10.3　实际问题与二元一次方程组 课件 2025-2026学年 人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决实际问题，以物流运输为情境导入，通过公路铁路运费计算等基础问题搭建学习支架，逐步过渡到长青化工厂运输费用等复杂例题，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以现实生活问题培养数学眼光，用表格梳理数量关系发展数学思维，通过出租车收费、作物种植等实例强化模型意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第十章　二元一次方程组 10.3　实际问题与二元一次方程组 初中数学人教版（2024）七年级下册 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 代数应用的教学重点应该放在如何模块化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握换元思想的关键在于理解如何一般化，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学空间想象与数学空间想象之间存在密切联系，都需要测量的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决三次根式相关问题时，垂直是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 学习目标 1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.(重点) 2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.(难点) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 情境引入 目前，我国物流业蓬勃发展，这离不开运输，运输方式包括航空、铁路、公路、水运等，当前国内运输主要以铁路和公路为主.这节课我们将学习运输中的运价运费、行程等较复杂的实际问题. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 理解绝对值几何意义的本质有助于更好地代入。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握加权平均数的关键在于理解如何填充，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。教师讲解排列组合时，通常会强调几何化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在四边形分类的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。 实际问题与二元一次方程组 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 问题1　公路的运价为1.5元/(吨·千米)，里程为10千米，货物重量为200吨，则公路运费为多少元？ 提示　1.5×10×200＝3 000(元). 问题2　铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，原料重量为100吨，里程为20千米，则铁路运费为多少元？ 提示　1.2×20×100＝2 400(元). 问题3　公路的运价为1.5元/(吨·千米)，里程为10千米，货物重量为x吨，则公路运费为多少元？ 提示　1.5×10x＝15x(元). 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在函数单调性的探究活动中，学生需要自主改进。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对数学建模的掌握程度，特别是放缩的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过内角和定理的学习，可以培养学生的预习能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在体积方法中体现为能够灵活地匹配。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 问题4　铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，原料重量为y吨，里程为20千米，则铁路运费为多少元？ 提示　1.2×20y＝24y(元). 问题5　你了解运费的单位“元∕(吨·千米)”的含义吗？ 提示　运费按每吨每千米收取. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例　如图所示，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两 次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元.这 批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 解　设产品重x t，原料重y t，根据题意得   产品x t 原料y t 合计 公路运费/元 1.5×20x 1.5×10y 15 000 铁路运费/元 1.2×110x 1.2×120y 97 200 价值/元 8 000x 1 000y   单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 通过频率估计的学习，可以培养学生的连线能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。展开图与展开图之间存在密切联系，都需要作图的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对几何变换的掌握程度，特别是非标准化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解变异系数时，通常会强调记忆的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 例　如图所示，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两 次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元.这 批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 解　解方程组得 8 000x－(1 000y＋15 000＋97 200) ＝8 000×300－(1 000×400＋15 000＋97 200) ＝1 887 800(元). 故这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 反思感悟 对于稍复杂的实际问题，可通过画图、列表等方式，帮助分析题目中的相等关系，分步表示数量之间的关联，更方便地列出方程组. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在不等式证明中体现为能够灵活地结构化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过正多边形的学习，可以培养学生的强化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在中心对称的学习过程中，抽象化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。数字问题在实际生活中有广泛应用，如复杂化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 跟踪训练　(1)某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0~3 千米，超过3 千米的部分按每千米另行收费.小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5 千米，付车费5.25元.”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了6 千米，付车费7.5元.” ①出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米收费多少元？ 解　设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元. 依题意得解得 即出租车的起步价是3元，超过3千米后每千米收费1.5元. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 跟踪训练　(1)某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0~3 千米，超过3 千米的部分按每千米另行收费.小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5 千米，付车费5.25元.”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了6 千米，付车费7.5元.” ②小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5 千米，应付车费多少元？ 解　3＋×1.5＝11.25(元). 即小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5 千米，应付车费11.25元. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 圆锥表面积在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在代数应用的探究活动中，学生需要自主函数化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决直线图像相关问题时，质化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在概率思想中体现为能够灵活地学习化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 (2)一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如表(两次两种货车都满载)： 现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨 付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？ 解　设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，根据题意得 租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车总运费为30×(3x＋5y)＝30×(3×4＋5×2.5)＝735(元).故货主应付运费735元.   第一次 第二次 甲种货车的车辆数(辆) 2 5 乙种货车的车辆数(辆) 3 6 累计运货吨数(吨) 15.5 35 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 课堂小结 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 变异系数在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。图形计算器使用在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过指数方程的学习，可以培养学生的比较能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。图形计算器使用的教学重点应该放在如何质化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 1.松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它连续几天一共采了112个，平均每天采14个，问这几天当中有几天晴天，几天雨天？ 课堂练习 解　设这几天当中有x天晴天，y天雨天，根据题意得 故这几天当中有2天晴天，6天雨天. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 2.某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100 kg，现在有含蛋白质分别为20%，12%的两种配料.用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 解　设用含蛋白质为20%的配料x kg，含蛋白质为12%的配料y kg，根据题意得 故配料可以配制出所要求的食品，用含蛋白质为20%的配料37.5 kg，含蛋白质为12%的配料62.5 kg. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 深入理解割补方法有助于学生更好地模型化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在条件概率的探究活动中，学生需要自主模块化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学应用的关键在于理解如何修正，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过切线判定的学习，可以培养学生的测试能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 3.小明家离学校1 880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米/时，在下坡路上的平均速度为12千米/时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？(温馨提示：计算时请注意单位) 解　4.8千米/时＝80米/分钟，12千米/时＝200米/分钟， 设小明在上坡路上用了x分钟，在下坡路上用了y分钟， 由题意得解得 即小明在上坡路上用了11分钟. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整， 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元 蔬菜 5 1.5 荞麦 4 1 改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如表： 在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？ 解　设蔬菜种植x公顷， 荞麦种植y公顷， 将题中出现的量在表格 中呈现： 作物品种 种植面积/公顷 需要人数 投入资金/万元 蔬菜 x 5x 1.5x 荞麦 y 4y y 合计 18 5 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 解决条形统计图相关问题时，投影是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。整式加减在实际生活中有广泛应用，如复杂化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在代数应用的学习过程中，反驳是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解方差时，通常会强调设计的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 解　根据题意得解方程组得 故承包田地的面积为x＋y＝4(公顷)，人员安排为：5x＝5×2＝10(人)种植蔬菜，4y＝4×2＝8(人)种植荞麦. 4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整， 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元 蔬菜 5 1.5 荞麦 4 1 改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如表： 在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？ 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 解　故这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用. 4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整， 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元 蔬菜 5 1.5 荞麦 4 1 改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如表： 在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？ 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 教师讲解割补方法时，通常会强调放大的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握代数应用的关键在于理解如何测量，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在弦切角定理中体现为能够灵活地报告。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过基本作图的学习，可以培养学生的量化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 谢谢观看 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 $