精品解析：吉林省吉林市第九中学2025-2026学年九年级下学期6月阶段测试数学试卷

吉林九中初三年级阶段测试卷 （数学） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 小高家的冰箱有冷藏室和冷冻室，分别设置温度为和．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求冷藏室温度比冷冻室温度高多少，只需用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可． 【详解】解： 冷藏室温度比冷冻室温度高． 2. 由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图，正确理解三视图的定义是解题的关键．根据三视图的定义，俯视图是从上面看到的图形即可求解，主要看不见的轮廓线用虚线． 【详解】解：根据三视图的定义，俯视图是从上面看到的图形， ∴它的俯视图为：， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项的概念与幂的运算法则，根据对应法则逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A，a与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误； 选项B，，故本选项运算正确； 选项C，，故本选项运算错误； 选项D，，故本选项运算错误． 4. 广东省2025年计划新增电源装机3000万千瓦，完善绿电市场交易机制，加紧经济社会发展全面绿色转型．其中数据3000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此即可求解． 【详解】解：3000万即30000000， ， 故选：B 5. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4， 故选：C． 考点：反比例函数k的几何意义． 6. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出平分，根据角平分线性质得到，从而判断出，得到，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：由作图可得，平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键． 8. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 9. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 10. 直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角． 根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得，再结合，算出，然后根据弧长公式，即可作答． 【详解】解：过点O分别作，如图所示： ∵是两条切线，切点分别为点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， 则的长度为， 故答案为：． 二、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【详解】． 解：原式 ． 将代入上式可得， 所以，原式． 13. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）， ∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 14. 如图，点E、F在矩形内，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是矩形，得到，证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴． 15. 2026吉马荣耀奖牌，以玫瑰花瓣为环、六枚“吉”字雪花为缀，将摇橹人图腾藏进雾凇纹理，把“北国江城”的浪漫与力量，凝作跑者胸前的荣耀．赛事组委会为完赛选手定制了全马、半马两款奖牌．据了解，每枚全马奖牌比半马奖牌贵4元；用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同．求全马、半马奖牌每枚的单价各是多少元？ 【答案】全马奖牌单价为元，半马奖牌单价为元． 【解析】 【分析】设半马奖牌每枚单价为元，则全马奖牌每枚单价为元，根据“用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设半马奖牌每枚单价为元，则全马奖牌每枚单价为元， 由题意可知：， 解得：， 检验：当时，， 因此是原方程的解， 全马奖牌单价为：元． 答：全马奖牌单价为元，半马奖牌单价为元． 16. 某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求这次绘制的两条平行线与间的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】通过 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定是平行四边形，确定，将平行线间的距离转化为到的垂线段长；再在直角三角形中，利用正弦函数计算出该垂线段长度，即可得解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与间的距离为， 在中， ∵，， ∴ ∴与间的距离约为． 17. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】 （1）画出下列其中一种即可 （2）画出下列其中一种即可 【解析】 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5， （2） 补全频数直方图如图， （3）甲 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； 【小问4详解】 解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 19. 如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． （1）当点M在上时， ________； （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图1中，当点M落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （2）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是矩形，如图中，当，重叠部分是四边形，如图中，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论； 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图1中，当点M落在上时， ∵以为邻边作平行四边形． ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图中，当时，重叠部分是矩形， 依题意，， 矩形的面积， 即． 如图中，当，重叠部分是四边形， 过点作， 同理证明是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得， ∴ ∴平行四边形的面积， 即． 如图中，时，重叠部分是五边形， ， 同理证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 同理证明是等腰直角三角形， ∴ ． 综上所述，． 20. 数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【小问1详解】 解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； 【小问2详解】 解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； 【小问3详解】 解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 21. 初中几何中平移、旋转、轴对称是重要的全等变换，可以产生丰富的图形．在中，，，． （1）如图1，将沿进行折叠得到（与重合，与重合），连接交于点，求的长度； （2）在图1基础上，将沿射线平移到如图2所示位置，连接，，已知，求证：四边形是矩形； （3）在图1基础上，将绕点逆时针旋转度（），如图3，直线交直线于点．当点、、三点共线时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）​或 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出，然后利用面积法求出即可求解； （2）由折叠得，，证明可证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形； （3）分①当在线段上和②当在的延长线上两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：． 折叠的性质：折叠后点与点关于对称， 因此垂直平分，即，． 利用面积法求：， ∴， 解得， 因此； 【小问2详解】 证明：由折叠得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：由旋转性质，，． 分两种情况：①当在线段上，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，． 在中，由勾股定理：，即， 解得，． ∴； ②当在的延长线上，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴． ∴． 综上，的面积为​或． 22. 如图①，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．连接，，P是抛物线上第一象限内的一个动点，设，过点P作轴于点D，交于点E，作于点P，使且点F在左侧，以，为邻边作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）当点F落在抛物线上时，则________； （3）当矩形的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； （4）如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出，即，由题意可知，根据点F落在抛物线上，P是抛物线上第一象限内的一个动点得到，，求解即可； （3）先求出的面积，进而得到矩形的面积，设直线的解析式为，求出直线的解析式，进而得到E点坐标，可知，进而得到矩形的面积，求解即可； （4）分三种情况根据勾股定理结合函数图象求出n的取值范围，取公共部分即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线过点和， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：解得， ∴，即， ∵，，点F在左侧，， ∴， ∵点F落在抛物线上， ∴， ∵P是抛物线上第一象限内的一个动点， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵矩形的面积是面积的3倍， ∴矩形的面积为， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 即直线的解析式为， ∵，轴于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 整理得， 解得：或， 对应得或， ∴点P的坐标为或； 【小问4详解】 解：抛物线顶点的横坐标为， ∴， ∵，， ∴，，， 当为直角时，如图： 此时，即， 解得：， 根据图象可知，当为锐角时，； 当为直角时，如图： 此时，即， 解得：， 根据图象可知，当为锐角时，； 当为直角时，如图： 此时，即， 解得：， 根据图象可知，当为锐角时，或； 综上所述，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，则或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林九中初三年级阶段测试卷 （数学） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 小高家的冰箱有冷藏室和冷冻室，分别设置温度为和．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 2. 由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 广东省2025年计划新增电源装机3000万千瓦，完善绿电市场交易机制，加紧经济社会发展全面绿色转型．其中数据3000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：＝______． 8. 分解因式：x2－25=_________________. 9. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 10. 直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则_____度． 11. 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为_________． 二、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 14. 如图，点E、F在矩形内，连接，，求证：． 15. 2026吉马荣耀奖牌，以玫瑰花瓣为环、六枚“吉”字雪花为缀，将摇橹人图腾藏进雾凇纹理，把“北国江城”的浪漫与力量，凝作跑者胸前的荣耀．赛事组委会为完赛选手定制了全马、半马两款奖牌．据了解，每枚全马奖牌比半马奖牌贵4元；用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同．求全马、半马奖牌每枚的单价各是多少元？ 16. 某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求这次绘制的两条平行线与间的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 17. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 19. 如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． （1）当点M在上时， ________； （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 20. 数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 21. 初中几何中平移、旋转、轴对称是重要的全等变换，可以产生丰富的图形．在中，，，． （1）如图1，将沿进行折叠得到（与重合，与重合），连接交于点，求的长度； （2）在图1基础上，将沿射线平移到如图2所示位置，连接，，已知，求证：四边形是矩形； （3）在图1基础上，将绕点逆时针旋转度（），如图3，直线交直线于点．当点、、三点共线时，请直接写出的面积． 22. 如图①，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．连接，，P是抛物线上第一象限内的一个动点，设，过点P作轴于点D，交于点E，作于点P，使且点F在左侧，以，为邻边作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）当点F落在抛物线上时，则________； （3）当矩形的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； （4）如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $