4.2.4积化和差与和差化积公式课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4.2.4　积化和差与和差化积公式 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点一　积化和差公式 cos αcos β＝eq \f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－eq \f(1,2)[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 要点二　和差化积公式 sin x＋sin y＝2sineq \f(x＋y,2)coseq \f(x－y,2)； sin x－sin y＝2coseq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)； cos x＋cos y＝2coseq \f(x＋y,2)coseq \f(x－y,2)； cos x－cos y＝－2sineq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2). [基础自测] 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin αcos β＝eq \f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)](　　) (2)sin αsin β＝eq \f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)](　　) (3)sin x－sin y＝2coseq \f(x＋y,2)coseq \f(x－y,2)(　　) (4)cos x＋eq \f(\r(3),2)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,12)))(　　) × × × √ 2．sin 15°sin 75°＝(　　) A.eq \f(1,3)　　　　　　　　B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：sin 15°sin 75°＝－eq \f(1,2)[cos(75°＋15°)－cos(15°－75°)] ＝－eq \f(1,2)(cos 90°－cos 60°)＝eq \f(1,4).故选B. 答案：B 3．sin 105°＋sin 15°＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),4) 解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin eq \f(105°＋15°,2)cos eq \f(105°－15°,2) ＝2sin 60°cos 45° ＝2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2) ＝eq \f(\r(6),2).故选C. 答案：C 4．化简：(1)sin 84°cos 114°＝________________； (2)coseq \f(α＋β,2)＋coseq \f(α－β,2)＝________________. 解析：(1)sin 84°cos 114°＝eq \f(1,2)[sin(84°＋114°)＋sin(84°－114°)] ＝eq \f(1,2)(sin 198°－sin 30°)＝eq \f(1,2)sin198°－eq \f(1,4). (2)coseq \f(α＋β,2)＋coseq \f(α－β,2)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2),2)))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2),2))) ＝2cos eq \f(α,2)cos eq \f(β,2). 答案：(1)eq \f(1,2)sin198°－eq \f(1,4)　(2)2cos eq \f(α,2)cos eq \f(β,2) 题型一　利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研 例1　若cos α－cos β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值． 解析：已知cos α－cos β＝eq \f(1,2)，① sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，② 将①②两式左边和差化积，得－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2)，③ 2coseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3)，④ 由④得coseq \f(α＋β,2)≠0，sineq \f(α－β,2)≠0， ∴③÷④得taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2)，∴sin(α＋β)＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(12,13). 方法归纳 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况． 跟踪训练1　已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq \f(11,20)，求tan θ. 解析：解法1　∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq \f(11,20)， ∴－eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)＋θ－\f(π,6)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)－θ＋\f(π,6)))))＝eq \f(11,20). ∴cos 2θ＝－eq \f(3,5)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ). ∴tan θ＝±2. 解法2　∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq \f(11,20)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin θcos\f(π,6)＋cos θsin\f(π,6))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin θcos\f(π,6)－cos θsin\f(π,6)))＝eq \f(11,20)， ∴eq \f(3,4)sin2θ－eq \f(1,4)cos2θ＝eq \f(11,20)， ∴eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos 2θ,2)))－eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋cos2 θ,2)))＝eq \f(11,20). 即cos 2θ＝－eq \f(3,5)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ).∴tan θ＝±2. 题型二　利用积化和差与和差化积公式化简——师生共研 例2　化简：eq \f(cos α＋cos 3α＋cos 5α＋cos 7α,sin α＋sin 3α＋sin 5α＋sin 7α). 解析：原式＝eq \f(cos α＋cos 7α＋cos 3α＋cos 5α,sin α＋sin 7α＋sin 3α＋sin 5α) ＝eq \f(2cos 4αcos 3α＋2cos 4αcos α,2sin 4αcos 3α＋2sin 4αcos α) ＝eq \f(2cos 4αcos 3α＋cos α,2sin 4αcos 3α＋cos α)＝eq \f(1,tan 4α). 方法归纳 用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数式可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数式有公因式的两个三角函数式进行和差化积． 跟踪训练2　化简：sin(60°－α)sin αsin(60°＋α)． 解析：原式＝eq \f(1,2)sin α(cos 2α－cos 120°) ＝eq \f(1,2)sin αcos 2α＋eq \f(1,4)sin α ＝eq \f(1,4)(sin 3α－sin α)＋eq \f(1,4)sin α ＝eq \f(1,4)sin 3α. 题型三　利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研 例3　求证：cos αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 证明：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，两式相减，得sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos α sin β， ∴cos αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 方法归纳 三角恒等式的证明主要从两个方面入手 (1)看角，分析角的差异，消除差异，向所求结果中的角转化； (2)看函数，统一函数，向所求结果中的函数转化． 跟踪训练3　求证：sin 3αsin3α＋cos 3αcos3α＝cos32α. 证明：左边＝(sin 3αsin α)sin2α＋(cos 3αcos α)cos 2α ＝－eq \f(1,2)(cos 4α－cos 2α)sin2α＋eq \f(1,2)(cos 4α＋cos 2α)cos2α ＝－eq \f(1,2)cos 4αsin2α＋eq \f(1,2)cos 2αsin2α＋eq \f(1,2)cos 4αcos 2α＋eq \f(1,2)cos 2αcos 2α ＝eq \f(1,2)cos 4αcos 2α＋eq \f(1,2)cos 2α＝eq \f(1,2)cos 2α(cos 4α＋1) ＝eq \f(1,2)cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边， ∴原式得证． $$