2025-2026学年沪教版(五四制)七年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 聚焦七年级下册核心知识，通过分层设计与情境创新，考查数学抽象、几何直观与推理能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|不等式性质、角平分线、三角形三边关系|结合折叠（如第4题）、动态射线（第9题）考查几何直观| |填空题|6/18|命题反例（第11题）、相似三角形（第12题）、面积计算（第13题）|设置开放性问题（如第11题反例），强化逻辑思维| |解答题|8/72|解不等式组（17题）、AI实验器材采购（18题）、几何证明与动态问题（22-24题）|融入科技情境（AI器材），设计多问递进（如24题三图变式），提升推理与模型意识|

2025一2026学年沪教版五四制七年级数学下册期末冲刺卷 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.若a<b,则下列不等式成立的是() A.a2<b2 B.4a>4b C.-3a+4<-3b+4 D.a 2.如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE,∠D0B是直角.若∠1=35°，那么∠A0B 的度数是() B A.55° B.35° C.90° D.115° 3.若a、b、c为ABC的三边长，且满足a-4+(b-22=0,则c的值可以为() A.7 B.1 C.4 D.6 4.如图，在ABC中，根据图形折叠后的情况，不可以判定AB>AC的是() A B B C(B') A(B C D 5.已知有理数满足3-17之x-5+2, ,若3-x-x+2的最小值为a最大值为b,则 23 3 ab的值为() A.-1 B.5 C.-5 D.1 6.如图，在ABC中，∠B=60°，∠1，∠2为ABC的两个外角，则当∠1减少1时，∠2的 变化是() 试卷第1页，共3页 B A.减少1 B.增大1° C.保持不变 D.增大2 7.如图，在锐角ABC中，BC=9,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的 垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,EG=1,则△AEG的周长为() D A.11 B.10 C.9 D.8 8.如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判 断结果是否大于21”为一次运行.若该程序运行了2次便停止，则x的取值范围为() 输入 乘3减6→天子2是，停止 A.5<x≤9 B.5<x<9 C.x≥5 D.x<9 9.如图，直线EF上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD.∠BAF=I00°，CD与AB在 直线EF异侧.若∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速 度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（) 时，CD与AB平行.() A.4秒 B.10秒 C.40秒 D.4或40秒 1O.如图，BD,CD分别是ABC的内角∠ABC和外角LACF的平分线，且AB∥CD,CE 平分∠ACB交BD于点E,连接AD,则下列说法错误的是() 试卷第1页，共3页 E C A.∠A=2∠D B.BC=CD C.AB=AC D.∠BEC=∠ABD+90° 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论 后得到的新命题也是真命题.请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的： 12.如图，点A,B在一水池的两侧，AC、BD相交于点E.若 BE=DE,∠B=∠D=90°，CD=8m,则水池宽AB=m· D 13.如图，在ABC中，AB=AC=BC=12,P为ABC的内部一点，PM,PN,PQ分 别与直线AB,AC,BC垂直，垂足分别为点M,N,Q.且PQ=V3,PN=2√5， PM=3√3，则ABC的面积是 14.如图，己知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其 中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为度 试卷第1页，共3页 y m 20 n D B x-1≥-3+2 15.关于x的不等式组 2有解，且关于x的分式方程-+2=，1有整数解， 2x-a>0 x-2 2-x 则满足条件的所有整数a的和为 16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC+LADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AF、AE、EF,满足EF=BE+FD.若∠C=75°，则 ∠EAF= 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.按要求完成下列各题： (0)解不等式：≥x-1,并把解集在数轴上表示出来. 3 4-3-2-101234→ 31-x>21-2x) (2)解一元一次不等式组： 3+x≥2x-1+ +1 ，并把解集表示在数轴上. 2 3 18.为落实教育部2026年人工智能进中小学部署，推进探究式科学教育、培养学生创新实 践能力，某校计划采购甲、乙两类AI科学实验套装，为学生实践探究提供支撑.购买1件 甲种实验器材与2件乙种实验器材共需220元，购买2件甲种实验器材与3件乙种实验器材 共需370元. (1)求甲种实验器材和乙种实验器材的单价； (2)该校计划购买甲种实验器材和乙种实验器材共150件，总费用不超过11500元，那么最 多能购买甲种实验器材多少件？ I9.如图，直线AB,BE相交于点B,直线CD,BE相交于点E,BE⊥DF于点P,连接 CF,DF,∠I=∠C. 试卷第1页，共3页 E (1)若∠2=56°，请求出∠B的度数： (2)若AB∥CD,求证：∠2+∠D=90°. 20.如图，在ABC中，∠ACB>∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的任意一点， EP⊥AD交直线BC于点E, B C (1)若∠B=40°，∠ACB=80°，求∠E的度数： ②求证：∠E=∠4CB-∠B)。 21.如图，在ABC中，DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点. M B (I)若aCMN的周长为20cm,求AB的长； (2)若LACB=106°，求∠MCN的度数. 22.如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN,ST之间，且满足 ∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°. A M M S B B B 图1 图2 图3 (1)试说明：MN∥ST; (2)如图2，若∠ACB=60°，AD∥CB,点E在线段BC上，连接AE,且∠DAE=2LCBT, 试卷第1页，共3页 试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若LACB=30°，点E在线段BC上，连接AE,若∠CAE=5LCAW,请直接写出 ∠MAE与∠CBT的等量关系， 23.在ABC中，点D是ABC的边BC的中点. 图1 图2 图3 (I)如图1，连接AD,若∠BAD=2∠CAD,过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E,若 ∠ABC=110°，∠C=25°，求∠ADE; (②)如图2，点F是线段AC上一点，连接FD并延长交AB延长线于G,若CF=AB, ∠AFD=∠ABD,求证：DG=DF+BC; (3)如图3，若CP平分∠ACB,M、N分别是CP、CB上任意一点，若S△Bc=12,AC=4, 直接写出BM+MN的最小值. 24.如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上. G D B D H B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在边BC上时，DE与EB有什么数量关系，请说明你的理由； (2)如图2，当点E在ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明： (3)如图3，当点E在ABC外部时，EH⊥AB于点H,过点E作GE‖AB,交线段AC的延 长线于点G,AG=5CG,BH=2.求CG的长. (温馨提示：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即在Rt△ABC中，∠C=90°，若点D 为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB) 2 试卷第1页，共3页 2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 直接代入具体数据判断A，根据不等式的性质判断B、C、D即可． 【详解】解：A选项：取，，满足，但，，， 故不恒成立，A错误； B选项：∵，根据不等式性质2，不等式两边同乘正数4，不等号方向不变， ∴，故B错误； C选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，再根据不等式性质1，不等式两边同加4，不等号方向不变， ∴，故C错误； D选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故D正确； 故选：D． 2．如图，点O在直线上，平分，是直角．若，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、角的和差运算知识，解题的关键是熟练掌握角平分线、角的和差的性质，从而完成求解； 根据题意，得，再由是直角，，得；最后通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点O在直线上，平分， ∴, ∵是直角， ∴， ∵， ∴, ∴； 故选：B． 3．若、、为的三边长，且满足，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用非负数的性质求出a,b的值,再根据三角形三边关系得到c的取值范围,即可判断选项； 【详解】解：∵ , , 且 ∴ , ， 解得 , ∵ , , 是的三边长 ∴ 根据三角形三边关系得 即 , 整理得 选项中只有满足 故选 C； 4．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过折叠的性质，通过比较与的大小，即可判断与的大小，从而求解． 【详解】解：、如图， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， ∴， ∴，不符合题意； 、由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， 无法确定与的大小，从而无法确定与的大小，符合题意． 5．已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法以及求绝对值的法则，解不等式要依据不等式的基本性质，通过分类讨论求绝对值是解题的关键． 首先解不等式，求得x的范围，即可根据x的范围去掉中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把系数化为1得：， 当时，， ， ∴， 当时， ， ， ∴的最小值为，最大值为， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 【答案】B 【分析】根据外角的性质，推出为定值，进行分析即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴当减少时，∠2增大. 7．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 8．如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中运算程序列出第次和第次运行结果满足的不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，运行第次结果满足，解得， 由于第次运行的结果为，则第次运行结果满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 9．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（   ）时，与平行．（   ） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 【答案】D 【分析】分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，， ∴，， 要使，则， 即， 解得； 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， 要使，则， 即， 解得， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∴，， 要使，则， 即， 解得， 此时， 而， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 10．如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定，对各个选项进行逐一推导和判断即可． 【详解】解：， ，，． 平分， ． ． ，故选项 B 正确； 平分， ． ，即． 又， ，即． ，无法推出，故选项 C 错误； ，且， ，故选项 A 正确； 平分， ． 在 中，． ， ． 又， ，故选项 D 正确． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 【答案】对顶角相等（答案不唯一） 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 12．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 【答案】8 【分析】证明，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，在中，，为的内部一点，，，分别与直线，，垂直，垂足分别为点，，．且，，，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积公式，连接、、，根据的面积的面积的面积的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接、、，如图所示： ， ∵，，，， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 14．如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 【答案】 【分析】过点作，可得，即得，又由平行线的推论得，得到，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为___________． 【答案】3 【分析】先求解不等式组，根据不等式组有解求出的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有整数解以及的取值范围确定满足条件的的值，据此求解即可． 【详解】解：不等式组 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：； 方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 分式方程有解， ∴，即时， ∴ ，即， ， ， ， 方程有整数解， 是2的因数， 2的因数有、， 当，即时，，是分式方程的增根，不符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，，此情况不符合题意， 综上所述，满足条件的所有整数的和为． 16．如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 【答案】 【分析】先作，连接，即可证明，进而说明，可得，再结合，可得答案． 【详解】证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵， ． ∵， ∴， ，． ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求完成下列各题： (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． (2)解一元一次不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去分母：， 移项：， 合并同类项系数化为1：， （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： 不等式组的解集表示在数轴上如图： 18．为落实教育部2026年人工智能进中小学部署，推进探究式科学教育、培养学生创新实践能力，某校计划采购甲、乙两类AI科学实验套装，为学生实践探究提供支撑．购买1件甲种实验器材与2件乙种实验器材共需220元，购买2件甲种实验器材与3件乙种实验器材共需370元． (1)求甲种实验器材和乙种实验器材的单价； (2)该校计划购买甲种实验器材和乙种实验器材共150件，总费用不超过11500元，那么最多能购买甲种实验器材多少件？ 【答案】(1)甲种实验器材单价为80元，乙种实验器材单价为70元 (2)最多能购买甲种实验器材100件 【分析】（1）设甲种实验器材单价为元，乙种实验器材单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种实验器材件，则购买乙种实验器材件，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种实验器材单价为元，乙种实验器材单价为元，　 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：甲种实验器材单价为80元，乙种实验器材单价为70元． （2）解：设购买甲种实验器材件，则购买乙种实验器材件，    根据题意，得， 解这个不等式，得． 答：最多能购买甲种实验器材100件． 19．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由得，，故； （2）由得，，故，因为，所以，故． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 20．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 21．如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的长为 (2)的度数为 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据的周长为进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ，， ． ∵的周长为， ， ； （2）解：在中，， ， ，， ，， ． ， 即的度数为． 22．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，即得，即得到，即可求证； （）作，设，则，，根据平行线的性质可得，，进而得到，即可求证； （）作，设，则，，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．在中，点是的边的中点． (1)如图1，连接，若，过点作交延长线于点，若，求； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长交延长线于．若，，求证：； (3)如图3，若平分，分别是上任意一点，若，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求解，，再进一步求解即可； （2）在上取一点，使得，连接，由题意可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）如图，过作于，交于，过作于，求解，证明，此时，此时值最小. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵点D是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于，交于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时，此时值最小， ∴的最小值为． 24．如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，与有什么数量关系，请说明你的理由； (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，．求的长． （温馨提示：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即在中，，若点为斜边中点，则） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明； （2）取的中点，连接、，分别证明和，根据全等三角形的性质证明； （3）取的中点，连接、、，根据（2）的结论得到，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下：取的中点，连接、， ，， ，， ∴为等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：取的中点，连接、、， 由（2）得， ， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得，， 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $