第4章 §1 同角三角函数的基本关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，涵盖平方关系、商数关系及公式变形，通过知识辨析问题（如“任意角是否满足sin²α+cos²α=1”）导入，构建从公式到变形再到求值、化简、证明的知识脉络，以公式变形表、典例解析为学习支架。 其亮点在于以知识辨析培养数学眼光（发现数量关系），典例分层（如已知sinα求其他函数值、齐次式求值）训练数学思维（推理运算），方法总结（如“化切为弦”）强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可借助系统考点及解析提高教学效率。

§1　同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系式 必备知识 清单破 知识点 1.平方关系 sin2α+cos2α=1. 2.商数关系 tan α= . 第四章　三角恒等变换 高中同步 3.公式的常见变形 (1)sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α. (2)cos αtan α=sin α. (3)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (4)1+tan2α= ;1+ = . 第四章　三角恒等变换 高中同步 知识辨析 1.对于任意的角α,sin2 +cos2 =1是否成立? 2.当α是第四象限角时,tan α=- 是否成立? 3.一般地,已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三式中任何一式的值,就可以求出另外两式的 值吗? 4.若sin2α+cos2β=1成立,则α与β一定相等吗? 第四章　三角恒等变换 高中同步 一语破的 1.成立.在平方关系中,只要是“同角”就可以,与角的表示形式无关. 2.不成立.当α≠kπ+ (k∈Z)时,恒有tan α= . 3.可以.可以利用它们之间的关系(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α求解. 4.不一定.比如α= ,β=- 满足sin2α+cos2β=1,但α与β不相等. 第四章　三角恒等变换 高中同步 关键能力 定点破 　由一个三角函数值求其他三角函数值  　　已知角α的某一个三角函数值,利用sin2α+cos2α=1和tan α= 这两个关系式,可以求出 角α的其他三角函数值. 定点 1 第四章　三角恒等变换 高中同步 典例 (1)已知sin α=- ,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值; (2)已知tan α=2,求sin α与cos α的值. 解析    (1)∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1-sin2α=1- = ,又∵α是第三象限角,∴cos α<0,∴cos α= - ,∴tan α= =- × = . (2)∵tan α=2>0,∴α是第一或第三象限角, 且 =2,∴sin α=2cos α,代入sin2α+cos2α=1,得cos2α= . 当α为第一象限角时,cos α= ,sin α=2cos α= ; 当α为第三象限角时,cos α=- ,sin α=2cos α=- . 第四章　三角恒等变换 高中同步 解后反思 (1)利用平方关系求三角函数值时,应根据角α的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号; (2)若题目中没有指出角α的终边所在的象限,则必须根据条件推断角α可能是第几象限角,再 分情况加以讨论. 第四章　三角恒等变换 高中同步 定点2　利用同角三角函数的基本关系式化简、求值与证明  利用同角三角函数的基本关系式化简或证明时常用的方法 (1)化切为弦,即把正切化成正弦、余弦,从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的 目的. (3)对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造出“sin2α+cos2α”的形式,以降低次 数,达到化简的目的. 定点 2 第四章　三角恒等变换 高中同步 典例1 化简或求值: (1) ; (2) ; (3)tan α (其中α是第二象限角); (4) +  . 第四章　三角恒等变换 高中同步 解析    (1) =  = = =1. (2) = =  = =|cos 170°|=cos10°. (3)tan α =tan α  =tan α = ·   . 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0, 所以原式= · =-1. 第四章　三角恒等变换 高中同步 (4) +  = +   = +  = +  = . 因为α∈ ,所以cos α<0, 所以原式= . 第四章　三角恒等变换 高中同步 典例2 证明: = . 思路点拨    等式左、右两边切化弦 整理,化简得证. 证明    左边= =  = , 右边= =  = ,左边=右边,∴原等式成立. 第四章　三角恒等变换 高中同步 定点3　关于sin α,cos α的齐次式的求值问题  定点 3 1.sin α,cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子,且每一项的次数相 等,通常为一次齐次式、二次齐次式. 2.已知tan α的值,可以求 或 的值,方法是将分子、分母 同时除以cos α或cos2α,将其化成关于tan α的式子,再代入tan α的值求解. 3.求形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子的值,可将其转化为分母是1的分式,利用1=sin2α+ cos2α化成2中的齐次式求解. 第四章　三角恒等变换 高中同步 典例 已知tan α=-2,求下列各式的值: (1) ; (2) ; (3)sin αcos α+4cos2α. 第四章　三角恒等变换 高中同步 解析    (1) =  = =3. (2) = = = =- . (3)sin αcos α+4cos2α =  = = = . 第四章　三角恒等变换 高中同步 定点4    利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值  定点 4 1.若已知sin α±cos α,sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α,cos α 的值,从 而解决相关问题.常涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α. 2.求sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α的值时,要注意结合角的范围进行符号判断. 第四章　三角恒等变换 高中同步 典例 已知角α∈(-π,0),且sin α+cos α= ,求下列各式的值: (1)sin α-cos α;(2) . 第四章　三角恒等变换 高中同步 解析    (1)由sin α+cos α= , 得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , ∴sin αcos α=- <0, 又α∈(-π,0),∴sin α<0,cos α>0, ∴sin α-cos α=- =- =- . (2)由 得  ∴ = = . 第四章　三角恒等变换 高中同步 $