精品解析：福建省福州高级中学2025-2026学年高二6月适应性考试（学考模拟+综合能力测试）数学试题

福州高级中学2025-2026学年高二6月适应性考试 数学试卷 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷（学考模拟测试 满分100分） 一、单选题：本题共有19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： 命题“，”的否定为“，” 故选：B. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题写出复数的共轭复数，利用复数的乘法计算即得. 【详解】. 故选：C. 3. （ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：B 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 6. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可. 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立； 反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 7. 已知函数为幂函数，则实数m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数定义可知，由此求得结果. 【详解】因为为幂函数，所以， 解得或， 故选：B. 8. 函数的最小正周期为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D 9. 已知，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以， 故选：C. 10. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心角算出弧长，再由扇形面积公式算出扇形面积，在作差得出扇环的面积. 【详解】，弧长为，∴， 又∵，∴扇环的面积为， 故选：A. 11. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为0. 故答案为：B. 12. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数和在上单调递增两个条件，逐个分析选项. 【详解】选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误； 选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误； 选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误； 选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确. 13. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判别式知函数对应方程无解，据此可得不等式的解集. 【详解】由不等式可化为， 由， 所以的解集为空集， 故选：D 14. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ） A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 15. 若，且满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果. 【详解】当时，，A选项错误； 当，时，，，，B选项错误； ∵且，∴，C选项正确； 当时，，D选项正确. 故选：C. 16. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（ ） A. 72 B. 54 C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】求出，三棱锥的高为6，利用锥体体积公式求出答案. 【详解】正方体中，棱长为6， 故， 又三棱锥的高为6， 故. 故选：C 17. 设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，进行求解即可. 【详解】因为若在上单调递增，且，可得， 即，解得，即a的取值范围为. 故选：. 18. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ） （参考数据：） A. 120 B. 150 C. 170 D. 180 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值. 【详解】由及余弦定理得， 由两边平方得： 即 ，整理得： ​ ，解得，当且仅当时取等号， 又因为，所以三角形面积最大值为. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 20. 设向量、满足，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接由向量数量积定义、运算律即可求解. 【详解】. 故答案为：. 21. 关于的不等式的解集为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，进而求得. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 22. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________． 【答案】21 【解析】 【分析】根据百分位的计算求解即可. 【详解】因为， 所以分位数是第4、5个数据的平均数， 所以，解得. 故答案为： 23. 已知，则满足的的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解法1：利用图象分析求解即可；解法2：利用三倍角公式分析求解即可；解法3：利用两角和差余弦公式分析求解即可. 【详解】解法1：画出和的函数图象，如图所示： 由图可知：的解集为. 解法2：因为， 所以， 当时，，所以，即或，舍去. 当时，，所以，即，恒成立. 所以的解集为. 解法3：由题：， 展开得到：， 所以， 当时，，则，解得：， 当时，，则，解得：. 所以的解集为. 三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）； （2）现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率． 【答案】（1），平均数为72分 ，中位数为 分 （2） 【解析】 【分析】（1）利用个小矩形面积之和为1求解，再利用平均数和中位数的公式求解即可； （2）先求出每个区间抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 ，解得， 平均数为， 中位数为 分； 【小问2详解】 在[ 50，60）中抽取人，记为； 在[ 70，80）中抽取人，记为. 所有的取法为：共15种. ，满足条件的有共8种. 所求概率为. 25. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）的最小正周期，令，，解不等式可求出函数的单调递增区间； （2）由，求出，结合正弦函数的性质即可求出函数的值域． 【小问1详解】 的最小正周期， 令，，解得，， 故单调递增区间为，； 【小问2详解】 由，可得，故， ，故函数值域为 26. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. （2）将有两个不相等的实根转化为有两个不相等的实根，结合对数函数的性质得到，令，则化为与有两个不同的交点，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 第Ⅱ卷（综合能力测试 满分50分） 四、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 27. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 的零点构成的集合是 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】利用周期定义判断A；根据判断B；化简解析式，然后直接求出所有零点判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对A，因为， 所以不能恒成立，所以不是的最小正周期，错误； 对B，因为 ， 所以的图象关于点中心对称，正确； 对C， . 令得或（舍去）， 解得，即的零点构成的集合为，正确； 对D，因为，， 所以，所以在区间上不单调递减，错误. 28. 一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品.现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意：：第一次取乙类品， ：第二次取乙类品（抽签原理，不放回先后概率相等）， ：两件中至少1件乙类品，对立事件全是甲类，  ：两次都取乙类品，逐个判断选项. 【详解】选项A，，二者相等A错误； 选项B，左边：右边：， ，不等式成立B正确； 选项C，条件概率公式：， 发生则一定发生，故；同理， ， 又，所以二者条件概率相等C正确； 选项D，事件就是（至少一次抽到乙类），根据概率加法公式： ， 代入验证：，D正确. 29. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 曲线在处的切线与的图象有两个交点 D. 若两个不等的正数，满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：求导判定在上的单调性，结合自变量与的大小关系比较函数值.选项B：通过导数得到的单调区间与特殊点函数值，将函数不等式转化为自变量范围求解.选项C：利用导数求出切线方程，联立切线与函数解析式，因式分解后判断交点个数.选项D：依据在的单调性，构造，通过代数变形推导的取值范围. 【详解】由题意得，， 对于A，当时，，所以在上单调递增， 又，所以，故A正确； 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 因为，所以，所以， 所以解集为，且，故B错误； 对于C，易得曲线在处的切线方程为， 联立与可得，即，得， 故切线与的图象只有一个交点，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，且， 不妨设，则， 则， 又，且在上单调递增， 所以，所以，即，故D正确. 综上，选AD. 五、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分． 30. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________． 【答案】248 【解析】 【分析】由抽象函数变形为和，再利用奇数项和偶数项的关系求和. 【详解】① 因为是偶函数，所以， 用替换x，得，条件化为②， 所以，①+②得，在②中用替换x，得③，则①-③得， 则，， 在①中令，可得，所以． 在中令，得， 又，所以，再由知． 所以． 故答案为：248 六、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 31. 某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. （1）从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； （2）若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 【答案】（1） （2）应选方案Ⅱ，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式和条件概率公式求解. （2）对于方案Ⅰ，求出，设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为，得到服从二项分布，即，利用二项分布的公式求出.得到的大小，从而得到结论. 【小问1详解】 由题可知，，， 所以， 由全概率公式可得：， 所以. 【小问2详解】 对于方案Ⅰ，总提升值为确定值，故. 设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为， 由题可知，服从二项分布，即， 所以. 又因为， 所以， 因为， 所以根据期望学习效果提升值最大化的标准，学校应选方案Ⅱ. 32. 已知函数，， ． （1）求证：函数的图像是轴对称图形； （2）当 时，求函数的最大值； （3）若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求 得函数为偶函数，得证； （2）求导，得到函数极值点，根据单调性求出最大值； （3）分 和 两类讨论，当 时利用导数直接求出单调区间； 时，令，利用导数和极限分析，求出函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意：， 所以函数是偶函数， 所以函数关于y轴对称，函数的图像是轴对称图形． 【小问2详解】 当 时，，由于是偶函数，所以只需考虑在区间上的最大值， 又 ， ， 设，则 ， 所以在区间上单调递减，当时， ， 所以在单调递减，由是偶函数，所以在单调递增， 所以 ． 【小问3详解】 类似（2）可知： ， 当 时， ，所以在区间单调递减， 当时， ，所以在单调递减，由是偶函数， 所以在单调递增； 另一方面，当 时，设 ，，， ，所以在单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递减， ，当，时， ， 所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减， 且 ， ，当，时， ， 所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减， 由于是偶函数，所以在有四个不同的单调区间，不满足题意， 综上所述，实数a的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025-2026学年高二6月适应性考试 数学试卷 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷（学考模拟测试 满分100分） 一、单选题：本题共有19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. （ ） A. 4 B. C. D. 2 4. （ ） A. B. C. D. 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 6. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数为幂函数，则实数m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 函数的最小正周期为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9. 已知，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 10. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 11. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 12. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 13. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 14. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ） A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 15. 若，且满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（ ） A. 72 B. 54 C. 36 D. 18 17. 设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ). A. B. C. D. 18. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ） （参考数据：） A. 120 B. 150 C. 170 D. 180 19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 20. 设向量、满足，，，则______. 21. 关于的不等式的解集为，则__________． 22. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________． 23. 已知，则满足的的取值范围为______. 三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）； （2）现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率． 25. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求函数的值域． 26. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，求的取值范围． 第Ⅱ卷（综合能力测试 满分50分） 四、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 27. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 的零点构成的集合是 D. 在区间上单调递减 28. 一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品.现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 29. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 曲线在处的切线与的图象有两个交点 D. 若两个不等的正数，满足，则 五、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分． 30. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________． 六、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 31. 某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. （1）从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； （2）若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 32. 已知函数，， ． （1）求证：函数的图像是轴对称图形； （2）当 时，求函数的最大值； （3）若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $