10.3实际问题与二元一次方程组（教学课件） 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二元一次方程组”，通过长方形纸片面积折法（相等及1:2）的课堂导入，引导学生从生活情境中发现等量关系，搭建从具体操作到抽象建模的学习支架，衔接方程应用与现实问题的联系。 其特色在于以数学眼光观察现实（如行程问题中上下坡与平路的不变量分析），用数学思维推理等量关系（养牛问题列表梳理饲料用量），借数学语言规范建模步骤（归纳审题设元列解验答流程）。多样实例（配套、利润、几何图形）与问题驱动教学，助学生发展模型意识，教师可直接用于系统教学。

第十章 二元一次方程组 实际问题与二元一次方程组 1．会用二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系． 2．利用方程去反映现实生活中等量关系，体会方程方法的优越性． 学习目标 2026/6/13 2 学习目标 课堂导入 　1．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？  2．把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，又有哪些折法？ 设计意图：通过提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣． 3 等量关系： 30头大牛 1 天用的饲料 + 15头小牛1天用的饲料 = 675 kg 42头大牛 1 天用的饲料 + 20头小牛1天用的饲料 = 940 kg 解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg. 30x+15y=675 (30+12)x+(15+5)y=940 x=20 y=5 解得 审题分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； 设未知数(分直接设元和间接设元)，用含未知数的式子表示数相关量； 根据相等关系列出两个方程，组成方程组； 解方程组，求出未知数的值； 检验所求未知数的值是否满足题意和实际意义； 根据问题作答(包括单位名称). 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 和差倍分问题中常见的相等关系： 较大量=较小量+多余量； 总量=一份的量×倍数； 各分量相加=总量. y km 甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练. 如果他保持上坡的速度为 30 km/h，平路的速度为 40 km/h，下坡的速度为 50 km/h.那么他从甲地骑到乙地需 54 min，从乙地骑到甲地需 42 min.甲地到乙地全程是多少千米? 知识点2 行程问题 甲 乙 30km/h 30km/h 40km/h 路程=速度×时间 问题:甲、乙地之间什么是保持不变的呢? 解：设甲地到乙地上坡路为x km，平路为y km. x km 【选自教材P104 练习第3题】 30km/h 30km/h 40km/h x km y km 解：设甲地到乙地上坡路为x km，平路为y km. 走上(下)坡 时间/h 走平路 时间/h 合计/h 从甲地 到乙地 从乙地 到甲地 + + 54 min=0.9 h 42 min=0.7 h + =0.9 ， + =0.7 . x=15， y=16. 解得 甲 乙 15+16=31(km) 答:从甲地到乙地全程31千米. 初中数学 新知探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进 12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大 牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你认为李大叔 估计的准确吗？ （4）你能依据上面的等量关系列出方程或方程组吗？ ①30头大牛和15头小牛一天需用饲料为675kg; ②(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天需用饲 料为940kg. 30x + 15y = 675， （30 + 12）x + （15 + 5）y = 940. 初中数学 新知探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进 12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大 牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你认为李大叔 估计的准确吗？ （4）你能依据上面的等量关系列出方程或方程组吗？ ①30头大牛和15头小牛一天需用饲料为675kg; ②12头大牛和5头小牛一天需用饲料为（940-675）kg. 30x + 15y = 675， 12x + 5y = 940 − 675. 归纳总结 一：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 二：（1）配套问题 （2）销售问题 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 学习数学要多做习题， 边做边思考，先知其然， 然后弄清其所以然。 —苏步青 课堂小结 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路： 1.甲、乙两数的和为10，差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组 为　 　　　.  课堂练习 3. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 随堂练习 设用x张做盒身，用y张做盒底，则 解： 解得 答：用16张制盒身，20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套。 ∴25×16＝400个，40×20＝800个。 随堂练习 某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案: 方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶. 方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成. (1)你认为哪种方案获利最多,为什么? (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题? 考点 2 探究新知 列二元一次方程组解答利润问题 其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元), ∴共获利:8000+2500=10500(元). 方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天. 另：设x吨鲜奶制成奶片,y吨鲜奶制成酸奶. x+y=4, x+3y=9. x+y=9, 方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利 2000×4=8000 (元)， ∴共获利1.5×1×2000+2.5×3×1200= 12000 (元). 1.5×2000+7.5×1200 =3000+9000=12000 (元). ∴共获利 探究新知 x=1.5, y=2.5. 解这个方程组，得 x=1.5, y=7.5. 解这个方程组，得 根据题意，得 根据题意，得 建立二元一次方程组模型解决几何图形问题 【例】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形.设长方形墙砖的长和宽分别为x cm和y cm，则依题意列方程组正确的是(　　). A.　　 B. C. D. 探究学习 解析：根据图示可得大长方形的宽可以表示为x＋2y，且大长方形的宽为75 cm，故x＋2y＝75；大长方形的长可以表示为2x或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y.联立这两个方程即可. 答案：D 技巧点拨：在解决与几何图形有关的问题时，关键是从图形中提炼出数量关系. 将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据(单位：cm)如图所示，则桌子的高度h等于(　　).       A.30 cm B.35 cm C.40 cm D.45 cm C 跟踪训练 1.已知∠A和∠B互补，∠A比∠B小30°.设∠A，∠B的度数分别为x°，y°，则下列方程组正确的是(　　). A. B. C. D. A　 提升训练 数字问题的求解策略 1.列方程组解决数字问题的关键在于正确地用式子表示一个多位数，如一个三位数的百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c. 2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. $