精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年高二下学期六月学习诊断数学试题

北京市陈经纶中学数学六月学习诊断 一、单选题本大题共10个小题，每小题5分，共50分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，当，，当，，故A错误； B. 若，则，故B正确； C. 若，当，则，故C错误； D. 当且仅当时，才有，故D错误. 3. 在线教育平台部署了三款智能批改系统（甲、乙、丙），其批改一道数学题的正确率分别为90%、80%、70%.平台根据题目难度等级随机调用系统，调用甲、乙、丙的概率依次为0.5、0.3、0.2.现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A. 0.81 B. 0.82 C. 0.83 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【详解】记批改正确为事件，调用甲、乙、丙记为事件，，． 由全概率公式 ． 4. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合导数将函数单调问题转化为恒成立问题，求出，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意得，则， 若在区间上单调递增，则在上恒成立， 化简得在上恒成立，令， 由二次函数性质得在上单调递增， 而，则，得到， 可得“”是“”的充分而不必要条件，故A正确. 5. 射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）. A. 0.63 B. 1.4 C. 2.1 D. 4.2 【答案】D 【解析】 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质计算得分的数学期望. 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为，， 设得分为，则，所以. 6. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先得到的一个周期为6，从而得到，赋值得到，得到答案. 【详解】，故， 两式相减得，故的一个周期为6， ， 中，令得， 又，故，所以 故选：C 8. 若函数的定义域内存在区间，且，则称函数存在一个“稳定区间”.下列说法错误的是（ ） A. 存在“稳定区间”的一次函数存在且有无数个 B. 存在“稳定区间”的二次函数存在且有无数个 C. 对任意，函数都存在“稳定区间” D. 存在，使函数存在“稳定区间” 【答案】C 【解析】 【分析】根据“稳定区间”的定义，将问题转化为函数与直线存在至少两个不同交点，结合函数单调性与导数分析各选项. 【详解】对于A ：对一次函数，若存在稳定区间，由单调递减得​， 可得， 对任意，任取且都满足条件，因此存在无数个满足条件的一次函数，A正确； 对于B ：对二次函数，取，，令，则， 当时，任意，的最小值为，最大值为， 值域就是，因此存在“稳定区间”的二次函数存在且有无数个，B正确； 对于C： 时在单调递增， 若存在稳定区间，则方程，即要有两个不同实根. 令​，则， 当时，单调递增，当时，，单调递减， 所以最大值为​，且当时，，当时，， 因此仅当时，有两个不同实根，即，存在“稳定区间”，C错误； 对于D ：存在稳定区间等价于有两个不同实根，即有两个不同实根， 由上述分析可知存在，使函数存在“稳定区间”，D正确. 9. 如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（ ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分重复颜色为红色或黄色，或者是蓝色或白色，两类情况讨论求解即可. 【详解】情况1：重复颜色为红色或黄色 重复颜色选红色/黄色，共种选择； 重复位置选或，共2种选择；剩余3个区域排列剩下3种不同颜色，共种排列； 这种情况下红、黄必然相邻（若重复颜色是红，黄仅出现一次，无论黄在哪个位置，都会和相邻区域的红相邻；同理重复颜色是黄也满足）， 总方案数：； 情况2：重复颜色为蓝或白色（非红非黄） 重复颜色选蓝/白色，共种选择，重复位置共2种， 剩余3个区域排列红、黄和剩余非重复颜色，共种排列，总排列数：， 其中红、黄不相邻的情况仅为：红、黄分别在另一组对角（不相邻），共：（重复色）（重复位置）（红、黄交换顺序）种； 因此该情况满足红、黄相邻的方案数：， 总方案数为，因此不同种植方案种数为. 10. 某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，函数的图象如下图所示. 给出下列三个结论： ①函数的导函数有最大值； ②存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形； ③对于任意的，有成立. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式判断①，令，推导出即可判断②，结合图象及斜率公式判断③. 【详解】对于①：令，则， 所以， 当且仅当，即，即， 即时取等号，即有最大值，故①正确； 对于②：令，则，， 所以 ， 所以函数在区间的图象关于对称，故②正确； 对于③：表示点与点连线的斜率， 表示点与点连线的斜率， 不妨令，，， 取如下图所示三点，，， 显然，即，故③错误. 故选：B 二、填空题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分． 11. 已知命题为假命题，写出的一个值___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，得到命题为真命题，转化为对恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由命题为假命题， 则命题为真命题，即对恒成立， 当时，不等式即为对于不恒成立，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，可得其中一个为. 故答案为：（答案不唯一）. 12. 已知，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 13. 已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 14. 设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 ①. （答案不唯一，取均可） ②. 【解析】 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，在其定义域上为增函数； ②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是； ③当时，有2个零点； ④当时，存在过原点的曲线的切线. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【详解】函数​，定义域为且，求导得：，记，且 结论①，当时， ，故，在和上分别成立，即在两个区间上分别递增；但取， 即，因此整个定义域上不是增函数，①错误； 结论②，没有极值点，等价于方程在定义域上无解，即，整理得， 又，当且仅当，即取等号，故取不到等号，，所以，②正确； 结论③：当时， 时，，，故 时，，，故，故无零点，③错误； 结论④：设切点为，切线为， 因为切线过原点所以，代入得，化简得， 记，， 所以时，， 又，所以时，单调递减又时，，所以时 故时总存在满足等式，故存在过原点的切线，④正确. 三、解答题：本大题共5个小题，共70分． 16. 某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店 产品 1 2 3 4 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率. （1）从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率； （2）从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望； （3）这8个门店中，设门店的产品A，B的收益分别为，，记，，，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 . （3） 【解析】 【分析】（1）统计满足收益高于的门店频数，用频率估计概率直接求解； （2）识别抽取符合超几何分布，枚举取值、组合数算概率，套用超几何期望公式求值； （3）利用随机变量线性组合的方差公式，根据方差的波动特点，比较大小. 【小问1详解】 对8个门店的A，B收益，分别记为满足的门店共3个（门店1、2、3），用频率估计概率得： ； 【小问2详解】 X为抽取的3个门店中A收益高于的个数，服从超几何分布，的可能取值为， 总门店，符合条件的门店，抽取，： ，， ，， 分布列： 0 1 2 3 . 【小问3详解】 设产品A收益的方差为​，产品B收益的方差为 由产品A的收益极差为，B的收益极差为， 从极差的显著大小关系可以估计其方差的显著大小关系，会显著大于. 因为，，， 线性组合的方差会向权重更大的变量 “靠拢”，权重越大，整体方差越接近该变量的方差. 因此权重偏向 的方差最大，权重偏向的方差最小，权重均等的的方差居中. 17. 定义在上的函数在取得极小值.函数满足（其中是的导函数）且. （1）求的最小值； （2）解不等式； （3）若，求过点作的切线有多少条？ 【答案】（1）0 （2） （3）过点作的切线有2条 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点可得，代入结合的单调性检验，进而可得的最小值； （2）分析可知在定义域内单调递增，根据函数单调性结合解不等式； （3）根据题意可得，设切点坐标，结合导数的几何意义可得，设，利用导数分析的零点即可. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可知：，解得， 若，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在取得极小值，所以符合题意， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由（1）可知：，即， 可知在定义域内单调递增，且， 不等式即为，可得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意可知：，可设，， 因为，解得，即， 则，符合题意， 即，， 设切点坐标为，则切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得， 整理可得， 设，则， 令，即，解得或； 令，即，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极大值为，， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 由图象可知：有2个零点，所以过点作的切线有2条. 18. 随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. （1）从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； （2）从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； （3）从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）结合古典概型概率公式，用缩小样本空间法求解概率即可； （2）求出使用三种功能时使用功能的概率，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出，再比较大小即可. 【小问1详解】 至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. 【小问2详解】 抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 . 【小问3详解】 由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 19. 若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 【答案】（1）； （2）（i）（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程组，解出即可； （2）（i）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，得到和积关系式，再代入计算即可； （ii）根据切线方程结论得到两直线方程，联立得到，再计算得，从而有，即得. 【小问1详解】 由题意可知在椭圆上，且由，可得， 联立方程，所以椭圆. 【小问2详解】 （i）由题意可知直线不与轴重合，设直线， 点，. ， . 又因为，所以， （ii）由题意可知过点的切线和点的切线分别为：，和， 联立方程. ，所以. 直线，直线， ， ，又由（i）可知，所以， 即. 可得为中点，所以，即． 20. 已知函数，. （1）若1是的极值点，求实数的值； （2）若，求证：； （3）已知函数在上无零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再代入检验即可求出答案； （2）记，对求导证明，即可证明； （3），分为和两种情况分别讨论，在讨论时，再分为，和三种情况分别讨论，即可求出答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 因为1是的极值点，所以，即， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以. 【小问2详解】 当时，，记. ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即. 【小问3详解】 因为，， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 当时，有一个零点，不符合题意； 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学数学六月学习诊断 一、单选题本大题共10个小题，每小题5分，共50分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在线教育平台部署了三款智能批改系统（甲、乙、丙），其批改一道数学题的正确率分别为90%、80%、70%.平台根据题目难度等级随机调用系统，调用甲、乙、丙的概率依次为0.5、0.3、0.2.现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A. 0.81 B. 0.82 C. 0.83 D. 0.84 4. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）. A. 0.63 B. 1.4 C. 2.1 D. 4.2 6. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数的定义域内存在区间，且，则称函数存在一个“稳定区间”.下列说法错误的是（ ） A. 存在“稳定区间”的一次函数存在且有无数个 B. 存在“稳定区间”的二次函数存在且有无数个 C. 对任意，函数都存在“稳定区间” D. 存在，使函数存在“稳定区间” 9. 如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（ ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 10. 某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，函数的图象如下图所示. 给出下列三个结论： ①函数的导函数有最大值； ②存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形； ③对于任意的，有成立. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分． 11. 已知命题为假命题，写出的一个值___________． 12. 已知，则________；________． 13. 已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 14. 设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，在其定义域上为增函数； ②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是； ③当时，有2个零点； ④当时，存在过原点的曲线的切线. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题：本大题共5个小题，共70分． 16. 某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店 产品 1 2 3 4 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率. （1）从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率； （2）从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望； （3）这8个门店中，设门店的产品A，B的收益分别为，，记，，，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 17. 定义在上的函数在取得极小值.函数满足（其中是的导函数）且. （1）求的最小值； （2）解不等式； （3）若，求过点作的切线有多少条？ 18. 随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. （1）从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； （2）从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； （3）从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 19. 若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 20. 已知函数，. （1）若1是的极值点，求实数的值； （2）若，求证：； （3）已知函数在上无零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $