精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区第七中学九年级中考前测试 数学试题

2025-2026学年九年级下学期中考三模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（ ） A. 设井深为x尺，所列方程为 B. 绳长32尺 C. 设绳长为l尺，所列方程为 D. 井深6尺 5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　） A. B. C. D. 6. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 2 4 2 … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿个山楂，小串冰糖葫芦每根穿个山楂，小鑫同学打算穿根大串和根小串冰糖葫芦，则需要的山楂总个数用代数式表示为______． 10. 甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是8环，方差分别是，，则这10次射击成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 11. 如图，在离铁塔底部30米的处，用测角仪从点处测得塔顶的仰角，测角仪的高为2米，则铁塔的高为________米．（结果保留根号） 12. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 化简计算： （1）计算：； （2）化简：． 14. “书香筑梦，悦读青春”读书会系列活动将继续开展，以书香涵养学生品格，以阅读赋能学生成长．为了解学生每周课外读书时间的情况，某校在九年级学生中随机调查了一部分学生每周课外读书的时间，根据统计的结果，绘制出如下的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的九年级学生人数为________，图1中的值为________； （2）求本次调查的九年级学生每周课外阅读时间的众数和中位数； （3）若该校九年级共有680名学生，请估计该校九年级学生每周课外阅读时间不低于3 h的人数． 15. 内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 （1）求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； （2）某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 16. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 17. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑的高； （2）求落水点C、之间的距离； （3）若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 18. 综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上，，，则________； 【问题提出】 （2）如图2，在中，，，过点作，且，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为12，的长为6，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期中考三模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 3. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴． 4. 《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（ ） A. 设井深为x尺，所列方程为 B. 绳长32尺 C. 设绳长为l尺，所列方程为 D. 井深6尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据井深或绳长不变找等量关系，逐一验证选项即可． 【详解】解：逐一验证选项：若设井深为尺， ∵绳长保持不变，折三等份时每份绳长比井深多4尺，总绳长为， 折四等份时每份绳长比井深多1尺，总绳长为， ∴方程应为，故A选项错误． 解方程，得，即井深为8尺，故D选项错误． 此时绳长为尺，故B选项错误． 若设绳长为尺， ∵井深保持不变，井深等于每份绳长减去井外余绳，折三等份时井深为， 折四等份时井深为， ∴所列方程为，故C选项正确． 5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．根据待定系数法求出反比例函数解析式，分别求出和时求得V的值，于是得到结论． 【详解】解：设 ∵有图象给出的信息可得：， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴气体体积压缩了， 故选：A． 6. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，方程无实数根时判别式小于0． 列出不等式求解k的取值范围，即可得到k的最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴k的最小整数值是2． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 8. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 2 4 2 … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先利用表格中的已知点求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断选项. 【详解】解：把，，代入，得， 解得， 二次函数解析式为； ， 抛物线开口向下，A错误； 当时，， 抛物线与轴交于正半轴，B错误； 对称轴为， ， 当时，随的增大而减小，C错误； 当时，，符合，D正确. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿个山楂，小串冰糖葫芦每根穿个山楂，小鑫同学打算穿根大串和根小串冰糖葫芦，则需要的山楂总个数用代数式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，山楂总个数等于大串冰糖葫芦的山楂个数与小串冰糖葫芦的山楂个数之和，大串每根穿个山楂，小串每根穿个山楂，因此用代数式表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，穿根大串冰糖葫芦需要个山楂，穿根小串冰糖葫芦需要个山楂， 所以山楂总个数为， 故答案为：． 10. 甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是8环，方差分别是，，则这10次射击成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，成绩越稳定．本题中甲和乙的平均数相同，直接比较两个方差的大小即可判断谁的成绩更稳定． 【详解】解：甲，乙两位同学射击成绩的平均数相同，方差分别为，． ， 乙的方差较小， 因此乙的射击成绩更稳定． 11. 如图，在离铁塔底部30米的处，用测角仪从点处测得塔顶的仰角，测角仪的高为2米，则铁塔的高为________米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 则四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米. 12. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交于点．若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作，并延长，交于点，由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，，，则有，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点作，并延长，交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理可得， ∴， ∴. 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 化简计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简二次根式、去绝对值、计算乘方，再依次进行加减运算； （2）先计算括号内减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简分式． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式=． 14. “书香筑梦，悦读青春”读书会系列活动将继续开展，以书香涵养学生品格，以阅读赋能学生成长．为了解学生每周课外读书时间的情况，某校在九年级学生中随机调查了一部分学生每周课外读书的时间，根据统计的结果，绘制出如下的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的九年级学生人数为________，图1中的值为________； （2）求本次调查的九年级学生每周课外阅读时间的众数和中位数； （3）若该校九年级共有680名学生，请估计该校九年级学生每周课外阅读时间不低于3 h的人数． 【答案】（1）40，25 （2）众数为3，中位数为3 （3）该校九年级学生每周课外阅读时间不低于的人数约为476人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图信息求解即可得到答案； （2）由条形统计图信息，根据众数和中位数的求法求解即可得到答案； （3）由样本中九年级学生每周课外阅读时间不低于的人数占比估计总体情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次参与调查的九年级学生人数为； 其中人数占比， 即． 【小问2详解】 解：∵在这组数据中，3出现了15次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为3． 将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是3， ∴这组数据的中位数为3． 【小问3详解】 解：（人）． ∴该校九年级学生每周课外阅读时间不低于的人数约为476人． 15. 内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 （1）求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； （2）某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 【答案】（1）每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元 （2）共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【解析】 【分析】（1）设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元， 依题意，得， 解得， 答：每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元． 【小问2详解】 解：设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副， 依题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴或37或38或39或40， 共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 16. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； （2）的半径是． 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 17. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑的高； （2）求落水点C、之间的距离； （3）若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）雕塑的高为 （2） （3）当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【解析】 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 18. 综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上，，，则________； 【问题提出】 （2）如图2，在中，，，过点作，且，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为12，的长为6，求的面积． 【答案】（1） （2）18 （3）6 【解析】 【分析】（1）证明，则，，由求得的长； （2）过作交延长线于点，证明，则，由求出面积； （3）过点作于点，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，，则，由求出面积． 【小问1详解】 解： ． 在和中，， ， ，， ． 【小问2详解】 解：如图1，过作交延长线于点． ，， ， ． 在和中，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图2，过点作于点，过点作交的延长线于点． 的面积为，的长为， ， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， ，， ． 在和中，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $