综合检测卷02 集合、常用逻辑用语、不等式、函数-2027届高三数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语、不等式、函数四大模块，以综合检测形式构建知识网络，强化模块间逻辑关联与应用能力，渗透数学抽象、推理及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|1题|集合运算|作为函数定义域基础，体现数学抽象能力| |常用逻辑用语|2题|命题否定、真假判断|逻辑推理工具，关联不等式恒成立问题| |不等式|3题|解法、参数范围|工具性知识，支撑函数单调性分析| |函数|12题|性质、导数、应用|核心内容，整合前序模块，第19题体现模型意识|

综合检测卷02　集合、常用逻辑用语、不等式、函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 8．函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（     ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 10．下列说法中正确的有（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．已知函数，若，则 C．函数，且的图象必过点 D．若，则 11．已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 13．若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 14．已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算下列各式的值或简化下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 16．已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 17．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 18．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19．中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷02　集合、常用逻辑用语、不等式、函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据集合的并集运算即可求解. ，， 所以. 2．已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式，可化为，整理得， 即，解得. 所以解集为. 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 5．已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用题目条件将其化为比较x的取值 【详解】由题目可知在内，x值越大，函数值就越大， 因为，且， 所以. 又因为，所以. 因为，所以， 因此，故B选项正确. 6．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 8．函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（     ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】C 【分析】先根据、 为奇函数，推导出 、 的对称性与周期性，再据此逐一验证选项即可. 【详解】 为奇函数， ，  ① 则关于点 中心对称， 对①两边求导：，， 即 关于直线 对称，即，  ② 为奇函数， ， 令 ，则 ，代入得：， 即 关于点 对称，故，  ③ 联立②③：， 令 ，则 ，代入得：， 即 ，故 ， 的周期为 ，且， 由 及 ，则， 令 ，得 ， 又 关于 对称，故 ， 令 ，代入①式：，即 ， 由 ，令 ，得 ， 又 ，令 代入 ，得： ，所以，即， 故 ，得 ，所以， 所以， 即 的周期为 ； 选项A：由 ，可知 周期为 ，A错误； 选项B：由③式 ，可知 的对称中心为 ，而非 ，B错误； 选项C由 可得 ， 由 关于点 中心对称，即 ， 令 ，得 ，故，即， 又 综上：，C正确； 选项D：由 关于直线 对称，得 ， 又由 为奇函数，且关于点对称， 即 ，令 ，得 ， 由 ，令 ，得 ，故 ， 由 ，令 ，得 ， 由为奇函数求导知关于直线对称，即， 由 关于直线 对称，， 由得 ，结合 ， 令 ，得 ， 又令 ，，联立得 ，故 ， 因此 ， 因为 周期为 ，一个周期内函数值之和为 ，且，故： ，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】BC 【分析】对于A，由对数函数的定义即可判断；对于B, 由函数和的图象即可判断；对于C，由互为反函数的函数图象性质即可判断；对于D，将代入函数，即可判断. 【详解】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图象关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图象必过定点，故D错误. 故选：BC 10．下列说法中正确的有（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．已知函数，若，则 C．函数，且的图象必过点 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质、函数奇偶性、指数函数定点以及对数运算等知识进行分析判断，从而得出正确选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，所以，A选项正确， 对于B选项，因为函数为偶函数， 所以，B选项正确， 对于C选项，因为函数，且过定点， 所以函数(，且)过定点， 所以C选项错误， 对于D选项，因为， 所以，解得， 所以D选项正确． 故选：ABD． 11．已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【分析】对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 13．若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【答案】 【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案. 【详解】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 14．已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算下列各式的值或简化下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)4； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）利用对数运算性质及换底公式化简计算. （3）（4）利用指数幂的运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2） . （3）. （4）. 16．已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 17．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据条件得到，再由及得，化简得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解． 【详解】（1）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或. 18．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 19．中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【答案】(1) (2)33.4分钟. (3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可. （2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可. （3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $