20.4+一次函数的应用（第1课时）课件 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数在实际问题中的应用，通过客车运营情境导入，以盈利=收入-成本建立函数关系，搭建从一次函数概念到实际建模的学习支架，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解—应用”的完整过程。 其亮点在于结合客车运营、台秤称重等真实情境，培养学生用数学眼光观察数量关系，通过待定系数法建模发展数学思维，以文字与图表问题提升数学语言表达能力。例题与即学即练结合，帮助学生掌握建模步骤，教师可借助结构化内容高效开展教学，提升学生解决实际问题的能力。

第二十章 一次函数 20.4 第1课时 实际问题中的函数图像及其应用 学 习 目 标 1 2 3 能够根据实际问题中的数量关系，建立一次函数（或正比例函数）模型，并运用待定系数法求出函数关系式 经历 “问题情境 — 建立模型 — 求解 — 解释与应用” 的过程，学会运用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题 学生通过解决生活中的实际问题，感受一次函数的广泛应用，体会数学建模的思想，增强用数学知识解决实际问题的意识和能力 情境导入 一辆客车，准乘20人(包括一名司机和一名乘务员).这辆客车有A地行驶到B地,运营总成本为180元，乘客票价为25元/人. 一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地行驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人. 1.设乘客人数为 x 时，客车运营盈利 y 元，求y与x之间的函数关系式. 获取新知 知识点 一次函数的应用——文字表述型 1 做一做 y=25x-180 一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地行驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人. 2.用求出的函数关系式，尝试解决下列问题： （1）当客车运营盈利120元时，求乘客人数. （2）要想使客车运营盈利超过170元，则乘客人数至少为多少？ (1) 当客车运营盈利120元时，有120=25x-180. 解得 x =12. (2) 要想使客车运营盈利超过170元，只要使25x-180>170即可. 解得 x >14.所以，乘客人数至少为15. 新知探究 问题探究一：客车运营中的一次函数 一辆客车，准乘20人(包括一名司机和一名乘务员).这辆客车由A地行驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人. 1.设乘客人数为x时，客车运营盈利y元，求y与x之间的函数关系式. 2.用求出的函数关系式，尝试解决下列问题: (1)当客车运营盈利120元时，求乘客人数. (2)要想使客车运营盈利超过170元，则乘客人数至少为多少? 解： (1)把代入到中，得 解得： 所以当客车运营盈利120元时，乘客人数为12人 (2)想让客车运营盈利超过170元，即 解得 所以乘客人数至少为15人 本题的核心是建模。通过分析实际问题中的收入与成本这两个关键量，利用盈利 = 收入—成本这一基本经济关系，将实际问题中的数量关系转化为一次函数表达式。这是用数学解决实际问题的第一步，即抽象化。 新知探究 一次函数建模的步骤 审题：提取实际问题中的变量，明确已知量与未知量 建模：根据数量关系，设出一次函数(或正比例函数)形式 求解：代入已知数据，求出，确定函数关系式 应用：利用函数关系式解决求值、不等式等实际问题 检验：验证结果是否符合实际意义(如人数、重量不能为负、需为整数) 一次函数是刻画线性变化的重要数学模型，本质是 “用函数关系表达变量规律，用代数方法解决实际问题”。我们要掌握从实际问题中抽象出数学模型，并运用模型进行分析、计算和决策的完整过程. 获取新知 做一做 （1）当客车运营盈利120元，求乘客人数. 1.设乘客人数为x时，客车运营盈利y元，求y与x之间的函数关系式. （2）要想使客车运营盈利超过170元，则乘客人数至少为多少？ y=25x-180 运营盈利= 运营收入-运营总成本 知识点 一次函数的应用——文字表述型 1 2.用求出的函数关系式,尝试解决下列问题； 方程：120=25x-180 解得 x=12 不等式：25x-180＞170 解得 x＞14 例1 一个长方形的长、宽分别为60和40.现将它的宽减少10， 长增加了x. 设变化后的长方形的面积为y. (1)写出y与x之间的函数关系式. (2)当x取何值时，变化后的长方形与原来的长方形的面积相等？ (3)当x取哪些值时，可以使变化后的长方形的面积比原来的长 方形面的2倍还要大？ 例题讲解 全品初中 解：(1)y＝30(60＋x)＝30x＋1 800(x>0)． (2)令30x＋1 800＝60×40，解得x＝20，即当x＝20时，变化后的长方形与原来的长方形的面积相等. (3)令30x＋1 800＞2×60×40，解得x＞100，即当x＞100时，可以使变化后的长方形的面积比原来的长方形面积的2倍还要大． 一起探究 如图，某种称量体重的台秤 ，最大称量是150 kg.称体重时，体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角y(°)有如下一些对应数值： x/kg 0 15 40 55 60 y/° 0 36 96 132 144 知识点 一次函数的应用——图表信息型 2 获取新知 (1)请你在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标.描点连线，画出图像. (2)求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. (3)当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？当体重为 50 kg时，台秤的指针转过的角度是多少？ x/kg 0 15 40 55 60 y/° 0 36 96 132 144 x y O 15 30 45 60 75 36 144 72 108 （2）由表格给出的数据可以看出，体重为0 kg时，台秤指针指向0°，每增加5千克，台秤的指针按顺时针方向旋转12度，所以y是x的正比例函数. （1）由这些对应值画出的函数图象如右图所示 (0≤x≤150) 新知探究 问题探究二：台秤中的函数 如图,某种称量体重的台秤,最大称量是150kg.称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角度y(°)有如下对应数据: (1)请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标,描点连线,画出图象. 新知探究 (2)求y与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围. (3)当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到的位置? 当体重为 50kg时,台秤的指针转过的角度是多少度? 问题探究二：台秤中的函数 (2)由表格给出的数据和图像可以看出,体重为0kg时,台秤指针指向0°, 每增加5kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°,所以y是x的正比例函数. 根据已知条件可得 . (3)当时,.解得. 当时, 即当体重为75kg时,台秤的指针恰好转180°的位置; 当体重为50kg 时,台秤的指针转过的角度是120°. 通过将表格中的数据转化为坐标系中的点，并观察这些点的分布规律（在一条过原点的直线上），直观地判断出两个变量之间存在正比例关系。图象法是研究函数性质和关系的重要直观手段。 利用已建立的正比例函数模型，将已知的函数值(自变量值)代入，求解对应的自变量(函数值)。这是对函数关系式的直接应用，用于计算在特定条件下的结果 例2 如图，在“探究物体浮力与浸入深度的关系”实验中，小刚用弹簧测力计悬挂一个圆柱体缓慢浸入盛水的容器中，已知该圆柱体的重力 为 ，高度为 ，小刚将弹簧测力计示数 与圆柱体浸入水中的深度 的数据记录如下表： 例题讲解 圆柱体浸入水中的深度 0 2 4 6 弹簧测力计示数 20 17 14 11 全品文教初中 （1）观察表中数据，推测弹簧测力计示数 与圆柱体浸入水中的深度 之间满足的函数关系是　 　 函数关系；（填“正比例”或“一次” ） （2）根据上述推测，求出弹簧测力计示数 与圆柱体浸入水中的深度 之间的函数解析式； （3）当弹簧测力计示数 时，求圆柱体浸入水中的深度 . 全品文教初中 （3）当 时， 解得 . 解：（1） 圆柱体浸入水中的深度逐渐增加，弹簧测力计示数逐渐减小， 估计弹簧测力计示数 与圆柱体浸入水中的深度 之间满足的函数关系是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设 ，把 代入得， ， ， ， 函数解析式为 ； 全品文教初中 1. 一个长方形的长、宽分别为60和40.现将它的宽减少10， 长增加了 x . 设变化后的长方形的面积为 y . (1)写出y与x之间的函数关系式. (2)当x取何值时，变化后的长方形与原来的长方形的面积相等？ (3)当x取哪些值时，可以使变化后的长方形的面积比原来的长 方形面积的2倍还要大？ 习题 全品初中 解：(1)y＝30(60＋x)＝30x＋1 800(x>0)． (2)当y＝60×40=2400时， 30x＋1 800＝2400， 解得x＝20， 即当x＝20时，变化后的长方形与原来的长方形的面积相等. (3)当y>60×40×2，即y>4800时， 30x＋1 800＞4800， 解得x＞100， 即当x＞100时，可以使变化后的长方形的面积比原来的长方形面积的2倍还要大． 即学即练 方法技巧 通过观察数据确定函数类型，进而用待定系数法求解得到函数关系式，用于描述实际问题. 在解决实际问题时，注意单位的一致性 某水库在春季播种前,向下游灌溉区开闸放水.放水量与放水时间之间有如下对应数据: (1)求V与t之间的函数关系式. (2)求放水24h的放水量. 解：(1)通过观察数据可知， V与t成正比例关系，设 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： (2)先进行单位换算： 将 代入 ，得： 所以放水 24 小时的放水量为 即学即练 某出版社出版了一种适合中学生阅读的科普书.当该书首次出版的印数不少于5千册时,该出版社投入的成本y(万元)与印数x(千册)之间为一次函数关系,并有如下对应数据: (1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)当出版社投入的成本为4.1万元时,能印该书多少千册? 解：(1)设 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： (2)将 代入 ，得： 解得： 所以当出版社投入的成本为4.1万元时,能印该书10千册 即学即练 方法技巧 1.用 x 表示变化后的长、宽 2.代入面积公式，得到 y 与 x 的函数式。 3.根据题意列方程（相等）或不等式（倍数）。 4.求解并检验边长为正的实际意义 一个长方形的长、宽分别为60和40.现将它的宽减少10,长增加x. 设变化后的长方形的面积为y. (1)写出y与x之间的函数关系式. (2)当x取何值时,变化后长方形的面积与原来长方形的面积相等? (3)当x取哪些值时,可以使变化后长方形的面积比原来长方形面积的2倍还要大? 解:(1)长方形面积=长×宽 所以 (2)原长方形面积为 把代入到中 得 解得 当时,变化后长方形的面积与原来长方形的面积相等 (3)根据题意得： 解得： 所以当 时，变化后面积比原来的 2 倍还大 体会 针对表格类题目： （1）学会读表：①看明白x与y之间的对应关系；②从中看出y对应x是“匀速”变化的，从而确定是一次函数． （２）可以借助待定系数法来确定一次函数的表达式． （３）一次函数表达式确定后，由自变量求其对应的函数值，就是“求代数式的值”；由函数值求对应到它的自变量的值，就是解方程． 全品文教初中 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 数学建模 待定系数法 课堂小结 一次函数的应用 已知x求y 已知y求x 已知y的范围求x范围 求代数式的值 解方程 解不等式 $