奥数专题-因数与倍数（讲义）- 2025-2026学年五年级下册数学人教版

因数与倍数 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：因数倍数判断 3 📌 考点二：2、3、5 倍数特征应用 4 📌 考点三：质数合数辨析 5 📌 考点四：短除法求最大公因数、最小公倍数 6 ⚠️ 易错避坑指南 8 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 9 一、基础夯实篇 (8 题) 9 二、能力进阶篇 (7 题) 9 三、思维跃迁篇 (5 题) 10 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 12 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 12 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 14 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 16 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题围绕整数数论基础展开，核心是 “数论基础思维 + 四类解题方法落地”，依托因数倍数定义、倍数特征、质数合数分类、短除法四大方法，完整梳理本册考点内容。 知识模块 核心内容 适用场景 关键注意事项 因数与倍数定义体系 整数除法中，被除数除以除数商为整数且无余数，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；因数、倍数相互依存；一个数最小因数是 1、最大因数是本身，因数个数有限；最小倍数是本身，倍数无限，无最大倍数 因数倍数判定、找因数倍数、填空判断题 只在非 0 自然数范围内研究，小数、分数不存在因数倍数关系，不可单独说某数是因数或倍数 2、3、5 倍数判定规则 2 的倍数：个位数字为 0、2、4、6、8；5 的倍数：个位数字为 0 或 5；3 的倍数：各个数位数字相加的和是 3 的倍数；同时是 2 和 5 倍数个位必为 0；同时满足 2、3、5 倍数个位为 0 且数字和是 3 倍数 组数题、数字填空、分类筛选数字 3 的倍数不能只看个位，必须计算数位之和，是高频易错点 质数与合数分类标准 质数：只有 1 和自身 2 个因数，最小质数是 2（唯一偶质数）；合数：除 1 和自身外还有其他因数，最小合数是 4；1 既不是质数也不是合数 数字分类、组数、质数求和题型 除 2 以外所有偶数都是合数，奇数不都是质数 最大公因数、最小公倍数（短除法） 短除法：用公共质数依次去除两个 / 多个数，直到商互质；所有公共质数相乘 = 最大公因数；公共质数乘各自剩余商 = 最小公倍数；若两数互质，最大公因数为 1，最小公倍数为两数乘积；大数是小数倍数，小数是最大公因数，大数是最小公倍数 裁剪、分组、周期类实际应用题 短除只除公共质因数，不能用合数做除数；区分公因数、公倍数概念 二、解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 因数倍数定义法 依托整除关系，双向查找因数、倍数 ①列乘法成对找因数； ②用自然数依次乘原数找倍数 因数成对找，写到重复为止；倍数无限逐个乘 2、3、5 特征判定法 分层观察个位 + 数位和两步判断 ①先看个位判定 2、5； ②再算数字和判定 3 2 看尾偶、5 看尾 0 或 5、3 看和 质数合数分类法 根据因数个数分类，熟记 20 以内常用质数 ①数因数个数； ②对照定义区分 1、质数、合数 二因质数、多因合数、独一既非质也非合 短除法求大公因小公倍 短除分解质因数，按需选取因数相乘 ①写短除竖式； ②持续除公共质数至互质；③公质相乘得大公因，公质乘剩商得小公倍 公因取共有的，公倍全部连乘 三、奥数思维提升 1. 分类思维：按照因数个数、奇偶性、倍数特征分层归类数字，快速筛选符合条件的数值。 2. 转化思维：生活分组、裁剪、分装问题转化为最大公因数 / 最小公倍数计算。 3. 因数个数定理思维：分解质因数后，各质因数指数加 1 再相乘，快速统计因数总数。 4. 余数转化思维（同余基础）：余数相同问题，被除数减掉余数后可整除，转化为公因数题型。 5. 细节思维：紧盯 1、2 两个特殊自然数，规避概念混淆类错误。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：因数倍数判断 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 定义直接应用） 根据算式 36÷4=9，判断谁是谁的因数、谁是谁的倍数。 解题步骤： ① 算式整除无余数，4 和 9 是 36 的因数；36 是 4 和 9 的倍数。 ② 不能单独说 4 是因数、36 是倍数，必须表述依存关系。 【答案】4、9 是 36 的因数，36 是 4、9 的倍数 【知识点睛】因数倍数成对依存，限定非 0 自然数范围。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 因数倍数性质应用） 一个数最大因数是 48，写出它所有因数和 5 个倍数。 解题步骤： ① 一个数最大因数 = 本身，该数是 48； ② 成对列举因数：1 和 48、2 和 24、3 和 16、4 和 12、6 和 8； ③ 用 48 依次乘 1、2、3、4、5 得到倍数。 【答案】因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；倍数：48、96、144、192、240 【知识点睛】一个数最大因数与最小倍数相等，都是它本身。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 限定范围筛选） 既是 36 的因数，又是 4 的倍数的自然数有几个？分别是多少？ 解题步骤： ① 先写出 36 全部因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； ② 从因数里筛选 4 的倍数：4、12、36； ③ 统计符合条件的数的个数。 【答案】共 3 个，分别是 4、12、36 【知识点睛】限定范围筛选，先定因数再筛倍数，缩小查找区间。 📌 考点二：2、3、5 倍数特征应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 单一倍数特征） 从 0、3、6 三个数字选 3 个组成三位数，分别写出 2 的倍数、5 的倍数。 解题步骤： ① 2 的倍数个位 0 或 6：360、630、306； ② 5 的倍数个位 0：360、630； ③ 检查组成的数是否为三位数且无重复数字。 【答案】2 的倍数：360、630、306；5 的倍数：360、630 【知识点睛】组数优先固定个位，再搭配剩余数字。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 3 的倍数特征） 两位数□7 是 3 的倍数，方框里可以填哪些数字？ 解题步骤： ① 个位是 7，7 加方框数字和是 3 的倍数； ② 7 加 2 等于 9、7 加 5 等于 12、7 加 8 等于 15，均为 3 倍数； ③ 排除不符合两位数要求的数字。 【答案】可填 2、5、8 【知识点睛】只计算数位之和，与个位数值分开计算。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 同时满足多个倍数特征） 同时是 2、3、5 倍数的最小三位数和最大两位数分别是多少？ 解题步骤： ① 同时是 2、5 倍数，个位固定为 0； ② 最小三位数百位 1，十位搭配 2（1+0+2=3）即 120； ③ 最大两位数十位 9（9+0=9）即 90。 【答案】最小三位数 120，最大两位数 90 【知识点睛】2、5 优先定个位，再用 3 的倍数确定剩余数位。 📌 考点三：质数合数辨析 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 概念直接判断） 判断数字 3、7、15、21、1 分类（质数 / 合数 / 既非质合） 解题步骤： ① 3 只有 1 和 3 两个因数，质数；7 同理质数； ② 15（1、3、5、15）、21（多因数）是合数； ③ 1 既不是质数也不是合数。 【答案】质数：3、7；合数：15、21；1 单独归类 【知识点睛】2 是唯一偶质数，奇数不一定全是质数。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 质数和奇偶性） 两个质数相加等于 21，求这两个质数。 解题步骤： ① 21 是奇数，奇数 = 偶数 + 奇数； ② 唯一偶质数是 2； ③ 21 减 2 等于 19，19 是质数。 【答案】2 和 19 【知识点睛】质数和为奇数，必有数字 2 参与组合。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 特殊数字组合） 一个三位数，百位最小质数，十位最小合数，个位既不是质数也不是合数，写出这个三位数。 解题步骤： ① 最小质数是 2，确定百位数字； ② 最小合数是 4，确定十位数字； ③ 既不是质数也不是合数的数是 1，确定个位数字，组合成三位数。 【答案】241 【知识点睛】熟记特殊数字：最小合数 4、最小质数 2、特殊数 1。 📌 考点四：短除法求最大公因数、最小公倍数 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 两个数短除） 用短除法求 18 和 24 的最大公因数与最小公倍数 解题步骤： ① 短除依次除以公共质数 2、3，最后商为 3 和 4（互质）； ② 大公因 = 2×3=6； ③ 小公倍 = 2×3×3×4=72。 【答案】最大公因数 6，最小公倍数 72 【知识点睛】短除除数只选用公共质数。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 最大公因数实际应用） 长方形纸板长 18 厘米、宽 12 厘米，裁成同样大小的正方形无剩余，边长最大多少厘米？ 解题步骤： ① 裁剪无剩余，正方形边长是长和宽的公因数； ② 求最大边长即求 18 和 12 的最大公因数； ③ 短除计算得最大公因数为 6。 【答案】边长最大 6 厘米 【知识点睛】裁剪无剩余求最大公因数。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 最小公倍数同余应用） 一批作业本，分成 5 本一组或 7 本一组都余 3 本，作业本最少多少本？ 解题步骤： ① 去掉多余 3 本，总数是 5 和 7 的公倍数； ② 求最少本数即求 5 和 7 的最小公倍数 35； ③ 加上去掉的 3 本，35+3=38。 【答案】最少 38 本 【知识点睛】同余加余数，先算最小公倍数再加多余数量。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆因数与倍数，错误表述 “48 是倍数，6 是因数”错误示例：48 是倍数，6 是因数 正确分析：因数倍数必须相互依存，需要说明谁是谁的因数、谁是谁的倍数。 修正方法：48 是 6 的倍数，6 是 48 的因数。 ❌ 忽略 1 的特殊性，判定 1 是质数或合数错误示例：1 是质数（或 1 是合数） 正确分析：质数需要 2 个因数、合数大于 2 个因数，1 只有 1 个因数，既非质数也非合数。 修正方法：牢记 1 单独分类，最小质数是 2、最小合数是 4。 ❌ 最大公因数、最小公倍数概念混淆，应用题列式颠倒错误示例：求 “最少总数” 用最大公因数，求 “最大每份” 用最小公倍数 正确分析：分组、裁剪求最大公因数；周期、同余分批求最小公倍数。 修正方法：问题求 “最大每份” 用大公因、求 “最少总数” 用小公倍。 ❌ 短除法步骤错误，用合数做短除除数、求公倍数漏乘剩余商错误示例：短除用 4 做除数，求小公倍只乘除数不乘商 正确分析：短除只用质数去除，最大公因数只用公共除数相乘，最小公倍数要把除数和末尾商全部相乘。 修正方法：短除优先 2、3、5 等质数，算完小公倍逐项核对乘数。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇 (8 题) 1. 填空：在 24÷6=4 中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 2. 从 0、2、5 中选数字组成三位数，写出是 2 的倍数、5 的倍数各两个。 3. 判断对错：所有奇数都是质数，所有偶数都是合数（ ）。 4. 用短除法求 12 和 18 的最大公因数。 5. 写出 36 全部因数、从小到大 5 个倍数。 6. 在 11、14、23、30 里区分质数和合数。 7. 方框 3□是 3 的倍数，方框可填哪些数字。 8. 两个数成倍数关系（35 和 7），直接写出大公因和小公倍。 二、能力进阶篇 (7 题) 9. 用短除法求 24、36 的最大公因数和最小公倍数。 10. 把 36 块巧克力和 24 块奶糖平均分若干小朋友，无剩余，最多分几位小朋友？ 11. 同时是 2、3、5 倍数的最大三位数是多少。 12. 两个质数积是 35，这两个质数分别是多少。 13. 一批图书，每包捆 6 本或 8 本都正好捆完，这批图书最少多少本？ 14. 在 0、3、6、9 组成三位数，同时是 3 和 5 的倍数全部列出。 15. 一个数既是 24 因数，又是 6 倍数，这样的数有几个，全部写出来。 三、思维跃迁篇 (5 题) 16. 【奥数拓展】分解质因数 36=2×2×3×3，利用因数个数定理计算 36 一共有多少个因数。 17. 【奥数拓展】一个自然数，除以 4 余 1、除以 6 余 1，这个数最小是多少。 18. 已知 a=2×2×3，b=2×3×5，求 a、b 最大公因数与最小公倍数。 19. 【奥数拓展】有一批钢笔，平均分 4 人剩 2 支、平均分 6 人剩 2 支，钢笔数量在 30 以内，最多多少支？ 20. 【奥数拓展】一个数有 8 个因数，写出满足条件最小自然数。 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 1. 【答案】6，4，24；24，6，4 解题步骤： ① 观察算式 24÷6=4，商是整数且没有余数，符合因数倍数的定义条件； ② 根据定义，除数 6 和商 4 是被除数 24 的因数； ③ 被除数 24 是除数 6 和商 4 的倍数。 【知识点睛】因数和倍数是相互依存的关系，必须在整除的前提下讨论。 2. 【答案】2 的倍数 250、520；5 的倍数 250、520 解题步骤： ① 2 的倍数个位必须是 0、2、4、6、8，这里只能选 0 或 2； ② 5 的倍数个位必须是 0 或 5，这里只能选 0； ③ 固定个位后，用剩余两个数字组成百位和十位，得到符合要求的三位数。 【知识点睛】2、5 倍数的判断只看个位数字，组数时优先确定个位。 3. 【答案】× 解题步骤： ① 举反例：9 是奇数但有 1、3、9 三个因数，是合数； ② 举反例：2 是偶数但只有 1 和 2 两个因数，是质数； ③ 因此原说法错误。 【知识点睛】奇数不一定是质数，偶数不一定是合数，要根据因数个数判断。 4. 【答案】最大公因数 6 解题步骤： ① 写短除竖式，把 12 和 18 写在除号内； ② 用公共质数 2 去除，得到商 6 和 9； ③ 再用公共质数 3 去除，得到商 2 和 3（互质）； ④ 把所有公共除数相乘：2×3=6。 【知识点睛】短除法求最大公因数，只把公共的质因数相乘。 5. 【答案】因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36；倍数：36、72、108、144、180 解题步骤： ① 成对找 36 的因数：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36； ② 按从小到大顺序排列因数； ③ 用 36 依次乘 1、2、3、4、5 得到前 5 个倍数。 【知识点睛】找因数要成对找，避免遗漏；一个数的倍数有无限个。 6. 【答案】质数 11、23；合数 14、30 解题步骤： ① 11 只有 1 和 11 两个因数，是质数； ② 14 有 1、2、7、14 四个因数，是合数； ③ 23 只有 1 和 23 两个因数，是质数； ④ 30 有多个因数，是合数。 【知识点睛】质数只有两个因数，合数有三个或三个以上因数。 7. 【答案】0、3、6、9 解题步骤： ① 3 的倍数特征是各个数位数字之和是 3 的倍数； ② 已知个位是 3，所以 3 加方框数字的和必须是 3 的倍数； ③ 0+3=3、3+3=6、6+3=9、9+3=12，都是 3 的倍数，因此方框可填 0、3、6、9。 【知识点睛】3 的倍数与个位数字无关，只与数位和有关。 8. 【答案】最大公因数 7，最小公倍数 35 解题步骤： ① 观察 35 和 7，35 是 7 的倍数； ② 根据规律，当大数是小数的倍数时，小数是它们的最大公因数； ③ 大数是它们的最小公倍数。 【知识点睛】倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 9. 【答案】大公因 12，小公倍 72 解题步骤： ① 写短除竖式，把 24 和 36 写在除号内； ② 用公共质数 2 去除，得到商 12 和 18； ③ 再用公共质数 2 去除，得到商 6 和 9； ④ 再用公共质数 3 去除，得到商 2 和 3（互质）； ⑤ 最大公因数：2×2×3=12； ⑥ 最小公倍数：2×2×3×2×3=72。 【知识点睛】短除法求最小公倍数，要把所有除数和最后的商相乘。 10. 【答案】12 位 解题步骤： ① 平均分无剩余，小朋友人数是 36 和 24 的公因数； ② 求最多几位小朋友，即求 36 和 24 的最大公因数； ③ 短除计算得最大公因数为 12。 【知识点睛】平均分问题求最大份数，用最大公因数。 11. 【答案】990 解题步骤： ① 同时是 2、5 的倍数，个位必须是 0； ② 是 3 的倍数，百位和十位数字之和必须是 3 的倍数； ③ 最大三位数，百位取 9，十位取 9，9+9+0=18，是 3 的倍数，因此是 990。 【知识点睛】同时是 2、3、5 倍数的数，个位一定是 0，且数位和是 3 的倍数。 12. 【答案】5 和 7 解题步骤： ① 两个质数的积是 35，把 35 分解质因数； ② 35=5×7； ③ 5 和 7 都是质数，符合要求。 【知识点睛】分解质因数可以找到两个质数的乘积对应的质数。 13. 【答案】24 本 解题步骤： ① 每包捆 6 本或 8 本都正好捆完，图书总数是 6 和 8 的公倍数； ② 求最少多少本，即求 6 和 8 的最小公倍数； ③ 短除计算得最小公倍数为 24。 【知识点睛】正好分完问题求最少总数，用最小公倍数。 14. 【答案】360、630、930、390、690、960 解题步骤： ① 同时是 3 和 5 的倍数，个位必须是 0 或 5，这里只能选 0； ② 是 3 的倍数，百位和十位数字之和必须是 3 的倍数； ③ 从 3、6、9 中选两个数字，和为 3 的倍数的组合有 3 和 6、3 和 9、6 和 9； ④ 组合成三位数：360、630、390、930、690、960。 【知识点睛】同时是 3 和 5 倍数的数，个位是 0 或 5，且数位和是 3 的倍数；本题中数字 3、6、9 两两相加的和均为 3 的倍数，所有组合都符合要求。 15. 【答案】3 个；6、12、24 解题步骤： ① 先写出 24 的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24； ② 从因数中筛选出 6 的倍数：6、12、24； ③ 统计个数，共 3 个。 【知识点睛】先找因数再筛倍数，是解决这类问题的常用方法。 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 16. 【答案】（2+1）×（2+1）=9 个 解题步骤： ① 因数个数定理：分解质因数后，各质因数的指数加 1 再相乘； ② 36=2×2×3×3，2 出现 2 次，3 出现 2 次； ③ 计算：（2+1）×（2+1）=3×3=9 个。 【知识点睛】因数个数定理是奥数中快速计算因数个数的方法。 17. 【答案】13 解题步骤： ① 除以 4 余 1、除以 6 余 1，说明这个数减去 1 后是 4 和 6 的公倍数； ② 求最小的数，即求 4 和 6 的最小公倍数 12； ③ 加上减去的 1，12+1=13。 【知识点睛】同余问题，余数相同，先求最小公倍数再加余数。 18. 【答案】大公因 = 2×3=6；小公倍 = 2×2×3×5=60 解题步骤： ① 最大公因数是两个数公共质因数的乘积； ② a 和 b 的公共质因数是 2 和 3，所以大公因 = 2×3=6； ③ 最小公倍数是公共质因数和各自独有质因数的乘积； ④ a 独有质因数是 2，b 独有质因数是 5，所以小公倍 = 2×3×2×5=60。 【知识点睛】已知质因数分解式，直接找公共质因数求大公因，乘独有质因数求小公倍。 19. 【答案】26 支 解题步骤： ① 平均分 4 人剩 2 支、平均分 6 人剩 2 支，说明钢笔数减去 2 后是 4 和 6 的公倍数； ② 4 和 6 的公倍数有 12、24、36……； ③ 钢笔数量在 30 以内，所以最大的公倍数是 24； ④ 加上减去的 2，24+2=26。 【知识点睛】同余问题，余数相同，先找符合范围的最大公倍数再加余数。 20. 【答案】24 解题步骤： ① 一个数有 8 个因数，根据因数个数定理，8 可以分解为 8=8、8=4×2、8=2×2×2； ② 对应质因数分解形式：a 连乘 7 次、a 连乘 3 次再乘 b、a×b×c（a、b、c 是不同质数）； ③ 分别计算最小的数：2×2×2×2×2×2×2=128，2×2×2×3=24，2×3×5=30； ④ 比较大小，24 最小。 【知识点睛】根据因数个数反推质因数分解形式，再找最小的自然数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $