江苏苏州2026年中考数学考前冲刺卷3

**基本信息** 苏州2026中考数学冲刺卷以AI工具图标、两会热点等时代素材创设情境，通过杆秤一次函数、正方形折叠探究等问题，梯度覆盖代数、几何、统计与概率，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|数与式、图形性质、统计量|第2题以AI工具图标考中心对称，体现数学眼光| |填空题|8/24|函数性质、圆、几何变换|第15题梯形动点面积结合函数图像，考查空间观念| |解答题|11/82|概率统计、函数综合、几何探究|23题小车提物体解直角三角形，27题折叠分等边与等腰三角形，强化模型意识与推理能力|

苏州2026年中考考前冲刺卷3 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2.下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 千问 B. ChatGPTC. Deepseek D. 元宝 3. 如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（　　） A. 左拐 B. 左拐 C. 右拐 D. 右拐 6. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 8. 如图，半径为6的扇形中，，是上一点，点、分别在、上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9.因式分解：__________． 10. 比较大小：________（填“”或“”或“”）． 11.在一次函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第_______象限． 12. 已知点，点，且轴，则m的值为_____． 13. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为12，则圆锥的半径长为______． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 15. 如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）． 16. 如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. “不负韶华梦，读书正当时”，某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小航从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《西游记》的概率为 ； （2）小淇想从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《西游记》被选中的概率． 21.为了解居民学习“2026年全国两会”精神情况，某街办针对“两会热点议题”对某小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词分别为：“A．乡村振兴；B．质量强国；C．科技自立自强；D．依法治国；E．数字化生活”．每人只能从中选一个最关注的议题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：     （1）补全条形统计图； （2）求议题A所在扇形的圆心角度数； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有多少人？ 22. 某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： （1）本次抽样调查的人数共有________人，________； （2）根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标注人数： （3）若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 23. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 25. 如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，设的面积是，的面积是，且，求的正切值． 26.已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． （1）将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 27. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2026年中考考前冲刺卷3 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用实数大小比较的基本规则，先区分负数，零和正数，再比较正数的大小即可得出结果． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， ∴，且，都小于正数和， 又∵，， ∴， 综上可得四个数的排序为： ∴最大的数是． 2.下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 千问 B. ChatGPTC. Deepseek D. 元宝 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示： 故选D． 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，判断即可． 【详解】解：， A、不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得，故A错误； B、不等式两边同时乘以正数2，不等号方向不变，可得，故B正确； C、不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，可得，故C错误； D、不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，故D错误； 故选：B． 5. 如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（　　） A. 左拐 B. 左拐 C. 右拐 D. 右拐 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线性质即可求出，再根据题意即可判断在处的实际拐弯方向. 【详解】解：由题意得，过点作，如图所示， 某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东， . ， . 若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为向左拐. 故选：B. 6. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】首先比较平均数，再比较方差即可得出结论． 【详解】解：从平均分数看：， 从方差看：， 所以丙的平均分数最大（成绩最好），且方差最小（发挥最稳定），因此最合适的学生是丙． 7. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 8. 如图，半径为6的扇形中，，是上一点，点、分别在、上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，且平分，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图：  四边形为菱形，  ，，  ，  四边形为菱形，  平分，  ，  ，   ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9.因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 10. 比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 11.在一次函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第_______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性判断出的符号，再根据象限内点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：在一次函数中，的值随着值的增大而增大， ， 点的横坐标，纵坐标， 点在第一象限． 12. 已知点，点，且轴，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，列出关于的方程求解，验证后即可得到结果. 【详解】解：点，点，且轴， 点与点的横坐标相等，即， 解得， 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意. 13. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为12，则圆锥的半径长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可. 【详解】∵母线为6，设圆锥的底面半径为x， ∴圆锥的侧面积=π×6×x=12π 解得x=2， 故答案为2. 14. 如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角等于90度，可得，求得，然后根据内接四边形对角互补，，最后求得答案． 【详解】解：∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 15. 如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化， ∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒， ∵动点P的运动速度是1cm/s， ∴AB=2cm，BC=2cm． 如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F， 则四边形BCFE是矩形， ∴BE=CF，BC=EF=2cm， ∵∠A=60°， ∴BE=ABsin60°=2×， AE=ABcos60°=2×=1， ∴×AD×BE=3， 即×AD×=3， 解得AD=6cm， ∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3， 在Rt△CDF中，CD=， 所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2， ∵动点P的运动速度是1cm/s， ∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）． 故答案为：4+2． 16. 如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据折叠的性质和三角形等积变化可以求出，再利用中点模型倍长中线模型证明，由此可得，进而可求，，再结合图形求面积即可. 【详解】解：如图，延长交延长线于，连接、，设，， 由折叠可知：，，， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∴, ∴与四边形的面积比为. 三、解答题（本大题共11小题，共82分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x值带入即可． 【详解】解：原式 代入 原式 20. “不负韶华梦，读书正当时”，某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小航从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《西游记》的概率为 ； （2）小淇想从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《西游记》被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：4部名著：A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》中，随机选择1部， 选中《西游记》的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种， ∴《西游记》被选中的概率为． 21.为了解居民学习“2026年全国两会”精神情况，某街办针对“两会热点议题”对某小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词分别为：“A．乡村振兴；B．质量强国；C．科技自立自强；D．依法治国；E．数字化生活”．每人只能从中选一个最关注的议题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：     （1）补全条形统计图； （2）求议题A所在扇形的圆心角度数； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）270人 【解析】 【分析】（1）先求出调查的总人数，然后求出A项和C项的人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以议题A所占的百分比，即可得出答案； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）， C项的人数为：（人）， A项的人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：议题A所在扇形的圆心角度数为： ． 【小问3详解】 解：该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有： （人）． 22. 某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： （1）本次抽样调查的人数共有________人，________； （2）根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标注人数： （3）若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 【答案】（1）100人，20 （2）见解析 （3）喜欢文体活动的居民有320名 【解析】 【分析】（1）根据部分实际数据和百分比求出总量即可； （2）求出部分的数据，然后补全条形统计图； （3）根据样本频数估计总体频数． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为（人）； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：文体活动（C）的人数为（人），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人） 答：该小区喜爱“文体活动”项目的居民有320名． 23. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）点C的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用． （1）根据点B在一次函数的图象上，B点坐标为，将B点坐标代入中，可求出a的值，即求得一次函数的解析式； （2）先求出反比例函数的解析式，再设，根据点C为中点，轴，点H在y轴上，求得，最后根据点C在反比例函数图象上，求出x的值，最后求得点C坐标． 【小问1详解】 解：∵B点在一次函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵B点在反比例函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， ∴反比例函数的解析式为． ∵点P为线段上的一点， ∴设， ∵轴，与反比例函数的图象交于点C， ∴， ∵点C为中点，轴，点H在y轴上， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 即， 解得：，， ∴点C的坐标为或． 25. 如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，设的面积是，的面积是，且，求的正切值． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，等腰三角形两底角相等，证明即可； （2）过C点作，等角的正切值相等，得到 ，利用面积之比得出，进行联立求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过C点作，如图所示， 由题可知， ∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 26.已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． （1）将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②为定值，该定值为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； 【小问2详解】 解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 27. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司 $