精品解析：山东青岛西海岸新区超银学校2025-2026学年七年级下学期6月数学阶段学情自测

七年级数学学科 一、选择（共10道小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解： 选项、、的图形都找不到使图形折叠后重合的直线，它们都不是轴对称图形； 选项：沿图形中间的竖直线折叠，直线左右两侧可以完全重合，故是轴对称图形． 2. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分情况讨论边长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而得到正确周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形腰长为时，三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，此种情况舍去； ②当等腰三角形腰长为时，三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为， 综上，该等腰三角形的周长为． 3. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【详解】解：，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 4. 五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ） A. 自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B. 摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C. 摩天轮转一周需要9分钟 D. 当时，小明处于上升状态 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质以及三角形的高得到，然后根据四边形的内角和是解出的度数，根据对顶角相等即可得出的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，分别是边高， ， ∵在四边形中，， ， ∵对顶角相等， ． 故选：B． 6. 如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，接着计算出，然后根据三角形面积公式计算出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 是角平分线，，， ， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（　　） A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．通过证明，得出、，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、， ∴， ∵点B与地面距离为， ∴点E到地面的距离为， ∴， ∴点D到地面的距离为：， 小丽距离地面的高度为：． 故选：A． 9. 如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（ ） A. 2或3 B. 3或5.5 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 10. 如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 二、填空（共6道小题，每题3分，共18分） 11. 一个等腰三角形的顶角度数等于它的一个底角度数的六倍，则它的顶角度数为______ ． 【答案】##135度 【解析】 【分析】设顶角的度数为，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设顶角的度数为，则底角的度数为根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题是考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 12. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表： 时间t(s) 1 2 3 4 … 距离s(m) 2 8 18 32 … 写出用t表示s的关系式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系以及二次函数的图形运动，通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为．即可得出答案． 【详解】解：根据题意表格中得数值，即 ∵1秒时，距离为2； 2秒时，距离为； 3秒时，距离为； 4秒时，距离为； 以此类推得：t秒时，距离为． 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上，若AB=7，AC＝9，BC＝12，则的周长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答． 【详解】解：∵点A与点E关于直线CD对称， ∴CD垂直平分AE ∴AD＝DE，AC＝CE＝9， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝12， ∴△DBE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋AD＋BC−AC＝AB＋BC−AC＝7＋12−9＝10． 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为34， 故答案为：34． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，以点B为圆心、的长为半径的圆与正方形交于A，C两点，以点C为圆心、的长为半径的圆与正方形交于B，D两点，两个阴影部分的面积分别记为和，则______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】设一个空白的面积的x，根据题意，得，，解答即可． 本题考查了圆的面积，正方形的面积，意义面积，熟练掌握分割法表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：设一个空白的面积的x， 根据题意，得，， 故， 整理，得， 故答案为：． 16. 如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质． 由余角的性质可证，故①正确；由可证，故②正确；由等腰直角三角形的性质可求，由外角的性质可判断，，则，故③④错误． 【详解】解：∵，分别是边，上的高线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（），故②正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④错误； 故答案为：①②． 三、作图（共6分） 17. 如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1． （1）在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点，，的对应点分别是点，，） （2）求的面积； （3）在直线上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称，割补法求面积，利用轴对称求最短路径； （1）根据轴对称的性质找出的对应顶点的位置，顺次连接即可； （2）利用割补法计算即可； （3）根据轴对称求最短路径的方法可知，连接与的交点即为点的位置． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 如图所示，连接与交于点P，则， ∴， ∴点A、P、共线时，的值最小，即的值最小， ∴图中点即为所求． 18. 第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端得距离相等，即可得到G点为线段AB垂直平分线和∠QON角平分线的交点. 【详解】解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求 以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为所求G. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及两者的作法，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质. 四、解答（共66分） 19. 已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 20. 山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前圆柱形蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．设蓄水池的水位高度为（米），注水时间为（小时）． （1）在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； （2）请写出蓄水池的水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系式_____； （3）已知蓄水池的底面积为4000平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，当蓄水池中的水可供发电42000千瓦时时，求蓄水池的水位高度； （4）在（3）的条件下，求注水时间． 【答案】（1）注水时间（小时），蓄水池的水位高度（米） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （3）根据题意列出关于y的一元一次方程并求解即可； （4）将代入求解即可． 【小问1详解】 由题意得，在这个变化过程中，自变量是注水时间（小时），因变量是蓄水池的水位高度（米）； 【小问2详解】 ∵本次注水前圆柱形蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米 ∴蓄水池的水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系式为； 【小问3详解】 根据题意得， 解得 答：蓄水池的水位高度为； 【小问4详解】 当时，， 解得． 21. 如图，在中，于点D， 于点E，、 相交于点H，．试说明： （1）． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等，得到，再利用垂直和，即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一，得到，再根据全等的性质，，即可得解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （ASA）； 【小问2详解】 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 22. 特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 （1）在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； （2）在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是 ， ； （3）在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，____． （4）通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 【答案】（1）； （2）； （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）当时，则，进而得，证明，则可依据“”判定和全等得，，继而得，据此可得出和的数量关系和位置关系； （2）当时，则，进而得，同（1）依据“”判定和全等得，继而得； （3）当时，则，进而得，同（1）依据“”判定和全等得，继而得； （4）先求出，进而得，同（1）依据“”判定和全等，继而得，据此即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，则， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴和的数量关系是：，位置关系是：； 【小问2详解】 解：当时，则， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， 同（1）证明：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，则， ∵， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 同（1）证明：， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：，理由如下： ∵， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴， 同（1）证明：， ∴， ∴． 23. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； （3）如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 【答案】（1）图见解析，两点之间线段最短 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【小问1详解】 连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 【小问2详解】 如图，点即为所求． 【小问3详解】 如图2， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得， ，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 24. 【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． （1）【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． （2）【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】（1）① ② （2）① ②30 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【小问1详解】 解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． 【小问2详解】 ①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 25. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）的长为______；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学科 一、选择（共10道小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A. B. C. D. 4. 五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ） A. 自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B. 摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C. 摩天轮转一周需要9分钟 D. 当时，小明处于上升状态 5. 如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 7. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（　　） A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 8. 如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（ ） A. 2或3 B. 3或5.5 C. 2或 D. 2或 10. 如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空（共6道小题，每题3分，共18分） 11. 一个等腰三角形的顶角度数等于它的一个底角度数的六倍，则它的顶角度数为______ ． 12. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表： 时间t(s) 1 2 3 4 … 距离s(m) 2 8 18 32 … 写出用t表示s的关系式：________． 13. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上，若AB=7，AC＝9，BC＝12，则的周长为___． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是________． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，以点B为圆心、的长为半径的圆与正方形交于A，C两点，以点C为圆心、的长为半径的圆与正方形交于B，D两点，两个阴影部分的面积分别记为和，则______．（结果保留） 16. 如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（只填写序号） 三、作图（共6分） 17. 如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1． （1）在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点，，的对应点分别是点，，） （2）求的面积； （3）在直线上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置． 18. 第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．） 四、解答（共66分） 19. 已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 20. 山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前圆柱形蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．设蓄水池的水位高度为（米），注水时间为（小时）． （1）在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； （2）请写出蓄水池的水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系式_____； （3）已知蓄水池的底面积为4000平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，当蓄水池中的水可供发电42000千瓦时时，求蓄水池的水位高度； （4）在（3）的条件下，求注水时间． 21. 如图，在中，于点D， 于点E，、 相交于点H，．试说明： （1）． （2）． 22. 特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 （1）在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； （2）在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是 ， ； （3）在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，____． （4）通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 23. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； （3）如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 24. 【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． （1）【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． （2）【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 25. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）的长为______；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $