4.1同角三角函数的基本关系课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，通过角终边上点的坐标推导平方关系与商数关系，衔接三角函数定义，构建从定义到公式的学习支架，系统呈现公式变形及“知一求二”应用。 其亮点在于以典例引路结合同步练习，覆盖不同象限角、参数问题及齐次式转化，培养数学思维与运算能力。通过sinα±cosα关系及恒等式证明，强化数学语言表达，助力学生形成逻辑推理习惯，教师可高效落实重难点教学。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第四章 三角恒等变换 第1节 同角三角函数的基本关系 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握同角三角函数的基本关系. 2、能利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简与证明. 1、能利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简与证明. 1、掌握同角三角函数的基本关系. 2 新 知 引 入 1、设角α终边上除原点外的一点Q（x，y），r=|OQ|= 则 sinα= _____ , cosα= _____ ，tanα=_____ O x y Q(x,y) α M r 2、sin2α+cos2α=____________=____________=____ = __________=________=_________ + 1 tanα 学 习 新 知 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α+cos2α= 1 商数关系： = tanα 注意：1、 2、 平方关系中α∈R，商数关系中α≠kπ+(k∈Z). 每一个关系式中要求各个三角函数名之后的角必须相同. 如：sin23θ+cos23θ=1,sin2 +cos2=1, 但：sin2α+cos2β≠1，sin2α+cos23α≠1. 学 习 新 知 商数关系： = tanα 的变形形式 1、 2、 sinα=_______________ cosα=_______________ tanαcosα 学 习 新 知 sin2α=______________=_______________________ 平方关系：sin2α+cos2α= 1 的变形形式 1、 1=______________ 2、 cos2α=____________=__________________ 3、 sin2α+cos2α 1-cos2α (1+cosα)(1-cosα) 4、 1-sin2α (1+sinα)(1-sinα) 5、 (sinα+cosα)2=________________________________=________________ sin2α+2sinαcosα+cos2α 1+2sinαcosα (sinα-cosα)2=________________________________=________________ sin2α-2sinαcosα+cos2α 1-2sinαcosα 学 习 新 知 同角三角函数的关系式揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 典 例 引 路 例1、已知 且角α的终边在第二象限，求cosα和tanα的值. 解：由平方关系有 又角α的终边在第二象限. cos＜0，所以 再由商数关系有 同 步 练 习 练1、已知 且角α的终边在第三象限，求cosα和tanα的值. 解：由平方关系有 又角α的终边在第三象限. cos＜0，所以 再由商数关系有 典 例 引 路 例2、已知 求 sinα 和 tanα 的值. 解：由平方关系有 因为 所以角α的终边在第二或第三象限. 当α的终边在第二象限时，sinα＞0， 当α的终边在第三象限时，sinα＜0， 同 步 练 习 练2、已知 求 sinα 和 tanα 的值. 解：由平方关系有 因为 所以角α的终边在第一或第四象限. 当α的终边在第一象限时，sinα＞0， 当α的终边在第四象限时，sinα＜0， 典 例 引 路 例3、已知 tanα=m（m≠0)，求 sinα 和 cosα 的值. 解：依题意得 由②式得sin2α=m2cos2α.③ 将③式代入①式得m2cos2α+cos2α=1. 从而cos2α= . ∵ tan=m≠0，即角的终边不在x轴、y轴上， ∴ cosα= ∴=cosαtan= 同 步 练 习 练3、已知α∈（ π，），且tanα=2,求sinα,cosα的值. 解：依题意得 由②式得sin2α=4cos2α.③ 将③式代入①式得4cos2α+cos2α=1. 从而cos2α= . ∵ α∈（ π，)， ∴ cosα= - ∴ = - 学 习 新 知 (sin± 已知 sinα±cosα,sin三个式子中的任何一个的值， 即可求出另外两个式子的值. 在求解sinα±cosα的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sinα±cosα的正负,判定的方法有: (1)根据sinαcosα的正负进行判断; (2)可根据角的范围进行判断. sin± 关系 典 例 引 路 例4、已知sinθ-cosθ=,θ∈(π,2π)，求sinθ,cosθ,tanθ. 解：∵sinθ-cosθ= ① ∴（）2 =（sinθ-cosθ）2 = 1-2sinθcosθ ∴sinθcosθ= ∴sinθ,cosθ同号 又∵θ∈(π,2π) ∴sinθ＜0,cosθ＜0 又∵（sinθ+cosθ）2 = sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ= ∴sinθ+cosθ= - ② 联立①②可得sinθ= - ,cosθ= - ∴tanθ= = 同 步 练 习 练4、已知sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),求: (1)tan θ ; (2)sin θ-cos θ. 解：∵sinθ+cosθ= ∴(sinθ+cosθ)2= ()2 = ∴1+2sinθcosθ= ∴2sinθcosθ= - ∴1-2sinθcosθ= 1-(- ) = 即（sinθ-cosθ)2 = 又∵θ∈(0,π)且2sinθcosθ= - ∴sinθ＞0,cosθ＜0 ∴sinθ-cosθ= 又∵sinθ+cosθ= ∴sinθ= , cosθ= - ∴tanθ= = - 学 习 新 知 1、关于sinα，cosα的齐次式是指式子中的每一项都是关于sinα或cosα的 式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.  2、当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cosα的n(n为齐次式各项的 次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tanα的式子，代入 tanα的值即可求得式子的值 3、当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用 替换，这时再将式子的分子与分母同时除以 即可 化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求得式子的值. 关于sinα，cosα的齐次式 典 例 引 路 例5、已知 求:(1) (2) 解：∵ ∴ cosα≠0. ∴(1) (2) = = = = 同 步 练 习 练5、已知tanα=2，求（1） ，(2) 解：∵ ∴ cosα≠0. ∴（1） （2） = = = = 典 例 引 路 例6、已知tanα=2，求 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α 解：4sin2α-3sinαcosα-5cos2α = = = = = = 1 同 步 练 习 练6、已知 求: 解： = = = = = - 学 习 新 知 三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数值的应计算出来. 利用同角三角函数基本关系式进行化简和证明 三角恒等式的证明方法： (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边都等于同一个式子; (3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结 论等价的命题形式. 典 例 引 路 例7、化简：(1) ; (2)tanα（α是第二象限角） 解：（1） 原式= = = = = sinα+cosα 解：（2）∵α是第二象限角 ∴sinα＞0,cosα＜0 ∴原式 = tanα = tanα = × = -1 同 步 练 习 练7、化简：(1) (2)sin2αtanα+ +2sinαcosα 解：(1)原式 = = = - cosθ (2)原式 = sin2α× + cos2α× +2sinαcosα = = = 典 例 引 路 例8、求证： 证明:（法一）(1)左边= = = = =右边 ∴原式成立 （法二）（2）  = = 0. ∴原式成立. （法三）（3）∵1-sin2α=cos2α ∴(1-sinα)(1+sinα)=cos2α 由已知得cosα≠0,1-sinα≠0, ∴ = 同 步 练 习 练8、证明： = 证明：（法一）左边 = = = = = + = + = = 右边 ∴原式成立 （法二） - = - = - = - = - = = 0 ∴原式成立 同 步 练 习 练9、求证：=. 证明：由sin2θ+cos2θ=1有 = = = ， = = . 故 = 同 步 练 习 全 课 总 结 同角三角函数的基本关系式 平方关系：sin2α+cos2α= 1 商数关系： = tanα THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 29 $