21.3.2二次函数与一元二次不等式 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次不等式的关系，以二次函数与一元二次方程为基础，通过分析抛物线开口方向、与x轴交点，构建从方程到不等式的学习支架，帮助学生衔接前后知识，掌握利用图象求解不等式的方法。 其亮点在于以数形结合思想为核心，通过问题链（如不同交点情况的解集判断）和表格归纳规律（如判别式与解集关系表），强化几何直观和推理意识。实例包括含参数交点位置分析、两个函数比较的不等式，采用归纳总结法，学生能提升直观理解和逻辑推理能力，教师可直接用于课后巩固和分层教学。

沪科版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 21.3.2二次函数与一元二次不等式 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级上册21.3.2 二次函数与一元二次不等式同步练习题 本课时在二次函数与一元二次方程的基础上，重点学习利用二次函数图象求解一元二次不等式，核心掌握数形结合解题思想。主要考查根据抛物线开口方向、与x轴交点坐标，判断函数值正负，求解不等式解集，同时涵盖含参数基础题型，是初中函数重难点题型，适配课后巩固训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线\(y=(x-1)(x+3)\)开口向上，则不等式\((x-1)(x+3)>0\)的解集是（） A. \(x>1\) B. \(x<-3\) C. \(-3<x<1\) D. \(x>1\)或\(x<-3\) 2. 已知抛物线\(y=x²-4x+3\)与x轴交于\((1,0)\)、\((3,0)\)，则不等式\(x²-4x+3<0\)的解集为（） A. \(1<x<3\) B. \(x>3\) C. \(x<1\) D. 无解 3. 抛物线\(y=-x²+2x\)开口向下，则不等式\(-x²+2x≥0\)的解集是（） A. \(x≥2\) B. \(x≤0\) C. \(0≤x≤2\) D. \(x>2\)或\(x<0\) 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 二次函数\(y=x²-1\)与x轴交于\((±1,0)\)，则不等式\(x²-1>0\)的解集为________。 5. 抛物线\(y=x²+2x+1\)与x轴仅有一个交点，不等式\(x²+2x+1<0\)的解集为________。 6. 开口向上的抛物线与x轴无交点，则不等式\(ax²+bx+c>0(a>0)\)的解集为________。 三、解答题（共60分） 7.（20分）已知二次函数\(y=x²-6x+5\)。（1）求抛物线与x轴交点坐标；（2）直接写出不等式\(x²-6x+5>0\)的解集。 8.（20分）利用二次函数图象解不等式：\(-x²+4x≥0\)。 9.（20分）已知二次函数\(y=2x²-8x+6\)，求不等式\(2x²-8x+6≤0\)的解集。 参考答案与解析 一、选择题 1. D 解析：开口向上，函数值大于0取两根外侧，解集为\(x>1\)或\(x<-3\)。 2. A 解析：开口向上，函数值小于0取两根之间，解集为\(1<x<3\)。 3. C 解析：抛物线与x轴交于\((0,0)\)、\((2,0)\)，开口向下，函数值大于等于0取两根之间及端点，解集为\(0≤x≤2\)。 二、填空题 4. \(x>1\)或\(x<-1\) 解析：开口向上，\(y>0\)取两根外侧区间。 5. 无解 解析：原式化为\((x+1)²<0\)，平方数恒非负，无满足条件的x值。 6. 全体实数 解析：开口向上且与x轴无交点，抛物线全程在x轴上方，函数值恒大于0。 三、解答题 7. 解：（1）令\(y=0\)，解得\(x_1=1，x_2=5\)，交点坐标为\((1,0)\)、\((5,0)\)；（2）抛物线开口向上，\(y>0\)解集：\(x<1\)或\(x>5\)。 8. 解：设\(y=-x²+4x\)，开口向下，与x轴交于\((0,0)\)、\((4,0)\)，函数值大于等于0，解集为\(0≤x≤4\)。 9. 解：令\(y=2x²-8x+6=0\)，解得\(x_1=1，x_2=3\)，抛物线开口向上，\(y≤0\)取两根之间及端点，解集为\(1≤x≤3\)。 练习小结：本节核心规律：开口向上，大于0取两边、小于0取中间；开口向下，大于0取中间、小于0取两边；抛物线与x轴无交点或仅有一个交点时，可根据函数恒正、恒负快速判断不等式解集，核心依托数形结合思想解题。 二次函数与一元二次不等式的关系 问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________. 3 -1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 1 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. O x 2 (4，2) (−2，2) x1 = −2，x2 = 4 x < −2 或 x > 4 −2 < x < 4 y −2 4 问题2 如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 1 (2 ，0) x1 = x2 = 2 2 O x y 问题3：(1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点； (2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？ 0 解：当 a＞0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 无解； 当 a＜0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是一切实数. O x y 思考： (1) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的两个交点关于原点对称？ (2) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正半轴有两个交点？ (3) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的负半轴有两个交点？ (4) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正负半轴都有交点？ (5) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 过原点？ 解：若抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴有交点， 则 (m + 8)2 - 4(m + 8)≥0，∴ m≥-4 或 m≤-8. 设这两个交点为 x1，x2. (1) 若抛物线与 x 轴的两个交点关于原点对称， 则 x1 + x2 = -(m + 8) = 0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m 不存在. (2) 若抛物线与 x 轴的正半轴有两个交点. 则 x1 + x2 = -(m + 8)＞0，x1·x2 = m + 8＞0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m 不存在. (3) 若抛物线与 x 轴的负半轴有两个交点. 则 x1 + x2 = -(m + 8)＜0 ，x1·x2 = m + 8＞0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m＞-4. (4) 若抛物线与 x 轴的正负半轴都有交点， 则 x1·x2 = (m + 8)＜0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m＞-4. (5) 若抛物线经过原点， 则 m + 8 = 0，且 m≥-4 或 m≤-8. ∴ m = -8. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y=-x2+x+2 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)①-x2+x+2=0； ②-x2+x+2>0； ③-x2+x+2<0. (2)①x2-4x+4=0； ②x2-4x+4>0； ③x2-4x+4<0. (3)①-x2+x-2=0； ②-x2+x-2>0； ③-x2+x-2<0. y=x2-4x+4 y=-x2+x-2 ①x1 = -1，x2 = 2 ③x＜-1或 x＞2 ①x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ x 无解 ①无解 ②无解 ③ x 为全体实数 ②-1＜x＜2 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a＞0 时的解集 a＜0 时的解集 有两个交点 (x1,0), (x2,0) (x1＜x2) 有一个交点 (x0，0) 没有交点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x2＜x或x＜x2. y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0，x ≠ x0； y＜0，无解 y＜0，x ≠ x0； y＞0，无解. y＞0，全体实数；y＜0，无解 y＜0，全体实数；y＞0，无解. 利用两个函数图象求不等式的解集 例2 已知抛物线 (a＞0) 与直线 相交于点 O (0 ，0) 和点 A (3 ，2)，求不等式 的解集. 分析：根据题目提供的条件，无法确定抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集. 2 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 上方的所有点的横坐标所组成的范围. 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 下方的所有点的横坐标所组成的范围. 归纳总结 【做一做】已知函数 y1＝x2 与函数 的图象大致如图，若 y1＜y2，则自变量 x 的取值范围是( ) A. C. B. 或 D. 或 A 解析：先根据方程 求出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案. 1. (1) x 取何值时， 关于 x 的二次三项式 x2 - 3x + 2 的值为负数？ (2) a 是什么实数时，不等式 ax2 + ax - 1＞0 无解？ 解：(1) 1＜x＜2. (2) 当 a = 0 时，不等式无解，符合题意； 当 a ≠ 0 时，Δ = a2 + 4a≤0，解得 -4≤a＜0. 综上可知，-4≤a≤0. 随堂练习 2. 当 1＜x＜3 时，二次函数 y = x² - (k + 1)x + k 的图象在 x 轴下方，求 k 的取值范围. 解：y = x² - (k + 1)x + k = (x - k)(x - 1)，与 x 轴交点坐标为 (1，0)，(k，0). 由题意知，当 1＜x＜3 时， y＜0， 所以 k≥3. 随堂练习 3.已知二次函数 的图象如图所示，利用图象回答问题： (1) 方程 的解是什么？ (2) x 取什么值时，y＞0？ (3) x 取什么值时，y＜0？ x y O 2 4 8 解：(1) x1 = 2，x2 = 4. (2) x＜2 或 x＞4. (3) 2＜x＜4. 随堂练习 18 解：y1 = kx + 1 经过点 A(1，0)， 则 0 = k + 1，解得 k = -1. y2 = ax2 + bx - 2 经过点 A(1，0)， 则 0 = a + b - 2 ①. 抛物线的对称轴是 ，故 ②，联立①②，解得 4. 如图，一次函数 y1= kx + 1 与二次函数 y2 = ax2 + bx - 2 交于 A、B 两点，且 A (1，0)，抛物线的对称轴是 （1）求 k 和 a、b 的值； x y A O B 随堂练习 (2) 求不等式 kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集. x y A O B 解：解方程 -x + 1 = x2 + x - 2，得 x1 = -6，x2 = 1. ∴ 点 B 的横坐标为 -6. 根据图象可以看出， kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为 -6＜x＜1. 随堂练习 b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1或x＞x2 x ≠ x1 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 课堂小结 $