α＜ ，得 sin α＝ ＝ ＝ . 由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ . 又∵ cos （α－β）＝ ，∴ sin （α－β）＝ ＝ ＝ . ∵β＝α－（α－β），∴ cos β＝ cos [α－（α－β）] 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β） ＝ × ＋ × ＝ . ∵0＜β＜ ，∴β＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）确定角的范围.根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三 角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知α，β均为锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，求α－β的值. 解：∵α，β均为锐角，∴ sin α＝ ， sin β＝ . ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β ＝ × ＋ × ＝ . 又 sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ， ∴－ ＜α－β＜0.故α－β＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. cos 50°＝（　　） A. cos 70° cos 20°－ sin 70° sin 20° B. cos 70° sin 20°－ sin 70° cos 20° C. cos 70° cos 20°＋ sin 70° sin 20° D. cos 70° sin 20°＋ sin 70° cos 20° 解析：　 cos 50°＝ cos （70°－20°）＝ cos 70°· cos 20°＋ sin 70° sin 20°. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°）· sin （25°＋α）的 值为（　　） A. － B. C. － D. 解析：原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos 60°＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知点P（1，2 ）是角α终边上一点，则 cos （ －α）＝（　　） A. B. C. － D. 解析：　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，则 cos （ －α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若α∈ ， sin α＝－ ，则 cos ＝ 　​ 　. 解析：因为α∈ ， sin α＝－ ，所以 cos α＝ ，于是 cos ＝ cos · cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ . 5. 若a＝（ cos 60°， sin 60°），b＝（ cos 15°， sin 15°），则a·b ＝ ⁠. 解析：a·b＝ cos 60° · cos 15°＋ sin 60°· sin 15°＝ cos （60°－ 15°）＝ cos 45°＝ . ​ ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. sin 15°的值是（　　） A. B. C. D. 解析：　 sin 15°＝ cos 75°＝ cos （45°＋30°）＝ cos 45° cos 30° － sin 45° sin 30°＝ × － × ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. cos 72° cos 12°＋ cos 18° cos 78°＝（　　） A. cos 84° B. sin 84° C. 0 D. 解析：　 cos 72° cos 12°＋ cos 18° cos 78°＝ cos 72° cos 12°＋ sin 72° sin 12°＝ cos （72°－12°）＝ cos 60°＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则 · ＝（　　） A. sin （α－β） B. sin （α＋β） C. cos （α－β） D. cos （α＋β） 解析：　根据题意角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点 A，B，则A（ cos α， sin α），B（ cos β， sin β），则 · ＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ cos （α－β）.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知α，β为钝角， cos α＝－ ， sin β＝ ，则α＋β＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由于α，β为钝角， cos α＝－ ， sin β＝ ，所以 sin α＝ ， cos β＝－ ，所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝（－ ）×（－ ）－ × ＝ ，又α∈（ ，π），β∈（ ，π），所 以α＋β∈（π，2π），所以α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知 cos α cos β＝ ， cos （α－β）＝ ，则 cos （α＋β）＝（　　） A. B. C. D. 解析：因为 cos α cos β＝ ，所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ＋ sin α sin β＝ ，所以 sin α sin β＝ ，所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ － ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知 sin α＝ ， sin （α－β）＝－ ，α，β均为锐角，则下 列结论正确的有（　　） A. cos （α－β）＝－ B. cos （α－β）＝ C. cos α＝ D. β＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ .又 sin （α－β）＝－ ，所以 cos （α－β）＝ .故A错误，B正确；又 sin α＝ ，所以 cos α＝ ，所以C正确； cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ ，所以β＝ .故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知α，β均为锐角，若 cos α cos β＝ ＋ sin α sin β，则α＋β＝ 　​ 　. 解析：由已知 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ，又α，β均为锐 角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 化简 ＝ 　​ 　. 解析：原式＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 在△ABC中， cos A＝ ，且 cos B＝ ，则 cos C＝ 　​ 　. 解析：因为在△ABC中， cos A＝ ，可知A为锐角，所以 sin A＝ ＝ .因为 cos B＝ ，可知B也为锐角，所以 sin B＝ ＝ .所以 cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）＝ sin A sin B－ cos A cos B＝ × － × ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知 cos （ ＋α）＝－ ， sin （β＋ ）＝ ，α∈（0， ），β∈ （ ， ），求 cos （α＋β）的值. 解：由α∈（0， ），可得 ＋α∈（ ，π），又 cos （ ＋α）＝－ ，所以 sin （ ＋α）＝ . 由β∈（ ， ），可得β＋ ∈（ ，π）， 又 sin （β＋ ）＝ ，所以 cos （β＋ ）＝－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以 cos （α＋β）＝－ cos ［（ ＋α）＋（β＋ ）］＝－［ cos （ ＋ α） cos （β＋ ）－ sin （ ＋α）· sin （β＋ ）］＝－［（－ ）× （－ ）－ × ］＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如图，古希腊的数学家特埃特图斯通过图形来构造无理数 ， ， ，….记∠BAC＝α，∠DAC＝β，则 cos （α＋β）＝（　　） A. － B. － C. ＋ D. ＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题图可知 cos α＝ ， sin α＝ ， cos β＝ ＝ ， sin β＝ ＝ ，所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × － × ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 若α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，则 cos β＝（　） A. B. C. 或－ D. 或 解析：　因为α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，所以 sin α＝ ， cos （α－β）＝ ，从而 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 若 cos α－ cos β＝ ， sin α－ sin β＝－ ，则 cos （α－β）＝ 　​ 　. 解析：由已知得 cos α－ cos β＝ ，　① sin α－ sin β＝－ .　② ①2＋②2得（ cos α－ cos β）2＋（ sin α－ sin β）2＝ ＋ ，即2－2 cos α cos β－2 sin α sin β＝ ，所以 cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＝ ，所以 cos （α－β）＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知 cos （α－β）＝－ ， cos （α＋β）＝ ，且α－β∈ ，α ＋β∈ ，求角β的值. 解：由α－β∈ ，且 cos （α－β）＝－ ， 得 sin （α－β）＝ . 由α＋β∈ ，且 cos （α＋β）＝ ， 得 sin （α＋β）＝－ . ∴ cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β）· sin （α－β） ＝ × ＋ × ＝－1. 又∵α＋β∈ ，α－β∈ ， ∴2β∈ .∴2β＝π，则β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 人脸识别是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似 度的常用方法.假设二维空间中有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O 为坐标原点，定义余弦相似度为 cos （A，B）＝ cos ＜ ， ＞，余 弦距离为1－ cos （A，B）.已知P（ cos α， sin α），Q（ cos β， sin β），R（ cos α，－ sin α），若P，Q的余弦距离为 ，Q，R的余弦距离 为 ，且0＜α＜β＜ ，则 cos 2α＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意可得 ＝（ cos α， sin α）， ＝（ cos β， sin β）， 所以 cos （P，Q）＝ ＝ cos α cos β＋ sin α sin β ＝ cos （α－β），又1－ cos （α－β）＝ ，所以 cos （α－β）＝ .同理可 得 cos （Q，R）＝ cos （α＋β），所以1－ cos （α＋β）＝ ，则 cos （α ＋β）＝ .因为0＜α＜β＜ ， 所以0＜α＋β＜π，－ ＜α－β＜0，所以 sin （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝－ ，所以 cos 2α＝ cos （α＋β＋α－β） ＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × － × （－ ）＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝2 cos （其中ω＞0，x∈R）的最小正周期 为10π. （1）求ω的值； 解：因为函数f（x）的最小正周期为10π，所以10π＝ ，所以ω＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）设α，β∈［0， ］，f（ 5α＋ ）＝－ ，f（ 5β－ ）＝ ，求 cos （α－β）的值. 解：由（1）知f（x）＝2 cos （ x＋ ）， 因为f（5α＋ ）＝－ ， 所以2 cos ＝2 cos ＝－ ，所以 sin α＝ . 又因为f ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以2 cos ＝2 cos β＝ ，所以 cos β＝ . 因为α，β∈ ，所以 cos α＝ ， sin β＝ ， 所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β ＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $