21.3 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根”，通过知识回顾二次函数与x轴交点和方程根的关系，以“非整点交点如何求根”的思考自然导入新知，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于融合数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），通过例题将方程转化为函数图象交点问题，结合表格数据逼近近似值，课堂小结梳理两种求解方法。学生能发展运算与探究能力，教师可借此提升教学效率，深化知识理解。

第21章 二次函数与反比例函数 21.3 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 知识回顾 例题讲解 随堂演练 获取新知 课堂小结 知识回顾 观察图象可知，二次函数 的图象与x轴有两个交点。 两交点分别为（-2,0）（-1,0）， 交点横坐标可看作是方程 的根. 思考：二次函数与x轴的交点不是整点，如何求方程的根呢？ 2 Administrator (A) - 通过上一节课的学习知道可以利用二次函数图象求一元二次方程的根，对于近似根如何求呢？ 由于作图或观察有误差， 一元二次方程ax2+bx+c=0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 与x轴的交点的横坐标 就是 的根. 由此可知， 我们可以利用二次函数的图象 求一元二次方程的根. 由图象求得的根一般是近似解. 探索：用函数图象求一元二次方程的近似解 获取新知 与x轴的交点的横坐标， 然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标， 例 用图象法求一元二次方程 x2-2x-1=0 的根的近似值（精确到0.1）. 分析： 这种解一元二次方程的方法叫做 一元二次方程 x²-2x-1=0 的根 就是 抛物线 y=x²-2x-1 因此我们可以先画出这条抛物线， 图象法. 例题讲解 由图象可知， 解法一：画出函数 y=x²+2x-1 的图象 方程有两个实数根， 一个在-3与-2之间， 另一个在0与1之间. x o 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 -3 8 y=x2+2x-1 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4. 同理可得另一近似值为x2≈2.4. 观察x取何值时，y值最接近0 例 用图象法求一元二次方程 x2+2x-1=0 的根的近似值（精确到0.1）. 还有其它方法吗？ 分析： 前面已经学习了利用两条直线的交点可以求一个一元 二次方程组的近似解，那么我们能否利用两个图象的 交点坐标，来求方程 x2+2x-1=0的根？如果能，是 哪两个图象呢？ 提示1：能否利用函数 y=x2 和函数y=-2x+1 的图象求方程 x2+2x-1=0的近似根? 提示2：能否利用函数 y=x2+2x 和直线 y=1 的交点的横坐标求方程 x2+2x-1=0的近似根? 它们的交点的横坐标也就是方程 x2+2x-1=0的近似解. 验证： 分别画出函数y=x2 和函数y=-2x+1 的图象， 如下图， 它们的交点的横坐标也就是方程 x2+2x-1=0的近似解. 验证： 同样分别画出函数 y=x2+2x 和直线 y=1， 如下图， 可以在计算机上借助信息技术处理 1.根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈ (精确到0.1). -4.3 x … －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 －4.5 －4.6 … y＝x2＋2x－10 … －1.39 －0.76 －0.11 0.56 1.25 1.96 … 随堂演练 2.用图象法求一元二次方程2x2－4x－5＝0的近似根. 解：作函数y＝2x2－4x－5图象如下： 图象与x轴相交于两点，观察图象，x1≈2.9，x2≈－0.9. 3.已知二次函数y=2x2-2和一次函数y=5x+1. (1)你能用图象法求出方程2x2-2=5x+1的解吗?试试看; (2)请通过解方程的方法验证(1)中的答案. 解:(1)如图,在平面直角坐标系内画出函数和函数的图象,两图象交点的横坐标分别是 , 3, ∴方程的解是 (2)整理得,代入求根公式得 . 解得 4.当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，求a的值. 解：当y＝1时，有x2－2x＋1＝1. 解得x1＝0，x2＝2. ∵当a≤x≤a＋1时，函数有最小值1. ∴a＝2或a＋1＝0，如图所示. ∴a＝2或a＝－1. 5.已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且当－2≤x≤1时，y的最大值为9.求a的值. 解：由函数表达式可知对称轴为直线x＝－1， 又∵当x≥2时，y随x的增大而增大. ∴抛物线开口向上，∴a＞0. 当x＝－2时，y1＝3a2＋3. 当x＝1时，y2＝3a2＋3a＋3， 由题意知y2＞y1，∴y2＝3a2＋3a＋3＝9. 解得a1＝1，a2＝－2， ∵a＞0，∴a＝1. 6.已知二次函数y＝－x2＋(k－2)x＋3(k＋1). (1)若k＝1，求抛物线与x轴的交点坐标； 解：(1)当k＝1时，y＝－x2－x＋6， 令y＝0，则－x2－x＋6＝0，解得x1＝－3，x2＝2， ∴抛物线与x轴的交点为(－3，0)，(2，0). (2)抛物线与直线y＝2x－k经过x轴上同一点，求k的值. 解：由y＝2x－k得，当y＝0时，x＝， ∴抛物线与直线在x轴的交点坐标为(，0)， ∴-()2＋(k－2)×＋3(k＋1)＝0， 整理得k2＋8k＋12＝0 解得k＝－2或k＝－6. 7.(亳州涡阳县月考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝k(x＋3)经过A，C两点. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)∵直线y＝k(x＋3)经过点A， ∴当y＝0时，k(x＋3)＝0， ∴x＝－3，∴A(－3，0)， 将A(－3，0)和B(1，0)代入y＝ax2＋bx＋3得 解得∴y＝－x2－2x＋3. (2)点P(m，n)是x轴上方抛物线上的一动点，设l＝PA2－PC2. ①求l关于m的函数表达式； 解：①当x＝0时，y＝3， ∴C(0，3)， ∵点P(m，n)是x轴上方抛物线上的一动点， ∴n＝－m2－2m＋3， ∵P(m，n)，A(－3，0)，C(0，3)， ∴PA2＝(－3－m)2＋n2，PC2＝m2＋(n－3)2， ∴l＝PA2－PC2 ＝(－3－m)2＋n2－m2－(n－3)2 ＝6m＋6n ＝6(－m2－2m＋3)＋6m ＝－6m2－6m＋18， ∴l＝－6m2－6m＋18. ②当m为何值时，l的值最大. 解：l＝－6m2－6m＋18 ＝－6（m+）2＋＋18 ＝－6（m+）2＋， 当m＝－时，l的值最大为. 8.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点E(6，0)，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为(t，0). (1)求抛物线的函数表达式； 解：(1)∵抛物线过点E(6，0)和(0，0)， 则对称轴为x＝＝3， 设表达式为y＝a(x－3)2＋9，把(0，0)代入得 9a＋9＝0，解得a＝－1， ∴y＝－(x－3)2＋9＝－x2＋6x. (2)若△OAD与△BCE的面积分别记作S1，S2，当0<t<4时，求S1＋S2的值； 解：设A的坐标为(t，0)，则点B的坐标为(t＋2，0)， 又∵过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C， ∴点D的坐标为(t，－t2＋6t)，点C的坐标为(t＋2，－(t＋2)2＋6(t＋2))，即C(t＋2，－t2＋2t＋8)， ∴S1＋S2＝AD·OA＋BC·BE＝(－t2＋6t)·t＋(－t2＋2t＋8)·(6－t－2)＝16. (3)若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S. ①当0<t<4时，求S的最大值； 解：①S＝（AD＋BC）·AB ＝(－t2＋6t－t2＋2t＋8)×2 ＝－2t2＋8t＋8 ＝－2(t－2)2＋16， ∴当t＝2时，S最大，最大为16. ②当t≥3时，直接写出S＝14时t的值. 解：当3≤t<4时，令S＝14，则－2t2＋8t＋8＝14， 解得t＝1(舍去)或t＝3. 当4≤t<6时，S＝(AD＋BC)·AB ＝(－t2＋6t＋t2－2t－8)×2 ＝4t－8， 令S＝14，则4t－8＝14，解得t＝5.5. 当t≥6时，S＝2t2－8t－8＝14， 解得t＝2±(舍去).综上所述，t＝3或t＝5.5. 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 二次函数的图象与x轴的交点求一元二次方程的根 转化成两个函数图象的交点求一元二次方程的根 转化为一个二次函数和一个一次函数来处理 利用逼近法求近似值 课堂小结 $