【内蒙古专用】2025-2026学年人教版八年级数学下学期自编期末模拟卷（六）

**基本信息** 立足人教版八年级下册内容，以端午节粽子调查（众数应用）、赵爽弦图（文化传承）、人工智能统计（科技前沿）等真实情境为载体，通过特殊四边形判定（基础）、动点与最值（能力）、函数几何综合（创新）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计量、平行四边形性质、一次函数性质|第1题以粽子采购调查考众数，体现生活应用| |填空题|4/12|三角形中位线、动点最值、赵爽弦图|第11题借赵爽弦图考勾股定理，渗透文化传承| |解答题|6/64|统计分析、利润函数、直线平移、几何综合|第14题人工智能评分统计培养数据意识，第18题等腰直角三角形存在性问题考查创新思维|

2025-2026学年八年级数学下学期期末教学质量检测 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了，，三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 2.如图，在▱中，的平分线交边于点已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.下列命题中正确的是(    ) A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 4.关于一次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与轴交于点 C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 当时， 5.已知与轴，轴分别交于和，则当时，的取值为(    ) A. B. C. D. 6.小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是(    ) A. 小王读报用了 B. 小王吃早餐用了 C. 小王从图书馆回家的平均速度是 D. 小王家离食堂 7.将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，当为等边三角形时，的值为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.如图，中，，点、分别是、的中点，连接，点是边的中点，连接，若，则的长为       ． 10.在中，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为           ． 11.如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，大正方形的面积是，则小正方形的面积是       ． 12.如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若，，则的长为       ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题分 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了个用户的得分数据进行整理、描述和分析得分用表示，共分为四组，：，：，：，：，下面给出了部分信息  甲款人工智能软件得分数据：  ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，  乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：  ，，，，，，，  甲、乙两款人工智能软件得分统计表：    软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题：  填空：  ______ ，  ______ ，  ______ ；  根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由写出一条理由即可；  若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 15.本小题分如图，在中，点，在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形； 若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是          ． 16.本小题分年贺岁片哪吒魔童闹海通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多元，销售件款摆件和销售件款摆件的利润是元． 求，两款摆件每个的利润分别是多少？ 若该商店计划购进，两款摆件共个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 17.本小题分 【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“”值不变，只要求出的值即可他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为______． 小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移个单位长度，平移后直线的函数解析式为______，利用上下平移的规律，将直线向______填“上”或“下”平移______个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 如果直线与直线关于轴对称，求这条直线的函数解析式． 18.本小题分 如图，平面直角坐标系中，直线：交轴于，交轴于点过点作轴的垂线交于点，是直线上一动点，且在点的上方，设． 直线的表达式为______； 求的面积用含的代数式表示； 当时，求点的坐标； 在的条件下，以为边在第一象限作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末教学质量检测 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了，，三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 2.如图，在▱中，的平分线交边于点已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.下列命题中正确的是(    ) A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 4.关于一次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与轴交于点 C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 当时， 5.已知与轴，轴分别交于和，则当时，的取值为(    ) A. B. C. D. 6.小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是(    ) A. 小王读报用了 B. 小王吃早餐用了 C. 小王从图书馆回家的平均速度是 D. 小王家离食堂 7.将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，当为等边三角形时，的值为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.如图，中，，点、分别是、的中点，连接，点是边的中点，连接，若，则的长为       ． 10.在中，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为           ． 11.如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，大正方形的面积是，则小正方形的面积是       ． 12.如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若，，则的长为       ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题分 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了个用户的得分数据进行整理、描述和分析得分用表示，共分为四组，：，：，：，：，下面给出了部分信息  甲款人工智能软件得分数据：  ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，  乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：  ，，，，，，，  甲、乙两款人工智能软件得分统计表：    软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题：  填空：  ______ ，  ______ ，  ______ ；  根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由写出一条理由即可；  若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 15.本小题分如图，在中，点，在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形； 若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是          ． 16.本小题分年贺岁片哪吒魔童闹海通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多元，销售件款摆件和销售件款摆件的利润是元． 求，两款摆件每个的利润分别是多少？ 若该商店计划购进，两款摆件共个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 17.本小题分 【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“”值不变，只要求出的值即可他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为______． 小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移个单位长度，平移后直线的函数解析式为______，利用上下平移的规律，将直线向______填“上”或“下”平移______个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 如果直线与直线关于轴对称，求这条直线的函数解析式． 18.本小题分 如图，平面直角坐标系中，直线：交轴于，交轴于点过点作轴的垂线交于点，是直线上一动点，且在点的上方，设． 直线的表达式为______； 求的面积用含的代数式表示； 当时，求点的坐标； 在的条件下，以为边在第一象限作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末教学质量检测 全 解 全 析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了，，三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D  【解析】因为众数是数据中出现次数最多的数， 所以学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数； 故选D 2.如图，在▱中，的平分线交边于点已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， 的平分线交边于点， ， ， ， ， ， 故选：． 由平行四边形的性质得，，由的平分线交边于点，得，因为，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，推导出及是解题的关键． 3.下列命题中正确的是(    ) A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B  【解析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；   B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：． 4.关于一次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与轴交于点 C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 当时， 【答案】A  【解析】解：由题意可得，， 图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值随自变量的增大而增大，故C错误； 当，可得，解得：， 图象与轴交于点，故B错误； 函数值随自变量的增大而增大， 当时，，故D错误， 故选：． 根据解析式逐一判断选项，即可解答． 本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． 5.已知与轴，轴分别交于和，则当时，的取值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】此题考查了一次函数与不等式，利用数形结合是解题的关键．充分利用图形，直接从图上得出的取值范围． 【详解】解：当时，函数图象位于轴左方， 根据函数图象可得：时， 故选：． 6.小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是(    ) A. 小王读报用了 B. 小王吃早餐用了 C. 小王从图书馆回家的平均速度是 D. 小王家离食堂 【答案】C  【解析】解：根据横轴表示时间，纵轴表示路程为： 小王读报用了，故选项A错误； 小王吃早餐用了，故选项B错误； 小王从图书馆回家的平均速度是，故选项C正确； 小王家离食堂，故选项D错误． 故选：． 根据横轴表示时间，纵轴表示路程即可得到答案． 本题主要考查的是函数图象的读图能力，根据函数图象的性质得到信息是解题的关键． 7.将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了正比例函数的性质．分别确定点和点的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为， 当正比例函数经过点时，，当经过点时，， 直线与正方形有公共点，的取值范围是， 故选：． 8.如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，当为等边三角形时，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 延长至点，使，连接，易证≌，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 【解析】 解：如图，延长至点，使，连接． 四边形是菱形，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ≌， ，． 又， ， 是等边三角形， ．  ， ，  ． ． ， ． 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.如图，中，，点、分别是、的中点，连接，点是边的中点，连接，若，则的长为      ． 【答案】  【解析】解：在中，，点是的中点，， 则， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形这种玩笑定理求出． 本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10.在中，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】在中，，， ，即为直角三角形，． 又于，于， 四边形是矩形． ，时，最短，同样也最短． 当时，，即． 当最短时，． 根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据面积相等求得其值． 解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短． 11.如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，大正方形的面积是，则小正方形的面积是      ． 【答案】  【解析】解：设大正方形的边长为，直角三角形的小直角边为， 大正方形的面积是， ， 直角三角形的长直角边是， ， 小正方形的边长， 小正方形的面积， 故答案为：． 根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 本题考查了勾股定理的证明，掌握其性质是解题的关键． 12.如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若，，则的长为      ． 【答案】  【解析】解：，为上的高， ， 是上的高， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 由等腰三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理即可求出的长． 本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由等腰三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 【解析】 ； ． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14.本小题分 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了个用户的得分数据进行整理、描述和分析得分用表示，共分为四组，：，：，：，：，下面给出了部分信息  甲款人工智能软件得分数据：  ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，  乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：  ，，，，，，，  甲、乙两款人工智能软件得分统计表：    软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题：  填空：  ______ ，  ______ ，  ______ ；  根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由写出一条理由即可；  若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 【答案】解：， ，  乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下： 甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， 乙款人工智能软件比较稳定， 乙款人工智能软件更受用户欢迎； 名． 估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为名．  【解析】根据中位数和众数的定义求出、的值，再求出乙款中组所占的百分比，然后用分别减去各组所占的百分比得到的值； 甲款人工智能软件的所有评分数据中出现的次数最多， 众数为， 即， 乙款人工智能软件的评分的中位数为分， 即； 乙款人工智能软件中组所占的百分比为， ， 即； 故答案为：，，； 通过比较两款的方差进行判断； 用乘以甲款中组所占的百分比和乘以乙款中组所占的百分比，然后求它们的和即可． 本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小．也考查了中位数和众数． 15.本小题分 如图，在中，点，在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形； 若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是          ． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ∴四边形是平行四边形； (2)（答案不唯一）  【解析】  本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 证明，得，，则，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论；  由菱形的判定即可得出结论． 添加条件：，理由如下： 由可知，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：答案不唯一． 16.本小题分 年贺岁片哪吒魔童闹海通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多元，销售件款摆件和销售件款摆件的利润是元． 求，两款摆件每个的利润分别是多少？ 若该商店计划购进，两款摆件共个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】解：设款摆件每个的利润是元，款摆件每个的利润是元， 由题意得：， 解得：， 款摆件每个的利润是元，款摆件每个的利润是元； 设购进款摆件个，则购进款摆件个，销售总利润是元， 由题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当 时，取得最大值为：元， 此时，个， 商店购进款摆件个、款摆件个，才能使销售完这个摆件获得最大利润，最大利润是元．  【解析】设款摆件每个的利润是元，款摆件每个的利润是元，根据每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多元，销售件款摆件和销售件款摆件的利润是元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进款摆件个，则购进款摆件个，销售总利润是元，根据款摆件的数量不超过款摆件数量的，列出一元一次不等式，解不等式，再根据的结论，列出一次函数式，取最大值即可． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数式． 17.本小题分 【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“”值不变，只要求出的值即可他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为______． 小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移个单位长度，平移后直线的函数解析式为______，利用上下平移的规律，将直线向______填“上”或“下”平移______个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 如果直线与直线关于轴对称，求这条直线的函数解析式． 【解析】将点向上平移个单位长度后的对应点的坐标为， 将代入， 得， 解得， 利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为． 故答案为：，． 将点向左平移个单位长度后的对应点的坐标为， 设平移后直线的函数解析式为， 将代入， 得， 解得， 将直线向左平移个单位长度，平移后直线的函数解析式为， 利用上下平移的规律，将直线向下平移个单位长度也能得到这条直线． 故答案为：，下，． 直线上的点的坐标关于轴的对称点的坐标为， 在直线上， ，即， 这条直线的函数解析式为． 求出的坐标，再利用待定系数法求出过点的直线的函数解析式即可； 利用待定系数法求出平移后直线的函数解析式，据此利用上下平移的规律写出平移的方向和长度即可； 直线上的点的坐标关于轴的对称点的坐标为，将代入即可得到这条直线的函数解析式． 本题考查一次函数的应用、一次函数的图象与几何变换，掌握待定系数法求一次函数的关系式及一次函数函数的平移规律是解题的关键． 18.本小题分 如图，平面直角坐标系中，直线：交轴于，交轴于点过点作轴的垂线交于点，是直线上一动点，且在点的上方，设． 直线的表达式为______； 求的面积用含的代数式表示； 当时，求点的坐标； 在的条件下，以为边在第一象限作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【解析】解：平面直角坐标系中，直线：交轴于，代入得： ， 解得：， 直线的解析式是； 故答案为：； 过点作，垂足为，如图，则， 时，，在点的上方， ， ， 直线：交轴于点， 令，得：， 解得：， 点的坐标为； 点到直线的距离为，即的边上的高长为， ， ； 当时，， 解得， 点． ， ， ． 第种情况，如图，，， 过点作直线于点． ，， ， 在与中， ， ≌， ， ， ． 第种情况，如图，，， 过点作轴于点． ，， ， 在与中， ， ≌． ， ， ． 第种情况，如图，，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ． 以为边在第一象限作等腰直角三角形，点的坐标是或或． 把的坐标代入直线的解析式即可求得的值，由此即可求得直线的解析式； 过点作，垂足为，求得的长，再求得和的面积，二者的和即为的面积； 当时，代入中所得的代数式，求得值，即可求得点的坐标； 分是直角顶点且、是直角顶点且、是直角顶点且三种情况求点的坐标即可． 本题考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质的综合应用，正确求得的值，判断是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $