精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年高二下学期数学第五次单元考试卷6.9

泉州五中2027届高二下学期第五次单元考 2026.6.9 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ） A. B. 0 C. 32 D. 1 3. 已知随机变量，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 事件“”与事件“”相互独立 4. 下列大小关系中能使函数存在两个不同的零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 600 B. 288 C. 576 D. 以上答案均不对 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列说法正确的有（ ） A. 经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和4 D. 由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（ ） A. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C. 课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从二项分布.若，则______. 13. 三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 14. 一副扑克牌去掉大小王有52张，有红桃、方片、梅花、黑桃四种花色各13张，随机不放回地每次取出一张牌，直到将52张牌全部取出，记随机变量X为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，则______. 四、解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的值. 16. 根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续11年稳居全球首位.在国内市场渗透率持续提升的同时，出口规模实现翻倍增长，产业发展迈上新台阶．某新能源汽车企业记录了某款车型2025年1月至6月的月度销量（单位：万辆），数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 销量 3.0 3.4 3.7 4.0 4.1 4.0 为了预测未来销量，企业需要对销量数据的变化规律进行建模．“自回归”是一种利用变量自身过去的值来预测当前值的方法.它的基本思想是：如果一个变量存在“时间惯性”，即本期的数值与上一期的数值之间有较强的线性关系，那么就可以用上一期的销量来预测本期的销量．这种只依赖最近一期的模型称为一阶自回归模型，记作AR（1），其形式为：，其中：表示第个月的销量；表示第个月的销量；和是待定常数；是随机误差（代表模型无法解释的随机波动）．为了估计和，通常使用最小二乘法，即选择和使误差平方和达到最小． 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 参考数据：，，，，． （1）根据上述材料，构建该企业销量的一阶自回归模型，并利用六月的销量估计七月份的销量，结果保留一位小数． （2）该企业生产的车辆在上市前需要依次经过两轮测试，两轮测试都通过的车辆才能被判定为合格车辆．已知第一轮测试的通过率为，第二轮测试的通过率为，若某轮测试未通过，则该车辆即刻返厂调试，经过调试后可二次送检，二次送检时依然需依次经过两轮测试才能被判定为合格，且第一轮的通过率提升为，第二轮的通过率提升为，每一次测试的结果相互独立，每辆车的测试结果也相互独立．该企业现欲生产辆车，设测试合格的有辆，若以取得最大值时的作为实际生产的车辆数，求的值． 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 18. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； （2）市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 19. 已知函数，其导函数为，． （1）求n的值； （2）函数只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2027届高二下学期第五次单元考 2026.6.9 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以． 2. 在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ） A. B. 0 C. 32 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而得，再赋值计算即可得答案. 【详解】解：因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以，解得． 所以，令，可得展开式中各项系数的和为． 故选：C． 3. 已知随机变量，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 事件“”与事件“”相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】已知随机变量，则正态分布的均值，正态曲线关于对称，方差，逐个分析选项. 【详解】对于A，根据方差性质得，故A错误； 对于B，由对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由，又， 所以，故C正确； 对于D，记事件，即，事件， 则，且， 又，， 所以，故事件与相互独立，故D正确. 4. 下列大小关系中能使函数存在两个不同的零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点个数得出在上有两个不相等的实数根，再构造函数应用导函数求出最小值即可求解判断. 【详解】当时，因为函数存在两个零点，所以方程有两个不相等的实数根. 令，，， 所以当时，，函数在上单调递增， 时，，函数，在上单调递减； 所以方程有两个正的不相等的实数根， 且，所以， 当时，，当时，. 5. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可知命题“，”为真命题，整理得，利用乘“1”法结合基本不等式求其最小值，即可得结果. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 因为， 且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 6. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 7. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解． 【详解】设函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 故，即， 所以，即， 设函数，则， 所以在上单调递减，当时，， 故当时，， 即，所以， 设函数（令）， ， 当时，，故在上单调递增， 所以， 而， 所以， 综上所述，可得． 故选：A． 8. 如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 600 B. 288 C. 576 D. 以上答案均不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先排，，的方法，分与相同，与相同和既不同于又不同于，三种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可得，，分别有4，3，2种方法， （1）当与相同时，有1种方法，此时有2种， ①若与相同有有1种方法，同时有3种方法， ②若与不同，此时有2种方法， 共有：种方法； （2）当与相同时，有1种方法，此时讨论的3种方法， 共有种方法； （3）当既不同于又不同于时，有1种方法， 共有种方法， 由分类计数原理，可得共有种方法． 故选：A． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列说法正确的有（ ） A. 经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和4 D. 由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立 【答案】BC 【解析】 【分析】回归分析、残差计算、非线性回归转化及独立性检验的核心概念，结合各知识点逐一判断选项正误． 【详解】对于A，经验回归方程对应的经验回归直线经过样本中心，但不一定经过其样本数据点中的一个点，故A错误； 对于B，已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为，故B正确； 对于C，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，即，故C正确； 对于D，由两个分类变量，的成对样本数据计算得到， 依据的独立性检验，故判断不独立，故D错误． 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（ ） A. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C. 课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【解析】 【详解】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知不为奇函数，故A错误； 对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断， 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：当时，令， 因为，， 可知函数在内存在零点，即方程在内有根， 所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确； 对于选项D：若，则有： 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为， 所以方程有且仅有1个实数根，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从二项分布.若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的方差公式，其中，可得：.  根据方差的运算性质得，故，解得. 13. 三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】分为两种情况：老师甲和同学乙所在的站只有乙一位同学和老师甲和同学乙所在的站还有一位同学，按照分步乘法计数原理，先安排老师，后安排学生，计算各自的情况数并相乘可得结果. 【详解】根据题意，老师甲和同学乙必须去同一个补给站，分为两种情况： ①老师甲和同学乙所在的站只有乙一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生分成两组“2,1” ，分配到2个补给站，有种情况； 按照乘法原理有种安排方法， ②老师甲和同学乙所在的站还有一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生，先选1人到老师甲和同学乙所在的站，余下2人分配到2个补给站，有种情况； 则有种安排方法， 所以老师甲和同学乙必须去同一个补给站不同的安排方法有种安排方法. 14. 一副扑克牌去掉大小王有52张，有红桃、方片、梅花、黑桃四种花色各13张，随机不放回地每次取出一张牌，直到将52张牌全部取出，记随机变量X为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，可得，再利用期望公式可得，结合组合数定义及组合恒等式化简并计算即可得解. 【详解】设为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数， 张红桃的位置可能有种，前张中张红桃的位置可能有种， 故； 则， 由， ， 故 . 四、解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的值. 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】第一问通过求导计算切线斜率，结合点斜式求切线方程；第二问通过求导分析函数单调性、极值，结合函数趋势确定方程有两个实根时k的取值. 【小问1详解】 求导得 则，又， 故切线方程为：，化简得：. 【小问2详解】 令，解得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故极小值为，极大值为. 又，，又， 故仅当时，方程有两个不相等的实数根. 16. 根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续11年稳居全球首位.在国内市场渗透率持续提升的同时，出口规模实现翻倍增长，产业发展迈上新台阶．某新能源汽车企业记录了某款车型2025年1月至6月的月度销量（单位：万辆），数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 销量 3.0 3.4 3.7 4.0 4.1 4.0 为了预测未来销量，企业需要对销量数据的变化规律进行建模．“自回归”是一种利用变量自身过去的值来预测当前值的方法.它的基本思想是：如果一个变量存在“时间惯性”，即本期的数值与上一期的数值之间有较强的线性关系，那么就可以用上一期的销量来预测本期的销量．这种只依赖最近一期的模型称为一阶自回归模型，记作AR（1），其形式为：，其中：表示第个月的销量；表示第个月的销量；和是待定常数；是随机误差（代表模型无法解释的随机波动）．为了估计和，通常使用最小二乘法，即选择和使误差平方和达到最小． 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 参考数据：，，，，． （1）根据上述材料，构建该企业销量的一阶自回归模型，并利用六月的销量估计七月份的销量，结果保留一位小数． （2）该企业生产的车辆在上市前需要依次经过两轮测试，两轮测试都通过的车辆才能被判定为合格车辆．已知第一轮测试的通过率为，第二轮测试的通过率为，若某轮测试未通过，则该车辆即刻返厂调试，经过调试后可二次送检，二次送检时依然需依次经过两轮测试才能被判定为合格，且第一轮的通过率提升为，第二轮的通过率提升为，每一次测试的结果相互独立，每辆车的测试结果也相互独立．该企业现欲生产辆车，设测试合格的有辆，若以取得最大值时的作为实际生产的车辆数，求的值． 【答案】（1），4.1万辆 （2）或 【解析】 【分析】（1）设，，，根据公式分别计算即可求解经验回归方程，再将代入即可估计七月份的销量； （2）根据题意得出测试合格车辆，根据作商法列出不等式即可求解． 【小问1详解】 设，，， 则该企业销量的一阶自回归模型为， 则， 因为，， 所以，，， 则 ， 则， 所以， 将代入，， 所以利用六月的销量估计七月份的销量为4.1万辆． 【小问2详解】 由题可知，第一次送检两轮测试都通过的概率为，则， 第二次送检两轮测试都通过的概率为， 所以一辆车被判定为合格车辆的概率为， 由题可知，测试合格车辆， 则， 为使取得最大值，应有， 所以， 所以， 所以取得最大值时，或． 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间； （2）由（1）得的最小值为，解不等式即可． 【小问1详解】 函数的定义域为. 对求导得. 当时，在上，，，，所以，则在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，，，所以，在上单调递减； 当时，，，，所以，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， ， 因为恒成立，所以，即， 移项可得，因为，两边同时除以a得， 令，，对求导得，所以在上单调递增， 又因为，所以即，根据单调性可知， 故实数a的取值范围. 18. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； （2）市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1） （2）①，证明见解析 ；②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望； （2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断. 【小问1详解】 ， 因为服从正态分布， 所以． 所以，所以的数学期望为． 【小问2详解】 ①棋子开始在第格为必然事件，． 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即． 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列． ②由①知，，，，， 以上各式相加，得， 所以． 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为． ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率． 19. 已知函数，其导函数为，． （1）求n的值； （2）函数只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据已知得、，化简整理即可求； （2）根据已知有，利用分类讨论及导数研究其极值点求参数范围； （3）问题化为研究恒成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得. 【小问1详解】 由题设， ，， ，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 因为，所以， 则，， 当时，，则在上单调递增，所以函数不存在极值； 当时，令，即，得， 令，则恒成立，则在上单调递增， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数在上单调递减， 当时，，即，所以函数在上单调递增， 所以仅在处取到极小值，符合题意. 综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为； 【小问3详解】 令，则， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，则，即， 由，则，即， 令，则， 因为，故，所以，即，故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $