-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.期末培优卷

**基本信息** 2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷，以实数运算、几何图形、函数应用为核心，通过旗杆折断、体育锻炼等真实情境，融合抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数计算、三角形面积、统计图表、一次函数性质|结合正多边形内角和、菱形中点问题考查几何直观| |填空题|6/18|函数图像、最短路径、等边三角形、规律探究|以坐标系中点运动规律体现空间观念与创新意识| |解答题|8/72|勾股定理应用、一次函数建模、平行四边形证明、矩形动态问题|通过体育锻炼行程图（模型意识）、旗杆折断（运算能力）等综合考查数学思维与问题解决能力|

2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题 1．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 2．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 3．某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（     ） A．共抽取了48人的测试成绩 B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人 C．样本的中位数落在这一分数段内 D．样本中80分以上的人数占总体的 【答案】D 【详解】解：选项A中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知本次随机抽查的学生人数为（人），所以共抽取了48人的测试成绩，说法正确，故选项A不符合题意； 选项B中，48人中90分以上的学生有6人，占，所以全校在90分以上的学生约有（人），说法正确，故选项B不符合题意； 选项C中，读图即可知48个样本的中位数是第24和25这两个数据的平均数，数据按从小到大排列，频数，，所以样本的中位数落在这一分数段内，说法正确，故选项C不符合题意； 选项D中，样本中80分以上的人数有人，占总体人数的，说法不正确，故选项D符合题意． 4．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 5．如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出正五边形和正六边形的一个内角的度数和一个外角的度数，根据三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴. 6．如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，，由得到，从而，，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，，从而得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵四边形和四边形均是菱形， ∴，，． ∴， ， ∵点是的中点， ， ， 7．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 8．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据速度和时间计算甲、乙行驶路程，利用勾股定理逆定理判断两路线垂直，再根据甲的方向推导乙的可能方向. 【详解】∵甲行驶路程：， 乙行驶路程：， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵甲航行方向为北偏东， ∴乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西或南偏东， 选项中南偏东对应C， ∴乙客轮航行方向可能为南偏东. 故答案为：C． 10．中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于、，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤的最小值为．当在内绕旋转时（点不与、重合），则上述结论始终正确的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②④；由，，比较两者大小即可判定③⑤． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，，，， ∴； ∵， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 故①②正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故③错误． ∵ ； 故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤，共4个． 二、填空题 11．比较大小：________． 【答案】 【分析】利用平方法，将两个带根号的数分别平方，比较平方后的结果大小，进而确定原数的大小关系． 【详解】解：， ， ，且，， ． 12．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 13．在平面直角坐标系中，点，，点P是直线上一动点，则的最小值______． 【答案】 【分析】考查两点在直线异侧时，距离和的最小值为两点间的线段长度；同侧时才需要作对称点转化．易错点：误将异侧问题当作同侧 “将军饮马” 问题，额外作对称点导致计算错误． 两点在直线异侧时，的最小值就是两点间的线段长度（当 P 为直线与的交点时取到）． 【详解】解：∵ 点与在直线异侧， ∴的最小值为的长度． ∴的最小值为． 故答案为：． 14．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 15．如图，过点作轴于，作轴于，以为边作等边，连，则直线的解析式为__________． 【答案】 或 【分析】根据点 的坐标及垂直关系求出点 的坐标，从而得到 的长度，根据等边三角形的性质求出点 的坐标，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出 的值即可，注意点 可能在 的上方或下方，需分类讨论． 【详解】解：，轴于， ， ， 当点在 上方时，如图，作， 是等边三角形 ， ∴，， ∴，， ∵轴，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 当点在下方时，同理可得， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点按此规律进行下去，则点的坐标为_______ 【答案】 【分析】根据题意可以求得点的坐标、点的坐标、点的坐标，然后归纳坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， …… 点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 三、解答题 17．计算： (1) ； (2)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 将代入上式得， 原式． 18．如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3米处折断 (2)在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； （2）解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 19．（1）正多边形的每个内角比它相邻的外角的倍还多，求这个多边形的对角线条数． （2）已知等腰三角形周长为cm，腰长为cm，求的取值范围． 【答案】（1）条；（2） 【分析】（1）设多边形的一个外角为，列方程求出，再根据对角线公式求出答案； （2）根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定的取值范围． 【详解】解：（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于， 由题意，得，解得， 即多边形的每个外角为， 又∵多边形的外角和为， ∴多边形的外角个数， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形的对角线条数（条）； （2）∵等腰三角形周长为cm，腰长为cm，根据三角形的三边关系得， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，等腰三角形三边关系的性质，三角形三边关系定理，解不等式组，熟练掌握多边形内角与相邻外角的关系和三角形三边关系定理是解题的关键． 20．国家体育总局等部门联合发布的《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026-2028年）》，旨在通过加强青少年科学健身普及和运动干预提升儿童和青少年的健康素质．周末，小明从家出发匀速去体育馆锻炼身体后匀速返回家，如图是他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的关系，已知他在体育馆的时间为1小时． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填空：图中_____； ②求小明返回家的过程中，与之间的函数关系式； (2)当小明离开体育馆后，离家的距离为时，他离开体育馆多长时间？ 【答案】(1)①80；② (2) 【分析】（1）①观察图象可得答案； ②设函数关系式为，再将点代入可得方程组，求出解即可； （2）将代入关系式求出，再减去离开体育馆的时间可得答案． 【详解】（1）解：①观察图象可知， 解得； ②设与之间的函数关系式为，由题意， 得 解得 与之间的函数关系式为； （2）解：令， 解得， ， 此时他离开体育馆． 21．如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先中，由可以得到，又因为是等边三角形，，由此得到，并且，然后即可证明，再根据全等三角形的性质即可证明，根据是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形； （2）直接利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出各边长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， 又∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故四边形的周长为：． 22．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明，则 ，即可得到结论； （2）求出 ，，根据四边形的面积等于的面积求出答案． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）得 ，，四边形为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴四边形的面积 ， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出k的值，把点B的坐标求出m的值即可； （2）根据三角形面积公式，求结果即可； （3）求出直线的解析式，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， ∴， 将代入，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴， ； （3）解：设直线的解析式为， 将点A的坐标代入得，， 解得， ∴， 则，即为直线在x轴上方，且在直线下方， ∴不等式的解集为：． 24．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A．B． C． D． 2．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（     ） A．共抽取了48人的测试成绩 B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人 C．样本的中位数落在这一分数段内 D．样本中80分以上的人数占总体的 4．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为(     ) A． B． C． D． 7．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 8．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 10．中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于、，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤的最小值为．当在内绕旋转时（点不与、重合），则上述结论始终正确的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．比较大小：________． 12．一次函数过点，则该直线与坐标轴围成的三角形的面积是________． 13．在平面直角坐标系中，点，，点P是直线上一动点，则的最小值______． 14．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 15．如图，过点作轴于，作轴于，以为边作等边，连，则直线的解析式为__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点按此规律进行下去，则点的坐标为_______ 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1) ； (2)先化简，再求值： ，其中． 18．如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 19．（1）正多边形的每个内角比它相邻的外角的倍还多，求这个多边形的对角线条数． （2）已知等腰三角形周长为cm，腰长为cm，求的取值范围． 20．国家体育总局等部门联合发布的《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026-2028年）》，旨在通过加强青少年科学健身普及和运动干预提升儿童和青少年的健康素质．周末，小明从家出发匀速去体育馆锻炼身体后匀速返回家，如图是他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的关系，已知他在体育馆的时间为1小时． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填空：图中_____； ②求小明返回家的过程中，与之间的函数关系式； (2)当小明离开体育馆后，离家的距离为时，他离开体育馆多长时间？ 21．如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 22．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 24．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $