17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版数学八年级下册

沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 一、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 3.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 4.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 5.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 6.解方程：． 7.请用适当的方法解下列方程：． 二、换元法解一元二次方程 1.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　） A.3 B.﹣3或1 C.1 D.﹣1或3 3.已知y为实数，且满足（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，则5（y2+m2）的值是（　　） A.6 B.30 C.36 D.12 4.已知（x+y）2﹣2（x+y）﹣3＝0，则x+y＝　　． 5.已知为实数，且满足，则代数式的值为        ． 6.阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 7.阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 三、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　） A.x1小于﹣1，x2大于3 B.x1小于﹣2，x2大于3 C.x1，x2在﹣1和3之间 D.x1，x2都小于3 2.方程（x﹣5）2＝0的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝x2＝5 C.x1＝x2＝﹣5 D.x1＝5，x2＝﹣5 3.方程（x﹣3）2＝16的根为（　　） A.x1＝x2＝7 B.x1＝7，x2＝1 C.x1＝x2＝﹣1 D.x1＝7，x2＝﹣1 4.方程（x﹣1）2＝1的根为 　　． 5.方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　　． 6.解方程：． 7.解方程：． 四、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2﹣6＝0的解是（　　） A. B.， C.x1＝x2＝6 D.x1＝6，x2＝﹣6 2.一元二次方程x2＝3的根为（　　） A.x B.x1，x2＝0 C.x1＝x2 D.x1，x2 3.方程x2﹣9＝0的解是（　　） A.x＝﹣3 B.x＝3 C.x1＝﹣3，x2＝3 D.， 4.方程2x2＝1的解是 　　． 5.对于实数m，n我们用符号max{m，n}表示m，n两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{x2﹣1，2x2}＝2则可列方程为 　　，x的值为 　　． 6.解方程：5x2＝125． 7.x2﹣1＝23． 五、利用配方构成非负数求值 1.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　） A.c＞8 B.5＜c＜8 C.8≤c＜13 D.5＜c＜13 2.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　） A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数 3.若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0，则△ABC的形状为（　　）三角形． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y﹣9，则4x•32y的值为 　　． 5.已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，则△ABC的周长为 　　． 6.阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务． 若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0求m，n的值． 解：因为m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， 所以（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， 所以（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， 由（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， 可得n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，则a＝　　，b＝　　； （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值． 7.已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，其中c为奇数，求△ABC的周长． 六、利用配方解决最值问题 1.已知实数x，y满足4x2﹣x+4xy+y2＝1，设M＝x+y，则M的最大值是（　　） A. B. C. D.1 2.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 3.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 4.代数式﹣x2+10x﹣8的最大值为 　　． 5.如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 　　． 6.先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 　　； （2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值． 7.为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．    (1)若花圃的面积为，求长方形的长和宽； (2)若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值； (3)如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽． 七、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（　　） A.x＝2 B.x＝﹣3 C.x1＝﹣2，x2＝3 D.x1＝2，x2＝﹣3 2.方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A.x1＝2，x2＝1 B.x1＝2，x2＝﹣2 C.x1＝2，x2＝0 D.x1＝2，x2＝﹣1 3.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝3﹣x的根是（　　） A.x＝2 B.x＝3 C.x1＝2，x2＝3 D.x1＝﹣2，x2＝3 4.定义新运算Ⓡ：对于任意实数a、b都有：aⓇb＝a2+ab，如果3Ⓡ4＝32+3×4＝9+12＝21，那么方程xⓇ2＝0的解为 　　． 5.方程（x﹣3）2＝3﹣x的根是 　　． 6.解方程．3x（2x+1）＝4x+2． 7.解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0． 八、利用公式法解简单的一元二次方程 1.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A.1 B. C.﹣1 D. 2.当用公式法解方程时，的值为（   ） A.2 B. C.17 D. 3.是下列哪个一元二次方程的根（　　） A.2x2+3x+1＝0 B.2x2﹣3x+1＝0 C.2x2+3x﹣1＝0 D.2x2﹣3x﹣1＝0 4.方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为 　　． 5.一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是　　． 6.解方程：x2﹣3x﹣5＝0． 7.用公式法解方程：x2+4x-5=0 九、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 2.下列各数中，是方程x2﹣3x﹣4＝0的根的是（　　） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣4 3.下列各数是一元二次方程x2+x﹣12＝0的根的是（　　） A.﹣1 B.1 C.2 D.3 4.方程的根是      ． 5.方程x2﹣14x+48＝0的两个根是 　　． 6.解方程： (1)； (2)． 7.解方程：x2+2x﹣8＝0． 沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固（参考答案） 一、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 【答案】A 【解析】x2﹣4x＝1， 方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1， 所以第②步出现错误． 故选：A． 2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 【答案】B 【解析】由题意知，甲中x2+8x+16＝9+16， 丙中x+4＝±3， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 3.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】∵x2﹣4x﹣8＝0， ∴x2﹣4x＝8， ∴x2﹣4x+4＝12， ∴（x﹣2）2＝12， ∴，x﹣2＝±2 解得：x＝±22， 故选：A． 4.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2， 配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1， 开方得：x﹣1＝±i， 解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 5.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 【答案】④①③②． 【解析】3x2+2x﹣1＝0， 把二次项系数化1得：x2x0， 移项得：x2x， 配方得：x2x+（）2（）2，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2＝﹣1， 故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②， 故答案为：④①③②． 6.解方程：． 【答案】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 7.请用适当的方法解下列方程：． 【答案】解：原方程配方得：，即， ∴，， 解方程，得，． 二、换元法解一元二次方程 1.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】C 【解析】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 2.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　） A.3 B.﹣3或1 C.1 D.﹣1或3 【答案】C 【解析】由y＝x2+3x， 则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0， 分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0， 解得，y1＝﹣3，y2＝1， 当x2+3x＝﹣3时，经Δ＝32﹣3×4＝﹣3＜0检验，可知x不是实数 当x2+3x＝1时，经检验，符合题意． 故选：C． 3.已知y为实数，且满足（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，则5（y2+m2）的值是（　　） A.6 B.30 C.36 D.12 【答案】B 【解析】令t＝y2+m2， 由（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24， 得t2﹣2t﹣24＝0，（t﹣6）（t+4）＝0， ∴t＝6或﹣4， 又∵t＝y2+m2≥0， ∴t＝6， 即y2+m2＝6． ∴5（y2+m2）＝5×6＝30， 故选B． 4.已知（x+y）2﹣2（x+y）﹣3＝0，则x+y＝　　． 【答案】3或﹣1． 【解析】设t＝x+y，则原方程转化为t2﹣2t﹣3＝0， 整理，得（t﹣3）（t+1）＝0． 解得t1＝3，t2＝﹣1． 所以x+y＝3或x+y＝﹣1． 故答案为：3或﹣1． 5.已知为实数，且满足，则代数式的值为        ． 【答案】3 【解析】设，方程化为， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， ， . 故答案为：. 6.阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 解得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解， 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 7.阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 【答案】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2）x4﹣x2﹣12＝0， 令a＝x2，则原方程可化为：a2﹣a﹣12＝0， 解得，a＝﹣3或a＝4， ∴x2＝﹣3（舍去），x2＝4， 解得，x1＝2，x2＝﹣2， 故原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 三、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　） A.x1小于﹣1，x2大于3 B.x1小于﹣2，x2大于3 C.x1，x2在﹣1和3之间 D.x1，x2都小于3 【答案】A 【解析】∵x1、x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2， ∴（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， ∴x2＝13，x1＝11， 故选：A． 2.方程（x﹣5）2＝0的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝x2＝5 C.x1＝x2＝﹣5 D.x1＝5，x2＝﹣5 【答案】B 【解析】（x﹣5）2＝0 解得：x1＝x2＝5． 故选：B． 3.方程（x﹣3）2＝16的根为（　　） A.x1＝x2＝7 B.x1＝7，x2＝1 C.x1＝x2＝﹣1 D.x1＝7，x2＝﹣1 【答案】D 【解析】（x﹣3）2＝16， 开方得：x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4， 解得：x1＝7，x2＝﹣1． 故选：D． 4.方程（x﹣1）2＝1的根为 　　． 【答案】x1＝2，x2＝0． 【解析】∵（x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝±1， 则x1＝2，x2＝0， 故答案为：x1＝2，x2＝0． 5.方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　　． 【答案】x1＝6，x2＝﹣2． 【解析】∵48﹣3（x﹣2）2＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， ∴x1＝6，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝6，x2＝﹣2． 6.解方程：． 【答案】解：原方程整理得：（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2． 7.解方程：． 【答案】解：， 整理，得，即， 开方，得， 解得． 四、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2﹣6＝0的解是（　　） A. B.， C.x1＝x2＝6 D.x1＝6，x2＝﹣6 【答案】B 【解析】x2﹣6＝0， x2＝6， 解得：x1，x2． 故选：B． 2.一元二次方程x2＝3的根为（　　） A.x B.x1，x2＝0 C.x1＝x2 D.x1，x2 【答案】D 【解析】因为x2＝3， 所以x是3的平方根， 则． 故选：D． 3.方程x2﹣9＝0的解是（　　） A.x＝﹣3 B.x＝3 C.x1＝﹣3，x2＝3 D.， 【答案】C 【解析】x2﹣9＝0， 移项得：x2＝9， 两边直接开平方得：x＝±3， ∴x1＝﹣3，x2＝3． 故选：C． 4.方程2x2＝1的解是 　　． 【答案】x1，x2． 【解析】2x2＝1， x2， x＝±， 所以x1，x2． 故答案为：x1，x2． 5.对于实数m，n我们用符号max{m，n}表示m，n两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{x2﹣1，2x2}＝2则可列方程为 　　，x的值为 　　． 【答案】2x2＝2，±1． 【解析】∵2x2﹣（x2﹣1）＝x2+1＞0， ∴2x2＞x2﹣1， ∴max{x2﹣1，2x2}＝2x2， ∴max{x2﹣1，2x2}＝2则可列方程为2x2＝2， 解得：x＝±1， 故答案为：2x2＝2，±1． 6.解方程：5x2＝125． 【答案】解：5x2＝125， x2＝25， 开方得x1＝5，x2＝﹣5． 7.x2﹣1＝23． 【答案】解：∵x2﹣1＝23， ∴x2＝24， ∴． 五、利用配方构成非负数求值 1.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　） A.c＞8 B.5＜c＜8 C.8≤c＜13 D.5＜c＜13 【答案】C 【解析】∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣16b+64）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0， ∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣8＝0， ∴a＝5，b＝8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b﹣a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8≤c＜13． 故选：C． 2.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　） A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数 【答案】A 【解析】解：∵x2+4y2+6x-4y+11=（x+3）2+（2y-1）2+1， 又∵（x+3）2≥0，（2y-1）2≥0， ∴x2+4y2+6x-4y+11≥1， 故选A． 3.若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0，则△ABC的形状为（　　）三角形． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0， ∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣12b+36）＝0， 即（a﹣6）2+（b﹣6）2＝0， ∴a＝b＝6， ∴△ABC是等腰三角形， 故选：B． 4.已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y﹣9，则4x•32y的值为 　　． 【答案】8． 【解析】∵4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y﹣9， ∴（4x2+20xy+25y2）﹣6（2x+5y）+9＝0， ∴（2x+5y）2﹣6（2x+5y）+9＝0， ∴（2x+5y﹣3）2＝0， ∴2x+5y＝3， ∴4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8． 故答案为：8． 5.已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，则△ABC的周长为 　　． 【答案】11． 【解析】由题意，∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0． ∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0． ∴a﹣1＝0，b﹣5＝0． ∴a＝1，b＝5． 由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴5﹣1＜c＜5+1． ∴4＜c＜6． 又∵c是正整数， ∴c＝5． ∴△ABC的周长为：1+5+5＝11． 故答案为：11． 6.阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务． 若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0求m，n的值． 解：因为m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， 所以（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， 所以（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， 由（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， 可得n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，则a＝　　，b＝　　； （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值． 【答案】解：（1）∵a2+4ab+5b2+6b+9＝0， ∴a2+4ab+（2b）2+b2+6b+9＝0， ∴（a+2b）2+（b+3）2＝0， ∴a＝﹣2b，b＝﹣3， ∴a＝6，b＝﹣3， 故答案为：6，﹣3； （2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0， ∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0， 解得：a＝2，b＝1， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴1＜c＜3， 又∵c是正整数， ∴c＝2． 7.已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，其中c为奇数，求△ABC的周长． 【答案】解：∵a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ∵3﹣2＜c＜3+2， ∴1＜c＜5， 又∵c为奇数， ∴c＝3， ∴2+3+3＝8， 故△ABC的周长为8． 六、利用配方解决最值问题 1.已知实数x，y满足4x2﹣x+4xy+y2＝1，设M＝x+y，则M的最大值是（　　） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】∵4x2﹣x+4xy+y2＝1， ∴（2x+y）2＝x+1， ∴2x+y＝±， ∴x+y＝±x， 设a，则x＝a2﹣1， 则x+y＝±a﹣（a2﹣1）＝﹣（a±）2， ∴x+y的最大值为， 即M的最大值为， 故选：B． 2.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 【答案】B 【解析】由题意得，p＝x2+y2+2x﹣4y+2028 ＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2023 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023． 又对于任意的x，y都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2023≥2023． ∴p≥2023． ∴p的最小值是2023． 故选：B． 3.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】A 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 4.代数式﹣x2+10x﹣8的最大值为 　　． 【答案】17． 【解析】﹣x2+10x﹣8 ＝﹣x2+10x﹣25+25﹣8 ＝﹣（x2﹣10x+25）+17 ＝﹣（x﹣5）2+17， ∵（x﹣5）2≥0， ∴﹣（x﹣5）2≤0， ∴代数式﹣x2+10x﹣8的最大值为17． 故答案为：17． 5.如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 　　． 【答案】2022． 【解析】∵p＝a2+4b2+2a+4b+2024＝（a+1）2+（2b+1）2+2022≥2022， 故答案为：2022． 6.先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 　　； （2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值． 【答案】解：（1）x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）+3﹣4 ＝（x﹣2）2﹣1， ∵（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+3的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1； （2）4a2+b2+11＞12a﹣2b．理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b） ＝4a2+b2+11﹣12a+2b ＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1 ＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0， ∴4a2+b2+11＞12a﹣2b； （3）∵﹣x2+3x+y﹣5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4≥4， ∴当x＝1时，x+y最小，最小值为4． 7.为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．    (1)若花圃的面积为，求长方形的长和宽； (2)若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值； (3)如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽． 【答案】（1）解：设长为，则宽为， 由题意可知，， 解得或， ∴当花圃长为，宽为时，花圃面积为； （2）解：设长为， ∴矩形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴当时，花圃面积的最大值为； （3）解：设长为，宽为， 由题意可得，， 整理得，， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴长方形花圃的长为，宽为或长为，宽为． 七、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（　　） A.x＝2 B.x＝﹣3 C.x1＝﹣2，x2＝3 D.x1＝2，x2＝﹣3 【答案】C 【解析】∵（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x+2＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝3， 故选：C． 2.方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A.x1＝2，x2＝1 B.x1＝2，x2＝﹣2 C.x1＝2，x2＝0 D.x1＝2，x2＝﹣1 【答案】B 【解析】（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 3.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝3﹣x的根是（　　） A.x＝2 B.x＝3 C.x1＝2，x2＝3 D.x1＝﹣2，x2＝3 【答案】C 【解析】2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝3﹣x， 2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）+x﹣3＝0， （x﹣3）（2x﹣5+1）＝0， x﹣3＝0或2x﹣5+1＝0， 所以x1＝3，x2＝2． 故选：C． 4.定义新运算Ⓡ：对于任意实数a、b都有：aⓇb＝a2+ab，如果3Ⓡ4＝32+3×4＝9+12＝21，那么方程xⓇ2＝0的解为 　　． 【答案】x1＝0，x2＝﹣2． 【解析】方程x®2＝0化为 x2+2x＝0， 则x（x+2）＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣2． 故答案为x1＝0，x2＝﹣2． 5.方程（x﹣3）2＝3﹣x的根是 　　． 【答案】x1＝3，x2＝2． 【解析】（x﹣3）2＝3﹣x， （x﹣3）2+x﹣3＝0， （x﹣3）（x﹣3+1）＝0， x﹣3＝0或x﹣3+1＝0， 解得：x1＝3，x2＝2． 故答案为：x1＝3，x2＝2． 6.解方程．3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】解：3x（2x+1）＝4x+2， ∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（3x﹣2）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣2＝0， 解得：，． 7.解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【答案】解：∵x（x﹣2）+x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1． 八、利用公式法解简单的一元二次方程 1.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A.1 B. C.﹣1 D. 【答案】D 【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x， 所以x1，x2． 故选：D． 2.当用公式法解方程时，的值为（   ） A.2 B. C.17 D. 【答案】C 【解析】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 3.是下列哪个一元二次方程的根（　　） A.2x2+3x+1＝0 B.2x2﹣3x+1＝0 C.2x2+3x﹣1＝0 D.2x2﹣3x﹣1＝0 【答案】A 【解析】A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意； B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意； C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意； D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意． 故选：A． 4.方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为 　　． 【答案】x1，x2． 【解析】∵a＝7，b＝﹣6，c＝﹣5， ∵Δ＝36﹣4×7×（﹣5）＝176＞0， ∴x， 解得：x1，x2． 5.一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是　　． 【答案】x1，x2 【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x， 所以x1，x2． 故答案为x1，x2． 6.解方程：x2﹣3x﹣5＝0． 【答案】解：∵x2﹣3x﹣5＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴△＝9﹣4×（﹣5）＝29＞0， ∴x 7.用公式法解方程：x2+4x-5=0 【答案】解： a=1，b=4，c=-5， b2-4ac=（4）2-4×1×（-5）=36， x=， x1=1，x2=-5． 九、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 【答案】C 【解析】x2﹣10x+21＝0， （x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17． 故选：C． 2.下列各数中，是方程x2﹣3x﹣4＝0的根的是（　　） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣4 【答案】C 【解析】x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝0， x1＝4，x2＝﹣1． 故选：C． 3.下列各数是一元二次方程x2+x﹣12＝0的根的是（　　） A.﹣1 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】（x+4）（x﹣3）＝0， x+4＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝3． 故选：D． 4.方程的根是      ． 【答案】， 【解析】解：分解因式得：， 即， 解得：，． 5.方程x2﹣14x+48＝0的两个根是 　　． 【答案】x1＝6，x2＝8． 【解析】x2﹣14x+48＝0， （x﹣6）（x﹣8）＝0， x﹣6＝0或x﹣8＝0， x1＝6，x2＝8， 故答案为：x1＝6，x2＝8． 6.解方程： (1)； (2)． 【答案】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，，； （2）解：， ∴， ∴， 解得，，． 7.解方程：x2+2x﹣8＝0． 【答案】解：x2+2x﹣8＝0 （x﹣2）（x+4）＝0 x﹣2＝0或x+4＝0 x1＝2，x2＝﹣4 学科网（北京）股份有限公司 $$