2025-2026学年沪科版数学八年级下册暑期巩固 专题7矩形、菱形、正方形

**基本信息** 分层覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，从基础计算到综合应用，梯度清晰，适配暑期巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一图形性质（求角、边长）|选择填空为主，如矩形性质求角的度数| |中档|性质与变换结合（翻折、对角线）|解答题为主，如矩形翻折变换问题| |综合|多知识点综合（判定、坐标系应用）|综合解答题，如正方形性质与判定综合运用|

沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题7矩形、菱形、正方形 目录 根据矩形性质求角的度数 2 根据矩形的性质求边长 3 矩形的翻折变换问题 4 添加条件判断是否为矩形 5 根据给出的条件判断是否为矩形 6 矩形的性质和判定的综合运用 7 根据直角三角形的性质求边 8 根据直角三角形的性质求角 9 根据菱形的性质求线段长 10 根据菱形的性质求面积 11 根据菱形的性质求角的度数 12 坐标系中的菱形问题 13 菱形的对角线 15 添加条件使四边形为菱形 16 菱形性质和判定的综合 17 根据正方形的性质求线段长 19 根据正方形的性质求角的度数 20 坐标系中的正方形 22 正方形性质的综合运用 24 正方形的对角线 25 正方形的判定 26 正方形性质和判定的综合 27 根据矩形性质求角的度数 1、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝15°，那么∠ABD的度数是（　　） A.30° B.60° C.70° D.75° 2、如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为 　 　． 4、如图，矩形ABCD中，过C作CF⊥BD于F，延长FC至G，CG＝BD，连AG交CD于E，∠AED的度数是多少？ 根据矩形的性质求边长 1、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） A.3 B.4 C. D.5 2、矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　） A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm 3、如图，矩形中，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是          ．    4、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长． 5、如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长．    矩形的翻折变换问题 1、如图在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为（　　） A. B. C.21 D.24 2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 3、如图，点P在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠时，顶点B与边上的点Q重合． （1）若，，则       ； （2）若点Q恰好是的中点，则的值为       ． 4、在长方形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．若∠BEC＝72°，则∠DFE＝　  　． 5、把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由． 添加条件判断是否为矩形 1、在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（   ） A.若，则为矩形 B.若平分，则为菱形 C.若，则为菱形 D.若，则为正方形 2、在中，对角线相交于点，若添加一个条件，使得为矩形，该条件是（    ） A. B. C. D. 3、如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．请你再添加一个适当的条件：　         　，使四边形AFDE为矩形． 4、如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　       　.（填一个即可） 根据给出的条件判断是否为矩形 1、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A.AC＝BD B.AB⊥BC C.OA＝OB＝OC＝OD D.AC⊥BD 2、在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD 3、如图，在平行四边形ABCD中，M是BC中点，且∠1＝∠2，求证：平行四边形ABCD是矩形． 4、如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE．求证：AB＝EF，且四边形AEBF是矩形． 矩形的性质和判定的综合运用 1、在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　） A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5 2、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A.3 B. C. D.4 3、如图，中，，点是边上的动点，过点作，，则的最小值是（    ）    A. B. C. D. 4、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　． 5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，那么EF＝DC吗？试说明理由． 根据直角三角形的性质求边 1、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 2、在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为（　　） A.3 B.3 C.6 D.6 3、如图，在四边形中ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 　　． 4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是AB边的中点，△BCD的周长是18，则AB的长是多少？ 5、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 根据直角三角形的性质求角 1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　） A.30° B.45° C.50° D.60° 2、如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（　　） A.44° B.46° C.56° D.67° 3、在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝ANBC，则∠MPN的度数为 　  　． 4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　  　． 5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若∠B＝33°，求∠ACD的度数． 根据菱形的性质求线段长 1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　） A. B. C. D. 2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A.12 B.16 C.4 D.24 3、若一菱形的两条对角线为，则这个菱形的周长是            ． 4、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是    　． 5、如图，已知M，N分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，且DM＝BN． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）当CN＝10，∠BAC＝90°，且四边形AMCN是菱形时，求BN的长． 根据菱形的性质求面积 1、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为（　　） A. B. C.32cm2 D.16cm2 2、小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C.a2 D. 3、已知菱形的两条对角线长分别是和，则该菱形的高是（　） A. B. C. D. 4、如图所示，正方形的面积为18，菱形的面积为6，则菱形的边长为        ． 5、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 根据菱形的性质求角的度数 1、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A.35° B.30° C.25° D.20° 2、如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（　　） A.72° B.54° C.50° D.48° 3、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，BC的垂直平分线EF交对角线BD于点F．连接AF，则∠DAF的度数为　   　． 4、如图，在菱形ABCD中，过点A向对边CD作垂线，垂足为E，且AE平分CD，求菱形各角的度数． 坐标系中的菱形问题 1、在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　） A.（﹣4，5） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D.（﹣4，5）或（﹣4，﹣2） 2、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 3、如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，﹣3），B（4，0），则点C的坐标为 　   　． 4、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣4），顶点A、B分别在第二、三象限，AB交x轴负半轴于点D，∠B＝120°，求顶点A的坐标． 5、如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒． (1)求点C的坐标． (2)当时，求的面积． (3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 菱形的对角线 1、如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，在菱形中，，连接，E是上一点，且，连接，则（ ）       A.      B.      C.      D. 3、如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点 于点 ，连接 ．则 的度数是（ ） A.      B.      C.      D. 4、如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是     5、如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为           ． 6、如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，，过点A作于点H，连接，求的长． 添加条件使四边形为菱形 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（    ） A.AB＝CD B.AB⊥BC C.AC＝BD D.AC⊥BD 2、关于的叙述，正确的是（    ） A.若，则是菱形 B.若，则是菱形 C.若，则是正方形 D.若，则是矩形 3、如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　        　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 4、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E、F分别为AC上的两点，AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF． （1）求证：BF＝DE． （2）对△ABC添加一个条件 　        　，使四边形BEDF是菱形，并说明理由． 菱形性质和判定的综合 1、如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A.， B. C.， D. 2、如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　） A. B.8 C. D. 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A. B. C.40 D.24 4、如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是　         　． 5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 　     　． 6、如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 根据正方形的性质求线段长 1、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（   ）． A. B.2 C. D. 2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A.2.5 B. C. D.2 3、如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为       ． 4、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　             　． 5、如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 根据正方形的性质求角的度数 1、如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A. B. C. D. 2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 3、如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　） A.65° B.70° C.60° D.80° 4、如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为 　      　． 5、已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数． 坐标系中的正方形 1、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（﹣1，） D.（1，） 2、如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　） A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2） 3、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1） 4、如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD边长为1个单位长度，若BC∥x轴，且点A的坐标是（2，2），则点C的坐标为 　        　． 5、正方形，按如图的方式放置，和点分别在直线和轴上，则点的坐标是              ．    6、平面直角坐标系中，A（﹣1，3），C（2，﹣1），则以AC为对角线的正方形ABCD的顶点B、D坐标分别为多少？ 7、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，求点C的坐标． 正方形性质的综合运用 1、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　） A.长度为2的线段 B.边长为2的等边三角形 C.斜边为2的直角三角形 D.面积为4的菱形 2、如图，E，F为正方形ABCD边BC，CD的中点，连接AE，BF交于点P．有如下结论：①AE＝BF，②AP＝FP，③AE⊥BF，④S△ABP＝S四边形PECF，其中成立的是（　　） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 3、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 4、在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 　       　． 5、已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN． 正方形的对角线 1、如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A.2    B.      C.      D. 2、如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（ ） A.3    B.6    C.      D. 3、如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使点A的对应点满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是        ． 4、如图，点P在正方形内，连接，若，，则        ． 5、如图，在正方形中，延长到点，使．连接，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 正方形的判定 1、下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 2、如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 3、正方形判定：有一个角是直角的　     　是正方形． 4、有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 　     　（填“对”或“不对”）． 5、如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 正方形性质和判定的综合 1、如图，在四边形CDEF中，∠C＝∠D＝90°，CF+DE＝CD＝4，G为DE的中点，点H在EF上，且，连接GH，则GH的长为 　             　． 2、如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为     ． 3、如图，已知正方形ABCD，点E在对角线AC上，连接DE，作EF⊥DE，EF交BC边于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG． （1）判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． （2）若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数． 4、已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形． 沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题7矩形、菱形、正方形（参考答案） 根据矩形性质求角的度数 1、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝15°，那么∠ABD的度数是（　　） A.30° B.60° C.70° D.75° 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠E＝15°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠ADB＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝2∠E＝30°， ∴∠ABD＝60°， 故选：B． 2、如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵ ∴ 故选：B 3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为 　 　． 【答案】28°． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝124°， ∴， ∵DE⊥AC， ∴∠CDE＝90°﹣∠OCD＝28°， 故答案为：28°． 4、如图，矩形ABCD中，过C作CF⊥BD于F，延长FC至G，CG＝BD，连AG交CD于E，∠AED的度数是多少？ 【答案】解：过A点作AM⊥BD， ∵CF⊥BD， ∴CF∥AM， ∴∠G＝∠MAE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OC＝OD，∠OCD＝∠ODC， ∵CG＝BD， ∴CG＝AC， ∴∠G＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠MAE， ∵∠AOD+∠MAO＝90°， ∴2∠OCD+2∠EAC＝90°， ∴∠OCD+∠EAC＝45°， ∴∠AED＝45°． 根据矩形的性质求边长 1、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） A.3 B.4 C. D.5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8， ∴， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4， 故选：B． 2、矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　） A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm 【答案】D 【解析】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°， 根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°， 所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm得到，24＝2AB+2×2AB， 解得AB＝4cm．故选D． 3、如图，矩形中，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是          ．    【答案】 【解析】解：以直线为轴，将往上翻转，如图，    过点A作于点，交于点． 当与点重合，与点重合时． 最短（直线外一点到这条近线中垂线段最短）． 矩形中，， 又 为等边三角形，且， 故答案为． 4、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长． 【答案】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90° ∵EF⊥CE ∴∠CEF＝90° ∴∠CED+∠AEF＝90° ∵∠CED+∠DCE＝90° ∴∠DCE＝∠AEF ∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF ∴△AEF≌△DCE ∴AE＝DC 由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2 ∴2AE＝6 ∴AE＝3 5、如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长．    【答案】解：如图，连接，    ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得，即， ∴． 矩形的翻折变换问题 1、如图在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为（　　） A. B. C.21 D.24 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∵矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处， ∴∠DBC＝∠DBE， ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠EBD， ∴EB＝ED， 设ED＝x，则EB＝x，AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，∵AB2+AE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， ∴DE， ∴△BDE的面积AB•DE6． 故选：A． 2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 【答案】C 【解析】由折叠可知，∠DEF＝∠D'EF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝65°， ∴∠AED'＝180°﹣∠DEF﹣∠EFB＝50°， 故选：C． 3、如图，点P在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠时，顶点B与边上的点Q重合． （1）若，，则       ； （2）若点Q恰好是的中点，则的值为       ． 【答案】 8 / 【解析】解：（1）由折叠的性质可知， ， 四边形是长方形， ，， ， ， ， 故答案为：8； （2）由折叠的性质可知， ， 点Q是的中点， ， 在中，， ， ， ， 故答案为： 4、在长方形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．若∠BEC＝72°，则∠DFE＝　  　． 【答案】54°． 【解析】∵将△BCE沿BE翻折，点C恰好落在AD边上点F处， ∴点F与点C关于直线BE对称， ∴BE垂直平分CF， ∴FE＝CE， ∴∠BEF＝∠BEC＝72°， ∴∠DEF＝180°﹣∠BEF﹣∠BEC＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54°． 5、把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由． 【答案】解：∠1＝∠2，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CF∥BD， ∴∠1＝∠CBA'， ∵将长方形折叠， ∴∠CBA'＝∠2， ∴∠1＝∠2． 添加条件判断是否为矩形 1、在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（   ） A.若，则为矩形 B.若平分，则为菱形 C.若，则为菱形 D.若，则为正方形 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ， A、时，，则平行四边形为矩形，故本选项不符合题意； B、平分时，，，所以平行四边形为菱形，故本选项不符合题意； C、选项中，不能得出为菱形，故本选项符合题意； D、时，，且，所以平行四边形为正方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2、在中，对角线相交于点，若添加一个条件，使得为矩形，该条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A.添加可得为矩形，符合题意； B.添加可得为菱形，不符合题意； C.添加无法得到为矩形，不符合题意； D.添加可得为菱形，不符合题意； 故选：A． 3、如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．请你再添加一个适当的条件：　         　，使四边形AFDE为矩形． 【答案】∠A＝90°（答案不唯一）． 【解析】添加条件∠A＝90°， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴平行四边形AFDE是矩形； 故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）． 4、如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　       　.（填一个即可） 【答案】∠EAF＝90°． 【解析】添加∠EAF＝90°使得四边形AECF是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵∠EAF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠EAF＝90°． 根据给出的条件判断是否为矩形 1、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A.AC＝BD B.AB⊥BC C.OA＝OB＝OC＝OD D.AC⊥BD 【答案】D 【解析】解：如图 A．∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意； B．∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； C．∵AO＝OB＝OC＝OD， ∵AC＝BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意； 故选：D． 2、在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD 【答案】C 【解析】A．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3、如图，在平行四边形ABCD中，M是BC中点，且∠1＝∠2，求证：平行四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠1＝∠AMB，∠2＝∠DMC， ∵∠1＝∠2， ∴∠AMB＝∠DMC，AM＝DM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠B＝∠C， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 4、如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE．求证：AB＝EF，且四边形AEBF是矩形． 【答案】证明：∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点， ∴AF＝BD，∠CBD＝30°， ∵△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°， ∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝∠AFB＝90°， 在△ABF和△EFB中， ， ∴△ABF≌△EFB（SAS）， ∴AB＝EF， ∵∠AFB＝∠EBF＝90°， ∴AF∥BE， 又∵AF＝BE， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵AB＝EF， ∴四边形AEBF是矩形， 故AB＝EF，且四边形AEBF是矩形． 矩形的性质和判定的综合运用 1、在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　） A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5 【答案】A 【解析】过C作DH的垂线CE交DH于E， ∵DH⊥AB，CB⊥AB， ∴CB∥DH又CE⊥DH， ∴四边形BCEH是矩形． ∴HE＝BC＝2，在Rt△AHD中，∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， 又∵∠ADC＝90° ∴∠CDE＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∴在Rt△CED中，DECD＝5.5， ∴DH＝2+5.5＝7.5． 故选：A． 2、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A.3 B. C. D.4 【答案】C 【解析】∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD， ∴CE， 故选：C． 3、如图，中，，点是边上的动点，过点作，，则的最小值是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，连接．    ∵在中，， ∴． 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵的最小值即为斜边上的高， ∴，即， ∴的最小值为 故选B． 4、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　． 【答案】8． 【解析】∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝2OD＝16， ∴OD＝8， 故答案为：8． 5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，那么EF＝DC吗？试说明理由． 【答案】解：EF＝DC， 理由如下： ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴DC＝AD＝DBAB， ∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC， ∴DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形ECFD是矩形， ∴EF＝DC． 根据直角三角形的性质求边 1、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ，，， ， ， 为中点， ， ，， 四边形是矩形， 连接，则， ， 当最小时，最小， 垂线段最短， 当时，最小， 此时，即：， ， 的最小值为， 故选：D． 2、在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为（　　） A.3 B.3 C.6 D.6 【答案】B 【解析】解：∵，，∠BAC=90°， ∴， ∴， 故选B． 3、如图，在四边形中ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 　　． 【答案】． 【解析】连接BE，DE，如图所示： ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点， ∴BEAC，DEAC， ∵AC＝6， ∴BE＝DE＝3， 过点E作EF′⊥BD于点F′， 则点F′是线段BD的中点， ∵BD＝4， ∴BF′＝2， 根据勾股定理，得EF′， ∴线段EF的最小值为， 故答案为：． 4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是AB边的中点，△BCD的周长是18，则AB的长是多少？ 【答案】解：∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∵BC＝5，△BCD的周长是BD+BC+CD＝18， ∴2BD+5＝18，则BD＝6.5， ∴AB＝13． 5、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 【答案】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵E是AC的中点，DE＝4， ∴AC＝2DE＝8， 由勾股定理得：CD4， ∵AB＝10，AD＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝6， ∴BC2． 根据直角三角形的性质求角 1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　） A.30° B.45° C.50° D.60° 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC的中线， ∴CDAB＝AD＝DB， ∴∠B＝∠DCB， ∵∠CDA＝∠B+∠DCB＝120°， ∴∠B＝60°． 故选：D． 2、如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（　　） A.44° B.46° C.56° D.67° 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，点D恰好为AB的中点， ∴CD＝BDAB， ∴∠1＝∠DCB＝23°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝67°， 故选：D． 3、在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝ANBC，则∠MPN的度数为 　  　． 【答案】45°． 【解析】连接PA并延长到点D， ∵∠BAC＝90°，P是BC的中点， ∴APBC， ∵AM＝ANBC， ∴AM＝AP，AN＝AP， ∴∠M＝∠APM，∠N＝∠APN， ∵∠DAM＝∠M+∠APM，∠DAN＝∠N+∠APN， ∴∠DAM＝2∠APM，∠DAN＝2∠APN， ∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN ＝2∠APM+2∠APN ＝2（∠APM+∠APN） ＝2∠MPN， ∵∠MAN＝∠BAC＝90°， ∴∠MPN∠MAN＝45°， 故答案为：45°． 4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　  　． 【答案】15°． 【解析】连接DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点， ∴DEAC，BEAC，AE＝CE＝DE，AE＝BE＝CE， ∴DE＝BE， ∵∠DAC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°， ∴∠DEC＝∠ADE+∠DAC＝90°，∠BEC＝∠BAC+∠EBA＝60°， ∴∠DBE＝∠EDB（180°﹣∠DEB）（180°﹣90°﹣60°）＝15°， 故答案为：15°． 5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若∠B＝33°，求∠ACD的度数． 【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴， ∴∠DCB＝∠B＝33°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝57°． 根据菱形的性质求线段长 1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AC⊥BD，OA＝OC＝4， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∴AE5， ∴BE＝AE＝5， ∴OB＝BE+OE＝5+3＝8， ∴AB4， ∴CD＝4， ∵点F为CD的中点，∠COD＝90°， ∴OFCD＝2， 故选：B． 2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A.12 B.16 C.4 D.24 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OD＝OBBD＝3，OA＝OC， ∵AE⊥DC， ∴∠AEC＝90°， 而OA＝OC， ∴OA＝OC＝OE， 在Rt△OCD中，CD4， ∴菱形的周长为4×4＝16． 故选：B． 3、若一菱形的两条对角线为，则这个菱形的周长是            ． 【答案】10 【解析】解：如图， 四边形是菱形， ，，，， ，， ，， ， 菱形的周长， 故答案为：10． 4、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是    　． 【答案】2． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，AB＝4， ∴AB＝BC＝4， ∵AE垂直平分BC， ∴BEBCAB＝2， 由勾股定理得，AE2， 故答案为：2． 5、如图，已知M，N分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，且DM＝BN． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）当CN＝10，∠BAC＝90°，且四边形AMCN是菱形时，求BN的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC， 又DM＝BN， ∴AD﹣DM＝CB﹣BN， 即AM＝CN， ∵AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形； （2）解：∵四边形AMCN是菱形， ∴AN＝CN， ∴∠NAC＝∠NCA， 又∠BAC＝90°，即∠BAN+∠NAC＝∠NCA+∠B＝90°， ∴∠BAN＝∠B， ∴AN＝BN， ∴AN＝BN＝CN， ∴BN＝10． 根据菱形的性质求面积 1、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为（　　） A. B. C.32cm2 D.16cm2 【答案】A 【解析】 如图，菱形ABCD中，∠ADC＝120°， 连接BD，过D作DH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，AD＝AB， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠ADC﹣120°， ∴∠A＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∵DH⊥AB， ∴AHAB， ∵菱形的周长是32cm， ∴AB32＝8（cm）， ∴AH＝4cm， ∴DH4cm， ∴菱形的面积＝AB•DH＝32cm2． 故选：A． 2、小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C.a2 D. 【答案】B 【解析】 过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 故选：B． 3、已知菱形的两条对角线长分别是和，则该菱形的高是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图：菱形ABCD，AC=8，BD=6， ∴OA=AC=4，OD=BD=3， 菱形的面积为：，菱形的边长为：， 菱形的高为：． 故选：D． ． 4、如图所示，正方形的面积为18，菱形的面积为6，则菱形的边长为        ． 【答案】 【解析】解：连接AC，EF，如下图所示 ∵正方形ABCD的面积为18 ∴AD＝，AD＝CD，∠D＝90° ∴在Rt△ACD中，由勾股定理可知： AC＝×＝6 ∵菱形AECF的面积为6 ∴×EF×AC＝6 解得EF＝＝2 ∴菱形的边长＝＝＝ 故答案为：． 5、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC， 又∴∠ABC＝60°， ∴， ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB＝2cm， ∴， ∴， ∴AC＝2OA＝2cm，； （2）． 根据菱形的性质求角的度数 1、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A.35° B.30° C.25° D.20° 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=65°． ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=65°． ∴∠OED=90°-65°=25°． 故选：C． 2、如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（　　） A.72° B.54° C.50° D.48° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，CD∥AB， ∵DE＝AD，∠ADE＝36°， ∴DE＝CD，∠A＝∠DEA（180°﹣36°）＝72°， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA＝72°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE（180°﹣72°）＝54°， 故选：B． 3、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，BC的垂直平分线EF交对角线BD于点F．连接AF，则∠DAF的度数为　   　． 【答案】120° 【解析】连接FC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是轴对称图形， ∴∠DAF＝∠CFD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∠DBC∠ABC， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BCD＝140°，∠FBC＝20°， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB＝20°， ∴∠FCD＝120°， ∴∠DAF＝120°， 故答案为：120°． 4、如图，在菱形ABCD中，过点A向对边CD作垂线，垂足为E，且AE平分CD，求菱形各角的度数． 【答案】解：连接AC． ∵AE⊥CD，且AE平分CD， ∴AD＝AC． ∵在菱形ABCD中，AD＝DC， ∴DC＝AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°，∠DAB＝∠BCD＝120°． 坐标系中的菱形问题 1、在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　） A.（﹣4，5） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D.（﹣4，5）或（﹣4，﹣2） 【答案】C 【解析】如图， ∵A（﹣4，0），B（0，3），点B，C在y轴上， ∴OA＝4，OB＝3， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC， ∵0+5＝5，0﹣5＝﹣5， ∴D点的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣4，5）， 故选：C． 2、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0）， ∴OB＝2，OA＝4， ∴AB2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝2，AD∥BC， ∴点D坐标为（2，4）， 故选：A． 3、如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，﹣3），B（4，0），则点C的坐标为 　   　． 【答案】（4，5）． 【解析】∵A（0，﹣3），B（4，0）， ∴AO＝3，BO＝4， ∴AB5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝5，BC∥AD， ∴点C（4，5）， 故答案为：（4，5）． 4、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣4），顶点A、B分别在第二、三象限，AB交x轴负半轴于点D，∠B＝120°，求顶点A的坐标． 【答案】解：∵四边形OABC是菱形，点C的坐标为（0，﹣4）， ∴OA＝OC＝4，AO∥BO， ∵∠B＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠AOD＝30°， ∴， 在Rt△AOD中，AD2+DO2＝AO2， ∴， ∵点A在第二象限， ∴A的坐标为． 5、如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒． (1)求点C的坐标． (2)当时，求的面积． (3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意知，， ∵菱形， ∴，， 如图，延长交轴于，则轴，即， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （2）解：由题意知，时，，则，， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵， ∴当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，， 由题意知，，， 当时，；此时， 解得，； ∴； 当时，；此时， 解得，； ∴； 综上所述，存在，当时，，当时，． 菱形的对角线 1、如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2、如图，在菱形中，，连接，E是上一点，且，连接，则（ ）       A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：如图，在菱形中，， 则. ∵， ∴. 故选：B． 3、如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点 于点 ，连接 ．则 的度数是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， 在中，， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 4、如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是     【答案】 5 【解析】 解：∵在菱形中，、是对角线，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 5、如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为           ． 【答案】 3 【解析】 解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，点恰好为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴（等底等高）， 故答案为：3． 6、如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，，过点A作于点H，连接，求的长． 【答案】 解：四边形是菱形， ，，，， ， 是直角三角形， 菱形的周长为， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 于点H， ， 是直角三角形， ， 是的斜边上的中线， ． 添加条件使四边形为菱形 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（    ） A.AB＝CD B.AB⊥BC C.AC＝BD D.AC⊥BD 【答案】D 【解析】解：A. AB＝CD，无法判定四边形ABCD是菱形，不合题意； B. AB⊥BC，只能判定四边形ABCD是矩形，不合题意； C. AC＝BD，只能判定四边形ABCD是矩形，不合题意； D. AC⊥BD，可以得到四边形ABCD是菱形，符合题意． 故选：D 2、关于的叙述，正确的是（    ） A.若，则是菱形 B.若，则是菱形 C.若，则是正方形 D.若，则是矩形 【答案】B 【解析】解：A、若，则是矩形，不正确； B、若，则是菱形，正确； C、若，则是菱形，不正确； D、若，则是菱形，不正确； 故选：B． 3、如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　        　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】OA=OC 【解析】OA＝OC， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 4、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E、F分别为AC上的两点，AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF． （1）求证：BF＝DE． （2）对△ABC添加一个条件 　        　，使四边形BEDF是菱形，并说明理由． 【答案】1）证明：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， ∴AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BF＝DE； （2）解：当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下： 由（1）得：四边形BEDF是平行四边形， ∴EO＝FO， ∵AB＝BC，O是AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴平行四边形BEDF是菱形， 故答案为：AB＝BC． 菱形性质和判定的综合 1、如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A.， B. C.， D. 【答案】D 【解析】解四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， 四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点分别作，边上的高为，．则 （两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形中，，即， ，即．故B正确； 平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ，（菱形的对角相等），故A正确； ，（平行四边形的对边相等），故C正确； 如果四边形是矩形时，该等式成立．故D不一定正确． 故选：D． 2、如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　） A. B.8 C. D. 【答案】C 【解析】∵EB∥CD，EC∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在△ABC中， ∵AC，BC＝4，AB， ∴（）2+42＝2+16＝18＝（3）2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵点D是AB的中点， ∴DC＝AD＝DBAB， ∴四边形CEBD是菱形， 四边形CEBD的周长＝4DB＝46． 故选：C． 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A. B. C.40 D.24 【答案】B 【解析】∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD； ∵点E，F分别为AD，AO的中点， ∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线， ∴OD＝2EF＝6， ∵平行四边形ABCD中，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝AD， ∴， ∴菱形ABCD的周长． 故选：B． 4、如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是　         　． 【答案】AB＝2BC 【解析】过A作AE⊥CD于E、作AF⊥GH于F， 根据题意得：甲纸条对折后与乙纸条宽度相等， 则AF＝AE， ∵四边形AGHD是平行四边形， ∴∠AGF＝∠ADE， 在△AGF和△ADE中，， ∴△AGF≌△ADE， ∴AG＝AD， 又∵AGAB＝AG，AD＝BC， ∴AB＝BC， ∴AB＝2BC． 故答案为：AB＝2BC． 5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 　     　． 【答案】24． 【解析】∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA， ∴DF＝AF， ∴平行四边形AEDF为菱形． ∴AE＝DE＝DF＝AF＝6， ∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24， 即四边形AEDF的周长是24， 故答案为：24． 6、如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴，，，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴四边形的周长为． 根据正方形的性质求线段长 1、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（   ）． A. B.2 C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，由题意，，， 大正方形的面积为17， ， ， ， ， ， ， 小正方形的边长为（负值舍去）． 故选：D． 2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A.2.5 B. C. D.2 【答案】B 【解析】连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，ACBC，CFCE＝3， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，AF2， ∵H是AF的中点， ∴CHAF． 故选：B． 3、如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为       ． 【答案】4 【解析】正方形的边长为4， ， 于点E， 于点F． 四边形是矩形，且是等腰三角形， ， 故答案为：4 4、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　             　． 【答案】． 【解析】连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC，A B＝A D＝B C＝4， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， ∵H是DF的中点， ∴DH＝FH， 在△PDH和△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝2， ∴AP＝AD﹣PD＝2， ∴， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴， 故答案为：． 5、如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 根据正方形的性质求角的度数 1、如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD于点O， ∴∠AOB＝90°， 故选：D． 3、如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　） A.65° B.70° C.60° D.80° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）． ∵∠DEB＝140°， ∴∠DEC＝∠BEC＝70°， ∴∠AEF＝∠BEC＝70°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°， 故选：A． 4、如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为 　      　． 【答案】70°． 【解析】由正方形ABCD，∠AFC＝130°， 得BD为正方形的对称轴，AD∥BC， 得∠BFC＝∠AFB＝130°÷2＝65°，∠DBC＝45°， 得∠DEC＝∠FCB＝180°﹣∠BFC﹣∠DBC＝70°． 故答案为：70°． 5、已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数． 【答案】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F；作∠ADM＝60°， 则∠MDE＝75°；而∠ADE＝∠EAD＝15°， ∴AE＝DE，EF平分∠AED，AF＝DF； ∴∠DEM75°， ∴∠M＝180°﹣2×75°＝30°，∠MED＝∠MDE＝75° ∴DM＝2DF，MD＝ME；而DC＝AD＝2DF， ∴MD＝CD；在△MDE与△CDE中， ， ∴△MDE≌△CDE（SAS）， ∴ME＝EC；同理可证ME＝BE； ∴BE＝CE＝MD＝DC＝BC， ∴△BEC为等边三角形， ∴△BEC各内角度数为60°． 坐标系中的正方形 1、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（﹣1，） D.（1，） 【答案】C 【解析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示： 则∠CFO＝∠OEA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA，∠AOC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCF和△AOE中，， ∴△OCF≌△AOE（AAS）， ∴OF＝AE＝1，CF＝OE， ∴点C的坐标为（﹣1，）； 故选：C． 2、如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　） A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2） 【答案】B 【解析】如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2）， ∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）． 故选：B． 3、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1） 【答案】C 【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示： 则∠ADO＝∠OEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵点A的坐标为（1，）， ∴OD＝1，AD， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝90°，OC＝AO， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCE和△AOD中， ， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE＝AD，CE＝OD＝1， ∴点C的坐标为（，1）； 故选：C． 4、如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD边长为1个单位长度，若BC∥x轴，且点A的坐标是（2，2），则点C的坐标为 　        　． 【答案】（3，1）． 【解析】∵四边形ABCD为正方形，且边长为1， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，AD∥BC， ∵BC∥x轴， ∴AD∥BC∥x轴， 又∵点A的坐标为（2，2）， ∴点B（2，1），点C（3，1）． 故答案为：（3，1）． 5、正方形，按如图的方式放置，和点分别在直线和轴上，则点的坐标是              ．    【答案】 【解析】解：设直线与轴交于点A，如图，    令，令， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴点的横坐标和点的横坐标相同，其点在直线上， ∴当时，，即， ∴， 同理，， ∴， 故答案为：． 6、平面直角坐标系中，A（﹣1，3），C（2，﹣1），则以AC为对角线的正方形ABCD的顶点B、D坐标分别为多少？ 【答案】解：如图，过点E作FK∥x轴，BF⊥FK于F，DK⊥FK于K，AM⊥FK于M． ∵四边形ABCD是正方形，A（﹣1，3），C（2，﹣1）， ∴EA＝EC＝EB＝ED，E（，1）， ∴AM＝2，EM， 由△AME≌△EKD≌△EFB，可得EK＝EF＝AM＝2，DK＝BF＝EM， ∴D（，），B（，）或B（，），D（，）． 7、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，求点C的坐标． 【答案】解：过点C作轴于点H， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标是． 正方形性质的综合运用 1、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　） A.长度为2的线段 B.边长为2的等边三角形 C.斜边为2的直角三角形 D.面积为4的菱形 【答案】D 【解析】∵正方形的边长为2， ∴对角线长为， ∴长度为2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意； 边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意； 斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意； 而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意， 故选：D． 2、如图，E，F为正方形ABCD边BC，CD的中点，连接AE，BF交于点P．有如下结论：①AE＝BF，②AP＝FP，③AE⊥BF，④S△ABP＝S四边形PECF，其中成立的是（　　） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°， ∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴BE＝CF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确； ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BPE＝90°， ∴AE⊥BF，故③正确； ∵PE≠BP， ∵AE＝BF， ∴AP≠FP，故②不正确； ∵△ABE≌△BCF， ∴S△ABE＝S△BCF， ∴S△ABE﹣S△BEP＝S△BCF﹣S△BEP， 即S四边形PECF＝S△ABP，故④正确． 故选：C． 3、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 【答案】D 【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故选：D． 4、在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 　       　． 【答案】2cm2 【解析】正方形面积2cm2 故答案为2cm2 5、已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN． 【答案】证明：作NF⊥BC于F，如图所示： 则∠NFM＝90°，四边形CDNF是矩形， ∴NF＝CD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠ABC＝90°， ∴BC＝NF， 在Rt△BCE和Rt△NFM中，， ∴Rt△BCE≌Rt△NFM（HL）， ∴∠1＝∠2， ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠4＝90°， ∴CE⊥MN． 正方形的对角线 1、如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A.2    B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故选：C． 2、如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（ ） A.3    B.6    C.      D. 【答案】C 【解析】 解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 3、如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使点A的对应点满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是        ． 【答案】 4 【解析】 解：正方形的边长为， ， ， ， ． 故答案为：4． 4、如图，点P在正方形内，连接，若，，则        ． 【答案】 8 【解析】 解：∵四边形是正方形， ∴， 设， 如图，以点的坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系： ∴， 由题意，设点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 整理得：， ∴，即， 又∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴ ， 故答案为：8． 5、如图，在正方形中，延长到点，使．连接，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 正方形的判定 1、下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误； ②如图， AC⊥BD，但是四边形ABCD不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误； ③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误； ④如图， ∵E、F、G、H分别是菱形A′B′C′D′的边A′B′、B′C′、C′D′、A′D′的中点， ∴EF//A′C′，EH＝B′D′，EH//B′D′，FG＝B′D′，FG//B′D′， ∴EH＝FG，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形A′B′C′D′是菱形， ∴A′C′⊥B′D′， ∵EH//B′D′， ∴EH⊥A′C′， ∵EF//A′C′， ∴EF⊥EH， 即∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形，故④正确； 所以正确的个数是1． 故选D． 2、如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可得平行四边形ABCD是正方形，故A选项符合题意； 添加AC＝BD，∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形，得不到是正方形，故B选项不合题意； 添加BD平分∠ABC，AB＝BC，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故C选项不合题意； 添加AB＝BC，AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故D选项不合题意； 故选：A． 3、正方形判定：有一个角是直角的　     　是正方形． 【答案】见试题解答内容 【解析】正方形判定：有一个角是直角的菱形是正方形， 故答案为：菱形． 4、有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 　     　（填“对”或“不对”）． 【答案】不对． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 再根据现有条件无法证明平行四边形ABCD为正方形， ∴文文选择的不对， 故答案为：不对． 5、如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【答案】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 正方形性质和判定的综合 1、如图，在四边形CDEF中，∠C＝∠D＝90°，CF+DE＝CD＝4，G为DE的中点，点H在EF上，且，连接GH，则GH的长为 　             　． 【答案】． 【解析】如图，延长DE至点A，使得EA＝CF，延长CF至点B，使得BF＝DE，连接AB． ∵CF+DE＝CD， ∴AD＝BC＝CD． ∵∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD为正方形． 连接AC交EF于点O， ∵∠EAO＝∠FCO＝45°， ∵∠AOE＝∠COF，EA＝FC， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴AO＝CO，EO＝FO， ∴O为AC和EF的中点， 连接OD，则H为EO的中点，G为DE的中点， ∴GH为△EOD的中位线， ∴GHOD，ODAC，AC， ∴OD＝2， ∴GHOD． 故答案为：． 2、如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为     ． 【答案】 【解析】解：当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大， ∴当到的距离时，此时到的距离最大， 即， 将沿翻折，点B的对应点为， ，， 四边形是正方形， 利用勾股定理得到， 点E为的中点，， ， ， ∴当面积最小时折痕的长为， 故答案为：． 3、如图，已知正方形ABCD，点E在对角线AC上，连接DE，作EF⊥DE，EF交BC边于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG． （1）判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． （2）若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数． 【答案】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∠CEN＝90°﹣∠ECN＝45°， ∴四边形EMCN为矩形，∠CEN＝∠ECN， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形； （2）解：∵∠ADE＝40°，AD∥EN， ∴∠DEN＝∠ADE＝40°， 由（1）知△DEN≌△FEM， 得∠MEF＝∠DEN＝40°， ∴∠EFC＝∠EMF+∠MEF＝90°+40°＝130°． 4、已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°， ∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°， ∵DH＝CE，BK＝CE， ∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD， 在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中 ∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH， ∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝HAD， ∵∠BAD＝90°， ∴∠HAK＝∠HAD+∠DAK＝∠BAK+∠DAK＝∠BAD＝90°， ∴四边形AKFH为正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $