【内蒙古专用】2025-2026学人教版年八年级数学下学期自编期末模拟卷（七）

**基本信息** 2025-2026学年八年级下册期末数学试卷，以人工智能软件调查、赵爽弦图等真实情境与文化素材为载体，通过函数应用、几何动态探究等题型，考查抽象能力、推理意识与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式、四边形性质、一次函数|基础概念辨析，如最简二次根式判断| |填空题|4/12|函数平移、面积计算、赵爽弦图|结合文化传承，如“数学风车”周长计算| |解答题|6/64|统计分析、几何证明、函数综合|科技情境应用（人工智能满意度调查），动态几何探究（正方形中三角尺滑动）|

2025-2026学年第二学期八年级下册期末教学质量调研 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 3.下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差： 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数环 方差环 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4.下列判断正确的是(     ) A. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 B. 四个内角都相等的四边形是菱形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 5.已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，则与的大小关系是(     ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数、是常数，的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为(     ) A. B. C. D. 或 7.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 8.如图，将边长为的正方形绕点逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.一次函数的图象向上平移个单位长度后，与轴的交点坐标为      ． 10.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分阴影部分的面积为          ． 11.一次函数的图象如图所示，则化简得      ． 12.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算 ； 14.本小题7分 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查，测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各份得分数据，并整理绘制成如下尚不完整的统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 乙软件测试得分 根据以上信息，解答下列问题： 将甲软件测试得分统计图补充完整； ______，______，______； 根据以上信息，你愿意选择哪种人工智能学习软件？并说明理由． 本次调查中，若有名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 15.本小题分 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元经测量，，，，． 求、两点之间的距离． 求购买运动型塑胶地板的费用． 16.本小题分 已知一次函数的图象经过点且与正比例函数的图象相交于点，求： 的值； 求一次函数的表达式； 请你画出这两个函数的图象，并判断当取何值时，； 求这两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 17.本小题12分四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 18.本小题13分 操作：将一把三角尺放在如图的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： 如图，当点在上时，求证：． 如图，当点在延长线上时，中的结论还成立吗？简要说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级下册期末教学质量调研 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 3.下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差： 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数环 方差环 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4.下列判断正确的是(     ) A. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 B. 四个内角都相等的四边形是菱形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 5.已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，则与的大小关系是(     ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数、是常数，的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为(     ) A. B. C. D. 或 7.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 8.如图，将边长为的正方形绕点逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.一次函数的图象向上平移个单位长度后，与轴的交点坐标为      ． 10.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分阴影部分的面积为          ． 11.一次函数的图象如图所示，则化简得      ． 12.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算 ； 14.本小题7分 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查，测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各份得分数据，并整理绘制成如下尚不完整的统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 乙软件测试得分 根据以上信息，解答下列问题： 将甲软件测试得分统计图补充完整； ______，______，______； 根据以上信息，你愿意选择哪种人工智能学习软件？并说明理由． 本次调查中，若有名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 15.本小题分 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元经测量，，，，． 求、两点之间的距离． 求购买运动型塑胶地板的费用． 16.本小题分 已知一次函数的图象经过点且与正比例函数的图象相交于点，求： 的值； 求一次函数的表达式； 请你画出这两个函数的图象，并判断当取何值时，； 求这两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 17.本小题12分四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 18.本小题13分 操作：将一把三角尺放在如图的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： 如图，当点在上时，求证：． 如图，当点在延长线上时，中的结论还成立吗？简要说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级下册期末教学质量调研 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、，因此不是二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，因此不是最简二次根式，不符合题意； D、，因此不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的关键． 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了二次根式的加法，除法以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的加法，除法以及二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】解：．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；     B.，故不正确； C.，故正确； D.，故不正确； 故选：． 3.下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差： 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数环 方差环 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D  【解析】解：乙和丁的平均数较大， 从乙和丁中选择一人参加竞赛， 丁的方差较小， 选择丁参加比赛， 故选：． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4.下列判断正确的是(    ) A. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 B. 四个内角都相等的四边形是菱形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 【答案】C  【解析】解：一组对边平行且对角线相等的四边形不是矩形，A错误，故不符合要求； 四个内角都相等的四边形是矩形，B错误，故不符合要求； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，C正确，故符合要求； 四条边都相等的四边形是菱形，D错误，故不符合要求． 故选：． 根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判断即可． 本题考查了矩形、菱形、平行四边形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5.已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由条件可知一次函数随的增大而增大， 点、均在一次函数的图象上，且， ． 故选：． 由，利用一次函数图象的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出答案． 本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数中，若，随的增大而增大；若，随的增大而减小． 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数、是常数，的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】B  【解析】解：一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，． 观察图象可知，当时，图象在轴上方，此时；当时，图象在这条直线下方，此时． 同时满足即 时，的取值范围是． 不等式的解集是， 故选：． 本题可根据一次函数图象与轴、轴交点坐标，结合一次函数的性质，通过分析函数图象来确定不等式的解集． 本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于理解通过一次函数图象来求解不等式解集的方法．通过函数图象与坐标轴交点坐标，结合函数图象的位置确定函数值的范围所对应的自变量取值范围． 7.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， 如图所示， ，，． ，， ，则是直角三角形，且． ，． 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ． 故选：． 连接，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，进而得出四边形是矩形，则，然后根据等面积法即可求解． 本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8.如图，将边长为的正方形绕点逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设相交于点，连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，最后利用正方形的面积减去和的面积进行计算即可． 【详解】设相交于点，连接， 由已知得： 由旋转的性质可知：， 在和中 ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.一次函数的图象向上平移个单位长度后，与轴的交点坐标为      ． 【答案】  【解析】解：根据平移法则平移后的直线解析式为：， 与轴的交点坐标为； 故答案为：． 根据平移规则，求出平移后的解析式，令，求出值，即可得解． 本题考查一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点是关键． 10.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 11.一次函数的图象如图所示，则化简得      ． 【答案】  【解析】解：根据图象可知，， ，， ． 故答案为：． 先根据图象判断出、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可． 主要考查了一次函数的图象性质及绝对值的性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 12.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．由题意知为直角，又由延伸一倍，利用勾股定理求得外围中一条边，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【解答】 解：设将延长到点，使，连接， 根据题意，得，， ， ，即， ， ， 这个风车的外围周长是． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13本小题分 计算：； 计算： 【答案】(1)解：     (2)   【解析】  先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；  先计算二次根式的乘法运算，除法运算，再合并即可． 14.本小题分 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查，测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各份得分数据，并整理绘制成如下尚不完整的统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 乙软件测试得分 根据以上信息，解答下列问题： 将甲软件测试得分统计图补充完整； ______，______，______； 根据以上信息，你愿意选择哪种人工智能学习软件？并说明理由． 本次调查中，若有名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 【答案】见解析；   ，，；   会选择甲种人工智能学习软件，理由见解析；   人  【解析】甲软件测试得分中，等级人数有：， 甲软件测试得分统计图如下图为所求： 甲软件测试分数如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，那么中位数为：， ， 等级占比：， ， 等级占比最多， 乙软件众数为：， ． 故答案为：，，； 会选择甲种人工智能学习软件，理由如下； 两人中位数相同，但是甲种人工智能软件的平均数和众数都要大于乙种人工智能软件对应的平均数和众数， 会选择甲种人工智能学习软件； 对甲款人工智能学习辅导软件评分为等级占比为：， 对甲款人工智能学习辅导软件评分为等级人数为：人， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为等级的人占比为， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为等级人数为：人， 评分为等级的总人数为：人． 答：估计甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数人． 根据题意，先求得等级人数，然后画统计图即可； 把甲软件分数从小到大排列一遍，即可求得中位数，由乙软件测试得分统计图，可求得等级占比，从扇形统计图比例，可知等级占比最多，从而得到乙软件的众数； 甲、乙中位数相同，但是甲的平均数和众数都大于乙对应的平均数和众数，据此可得结论； 依次求得对甲款、乙款人工智能学习辅导软件评分为等级占比，然后再求得等级人数，最后求得答案． 本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． 15.本小题10分 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元经测量，，，，． 求、两点之间的距离． 求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】解：如图，连接， ，，， ， 答：、两点之间的距离． 由已得：， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积为， 运动型塑胶地板每平方米元， 购买运动型塑胶地板的费用为元， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元．  【解析】连接，直接利用勾股定理求解即可得； 连接，先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据四边形的面积等于求出四边形的面积，由此即可得． 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． 16.本小题分 已知一次函数的图象经过点且与正比例函数的图象相交于点，求： 的值； 求一次函数的表达式； 请你画出这两个函数的图象，并判断当取何值时，； 求这两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)解：将代入，得．  (2)将代入 解得． 所以一次函数的表达式为：． (3)根据题意可得：    ∴由图象可知，当时，． (4)分别与轴的交点坐标为， 所以两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 【解析】  把交点坐标代入正比例函数，计算即可求解．  用待定系数法把，代入，建立方程组求解即可．  用描点法描点画图即可．  利用函数与轴的交点坐标求出三角形的底长，再运用三角形的面积公式建立等式即可求解． 17.本小题12分 四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． 求证：； 连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ． (2)证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】  本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．只要证明，即可解决问题．  只要证明推出，即可解决问题． 18.本小题分 操作：将一把三角尺放在如图的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： 如图，当点在上时，求证：． 如图，当点在延长线上时，中的结论还成立吗？简要说明理由． 【答案】(1)证明：过点作，分别交于点，交于点， ​​​​​​​ 则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形． ∴NP=NC=MB             ∵∠BPQ=90° ∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°， ∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，      在△QNP和△BMP中， ∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM ∴△QNP≌△PMB（ASA）， ∴PQ=BP．                 (2)成立.      过点作于,交于点 在正方形中, ∴ ∴是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【解析】  过点作，可以证明≌，从而得出；  过点作于，交于点，可以证明≌，从而得出； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $