专题02：因数和倍数的认识 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题02：因数和倍数的认识 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本定义与概念 1.因数和倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是2的倍数，也是6的倍数；2是12的因数，6也是12的因数。 用乘法表示：2×6=12，2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 2.相互依存关系 因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 错误表述："12是倍数，3是因数"。 正确表述："3是12的因数，12是3的倍数"。 例如：因为5×6=30，所以6和5是30的因数，30是6和5的倍数。 3.研究范围 为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是非0自然数。 0不能作为除数，因此在研究因数和倍数时不考虑0。 注意：0是任何非零整数的倍数，但0不是任何数的因数。 二、找因数的方法与特征 1.找因数的方法 列乘法算式法：从1开始，找出所有乘积为该数的整数对。 例如：12=1×12=2×6=3×4，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式法：用该数除以1到它本身的整数，找出能整除的数。 例如：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 2.因数的特征 一个数的因数的个数是有限的。 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 例如：12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个；17的因数只有1和17，共2个。 三、找倍数的方法与特征 1.找倍数的方法 列乘法算式法：用该数依次乘以1、2、3、4……。 例如：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，……，所以3的倍数有3、6、9、12、…… 列除法算式法：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数。 2.倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的。 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 例如：5的倍数有5、10、15、20、……，最小的倍数是5。 四、重要关系与性质 1.一个数的最大因数与最小倍数 一个数的最大因数等于它的最小倍数，都等于它本身。 例如：12的最大因数是12，最小倍数也是12。 2.因数与倍数的对应关系 在乘法算式a×b=c中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 例如：在7×8=56中，7和8是56的因数，56是7和8的倍数。 五、常见易错点 1.混淆因数与倍数的依存关系 错误：单独说"12是倍数"或"3是因数"。 正确：必须说"12是3的倍数"或"3是12的因数"。 2.忽略"非0自然数"的前提条件 错误：认为0是任何数的倍数，或0.5是1的因数。 正确：因数和倍数研究的范围是非0自然数。 3.找因数和倍数时出现遗漏或重复 错误：找18的因数只找到1、2、3、6、9，漏掉18。 正确：找因数时应有序寻找，避免遗漏；找倍数时应理解其无限性。 4.倍数的表示方法 错误：将5的倍数写成"5、10、15、20"。 正确：应写成"5、10、15、20……"，表示倍数的无限性。 第二部分 典型例题 【例题1】学校舞蹈队（人数少于50人）举行校园集体舞表演，如果排成8排则多1人，如果排成10排也多1人，这个舞蹈队有多少人？ 【例题2】王老师把48本练习册平均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数可能是多少？ 【例题3】有两个自然数，第一个数是36的最大因数，另外一个数比第一个数的6倍多5，这两个自然数的和是多少？ 【例题4】五年级有40人报名参加义务植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求所分的组数大于4，小于10。可以分为几组？ 第三部分 高频真题 1．下面各数中，（    ）是7的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 2．一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．12 B．16 C．24 D．48 3．如果a的最小倍数等于b的最大因数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 4．用40个相同的小正方形可以拼成（    ）种不同的长方形。 A．4 B．5 C．6 D．7 5．小明在红井边玩耍时，发现了一块石头，它的重量是另一个石头的3倍。如果较轻的石头重2千克，那么较重的石头重多少千克？这体现了因数和倍数的什么关系？（    ） A．4千克，倍数和因数关系 B．6千克，倍数和因数关系 C．8千克，整除关系 D．无法确定 6．如果长方形的面积是24平方米，那么它的长和宽可能有（    ）种可能。（长和宽取整米数） A．3 B．4 C．5 D．6 7．五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 8．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数，叫做完全数。那下面是完全数的是（    ）。 A．2 B．8 C．28 D．12 9．一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是( )。 10．36的因数有( )；100以内17的倍数有( )。 11．自然数49的因数有( )个，其中最小的是( )。 12．如果a的最大因数是19，b的最小倍数是1，那么a＋b的和的所有因数有( )个。 13．“一五、一十、十五、二十……”这样数数，数到第15个是( )。 14．一个数的最小倍数和它的最大因数的商是( )，差是( )。 15．在算式4×5＝20中，20是( )和( )的倍数；4和5是( )的因数。 16．在1～100以内所有既不能被3整除又不能被7整除的数之和为______。 17．144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有______种分法。 18．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 19．3和7是因数，21是倍数。( ) 20．一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 21．一个数的最大因数是a，最小倍数是b，则a＝b。( ) 22．一个数的最大因数和最小倍数一定相等。( ) 23．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( ) 24．某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？ 25．把一根长120厘米的铁丝截成同样长的若干段，每段长为整厘米数，大于10厘米且小于20厘米，共有几种截法？ 26．医院打算购买一批疫苗，数量在100到200盒之间，并且比25的倍数多7盒，这批疫苗最多有多少盒？ 27．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 28．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？ 29．四年（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人） 30．五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 31．3路和9路公交车早上6时同时从同一个起点站出发，3路车每隔10分钟发一辆车，9路车每隔12分钟发一辆车，那么这两路车第二次同时发车是几时几分？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02：因数和倍数的认识 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本定义与概念 1.因数和倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是2的倍数，也是6的倍数；2是12的因数，6也是12的因数。 用乘法表示：2×6=12，2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 2.相互依存关系 因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 错误表述："12是倍数，3是因数"。 正确表述："3是12的因数，12是3的倍数"。 例如：因为5×6=30，所以6和5是30的因数，30是6和5的倍数。 3.研究范围 为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是非0自然数。 0不能作为除数，因此在研究因数和倍数时不考虑0。 注意：0是任何非零整数的倍数，但0不是任何数的因数。 二、找因数的方法与特征 1.找因数的方法 列乘法算式法：从1开始，找出所有乘积为该数的整数对。 例如：12=1×12=2×6=3×4，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式法：用该数除以1到它本身的整数，找出能整除的数。 例如：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 2.因数的特征 一个数的因数的个数是有限的。 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 例如：12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个；17的因数只有1和17，共2个。 三、找倍数的方法与特征 1.找倍数的方法 列乘法算式法：用该数依次乘以1、2、3、4……。 例如：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，……，所以3的倍数有3、6、9、12、…… 列除法算式法：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数。 2.倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的。 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 例如：5的倍数有5、10、15、20、……，最小的倍数是5。 四、重要关系与性质 1.一个数的最大因数与最小倍数 一个数的最大因数等于它的最小倍数，都等于它本身。 例如：12的最大因数是12，最小倍数也是12。 2.因数与倍数的对应关系 在乘法算式a×b=c中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 例如：在7×8=56中，7和8是56的因数，56是7和8的倍数。 五、常见易错点 1.混淆因数与倍数的依存关系 错误：单独说"12是倍数"或"3是因数"。 正确：必须说"12是3的倍数"或"3是12的因数"。 2.忽略"非0自然数"的前提条件 错误：认为0是任何数的倍数，或0.5是1的因数。 正确：因数和倍数研究的范围是非0自然数。 3.找因数和倍数时出现遗漏或重复 错误：找18的因数只找到1、2、3、6、9，漏掉18。 正确：找因数时应有序寻找，避免遗漏；找倍数时应理解其无限性。 4.倍数的表示方法 错误：将5的倍数写成"5、10、15、20"。 正确：应写成"5、10、15、20……"，表示倍数的无限性。 第二部分 典型例题 【例题1】学校舞蹈队（人数少于50人）举行校园集体舞表演，如果排成8排则多1人，如果排成10排也多1人，这个舞蹈队有多少人？ 【答案】41人 【分析】根据题干分析可得，这个班的人数是8的倍数多1，是10的倍数多1，由此求出50以内8和10的倍数，再加1，本题即可解答。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 2×2×2×5＝40（人）    40＋1＝41（人） 【点睛】抓住“8排多1和10排多1”得出这个班的人数是8的倍数多1，是10的倍数多1，是解决问题的关键。 【例题2】王老师把48本练习册平均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数可能是多少？ 【答案】2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个或48个 【分析】根据题意，48本练习册正好分完，那么小朋友的人数是48的因数；找出48的因数，因为小朋友的人数不可能是1个，所以要排除因数1。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 答：小朋友的人数可能是2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个或48个。 【点睛】本题考查求一个数的因数解决实际问题。 【例题3】有两个自然数，第一个数是36的最大因数，另外一个数比第一个数的6倍多5，这两个自然数的和是多少？ 【答案】257 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，可得36的最大因数是36，根据数量关系：36×6＋5＝另一个数，求出另一个数，两个数相加即可得解。 【详解】 答：这两个自然数的和的257。 【点睛】此题的解题关键是掌握找一个数因数的方法，再根据数量关系求出另一个数，列出综合算式求解。 【例题4】五年级有40人报名参加义务植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求所分的组数大于4，小于10。可以分为几组？ 【答案】5组或8组 【分析】根据题意，找到40的因数，从中找出大于4，小于10的数，就是可以分成的组数。 【详解】40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 大于4，小于10的因数有：5，8。 所以可以分成5组或8组。 答：可以分为5组或8组。 【点睛】掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 第三部分 高频真题 1．下面各数中，（    ）是7的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 【答案】C 【分析】分别计算每个数除以7的结果，能够整除的就是7的倍数。 【详解】A．20÷7＝2……6，不是7的倍数； B．32÷7＝4……4，不是7的倍数； C．49÷7＝7，是7的倍数； D．65÷7＝9……2， 不是7的倍数。 49是7的倍数。 2．一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．12 B．16 C．24 D．48 【答案】B 【分析】因数：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。倍数：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。既有因数6，说明这个数能被6整除；又是4的倍数，说明这个数能被4整除。据此分析各选项，进而得出正确答案。 【详解】A．12÷6＝2，没有余数，说明12能被6整除，所以12有因数6。12÷4＝3，没有余数，说明12是4的倍数。因此12既有因数6，又是4的倍数。 B．16÷6＝2……4，有余数，说明16不能被6整除，所以16没有因数6。虽然16÷4＝4，是4的倍数，但因为不满足有因数6这一条件，所以16不符合要求。 C．24÷6＝4，没有余数，说明24能被6整除，所以24有因数6。24÷4＝6，没有余数，说明24是4的倍数。因此24既有因数6，又是4的倍数。 D．48÷6＝8，没有余数，说明48能被6整除，所以48有因数6。48÷4＝12，没有余数，说明48是4的倍数。因此48既有因数6，又是4的倍数。 一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是16。 3．如果a的最小倍数等于b的最大因数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【答案】C 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此分析。 【详解】根据分析，a的最小倍数是a，b的最大因数是b，如果a的最小倍数等于b的最大因数，那么a和b比较a＝b。 4．用40个相同的小正方形可以拼成（    ）种不同的长方形。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】拼成的长方形中，每排正方形的个数×排数＝40，将40拆成2个正整数相乘的形式，有多少种拆法，就有多少种不同的长方形。 【详解】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 共有4种拆法。 故答案选：A 【点睛】此题主要考查数的拆分，需注意，5×8和8×5属于同一种拆法，拼出的长方形形状是完全一样的。 5．小明在红井边玩耍时，发现了一块石头，它的重量是另一个石头的3倍。如果较轻的石头重2千克，那么较重的石头重多少千克？这体现了因数和倍数的什么关系？（    ） A．4千克，倍数和因数关系 B．6千克，倍数和因数关系 C．8千克，整除关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；先用较轻的石头的质量乘3求出较重的石头的质量，再根据倍数和因数的概念判断两个石头的质量之间的关系即可。 【详解】2×3＝6（千克） 因为2×3＝6，所以2和3是6的因数，6是2和3的倍数。 小明在红井边玩耍时，发现了一块石头，它的重量是另一个石头的3倍。如果较轻的石头重2千克，那么较重的石头重6千克，这体现了倍数和因数关系。 故答案为：B 6．如果长方形的面积是24平方米，那么它的长和宽可能有（    ）种可能。（长和宽取整米数） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】长方体面积＝长×宽，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。能写出几个乘法算式，长和宽就有几种可能。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 共写了4个乘法算式，它的长和宽可能有4种可能。 故答案为：B 7．五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【详解】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 8．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数，叫做完全数。那下面是完全数的是（    ）。 A．2 B．8 C．28 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，先写出四个选项中各数的所有因数，计算因数的和，判断是否符合完全数的定义即可。 【详解】A．2的因数：1，2； 1≠2，所以2不是完全数； B．8的因数：1，2，4，8； 1＋2＋4＝7，7≠8，所以8不是完全数； C．28的因数：1，2，4，7，14，28； 1＋2＋4＋7＋14＝28，28＝28，所以28是完全数； D．12的因数：1，2，3，4，6，12； 1＋2＋3＋4＋6＝16，16≠12，所以12不是完全数。 故答案为：C 9．一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是( )。 【答案】4 【分析】先列举出4的倍数和16的因数，再从16的因数中找出哪些数是4的倍数，由此确定符合要求的最小的数。 【详解】4的倍数：4，8，12，16，20…； 16的因数：1，2，4，8，16； 一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数可能是4、8、16，最小是4。 填空如下： 一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是（4）。 10．36的因数有( )；100以内17的倍数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36 17、34、51、68、85 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个； 求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此解答。 【详解】求36的因数： 从1开始找，36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，所以36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36 。 求100以内17的倍数： 17×1＝17，17×2＝34，17×3＝51，17×4＝68，17×5＝85，17×6＝102（超过100，舍去），所以100以内17的倍数有17，34，51，68，85 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36；100以内17的倍数有17、34、51、68、85。 11．自然数49的因数有( )个，其中最小的是( )。 【答案】 3 1 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数（因数是非0整数），据此求出49的因数，进而求出最小的因数，据此解答。 【详解】49＝1×49＝7×7 49的因数有1，7，49，一共3个。 最小的因数是1。 自然数49的因数有3个，其中最小的是1。 12．如果a的最大因数是19，b的最小倍数是1，那么a＋b的和的所有因数有( )个。 【答案】6 【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，据此求出a和b的值；再进而求出a＋b的值并找出它的所有因数即可。 【详解】因为a的最大因数是19，所以a＝19；b的最小倍数是1，所以b＝1。 a＋b＝19＋1＝20 20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有：1，2，4，5，10，20，有6个。 如果a的最大因数是19，b的最小倍数是1，那么a＋b的和的所有因数有6个。 13．“一五、一十、十五、二十……”这样数数，数到第15个是( )。 【答案】75 【分析】“一五、一十、十五、二十……”这样数数，数出的数都是5的倍数，第15个数就是5的15倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算。 【详解】 “一五、一十、十五、二十……”这样数数，数到第15个是75。 14．一个数的最小倍数和它的最大因数的商是( )，差是( )。 【答案】 1 0 【分析】一个是的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以一个数的最小倍数和它的最大因数的商就是这个数÷这个数，即商是1，差是这个数－这个数，即差是0，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个数的最小倍数和它的最大因数的商是1，差是0。 15．在算式4×5＝20中，20是( )和( )的倍数；4和5是( )的因数。 【答案】 4 5 20 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。 【详解】在算式4×5＝20中，20是4和5的倍数；4和5是20的因数。 16．在1～100以内所有既不能被3整除又不能被7整除的数之和为______。 【答案】2842 【分析】在1到100的整数中，能被3整除的整数为：3×1，3×2，…，3×33； 在1到100的整数中，能被7整除的整数为：7×1，7×2，…，7×14； 在1到100的整数中，既能被3整除又能被7整除，即能被21整除的整数为：21×1，21×2，…，21×4； 在1到100的整数中，所有既不能被3整除又不能被7整除的数之和为＝1到100的总和－能被3整除的整数的和－能被7整除的整数的和＋即能被21整除的整数的和。 利用等差数列的求和公式得出1到100的总和，再利用乘法的分配律提出3并且利用等差数列得出1到33的总和，同理提出7并且利用等差数列得出1到14的总和。最后得出结果 【详解】（1＋2＋3＋…＋99＋100）－（3×1＋3×2＋…＋3×33）－（7×1＋7×2＋…＋7×14）＋（21×1＋21×2＋21×3＋21×4） ＝（1×100）×100÷2－3×（1＋2＋…＋33）－7×（1＋2＋…＋14）＋21×（1＋2＋3＋4） ＝101×100÷2－3×[（1＋33）×33÷2]－7×[（1＋14）×14÷2]＋21×10 ＝5050－3×[34×33÷2]－7×[15×14÷2]＋210 ＝5050－3×561－7×105＋210 ＝5050－1683－735＋210 ＝2842 在1～100以内所有既不能被3整除又不能被7整除的数之和为2842。 【点睛】求1到100之间的和，可以利用等差数列计算。 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示． 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：an＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：n＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2 17．144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有______种分法。 【答案】7 【分析】根据题意可知，橘子的总数＝份数×每份的数量，因为份数和每份的数量都是整数，所以将144拆分为2个整数相乘，据此列举出所有可能，再找到符合10~100的范围内的数。 【详解】144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12 符合题意的有：72、48、36、24、18、16、12，共7种分法。 【点睛】解答本题的关键是每份橘子的个数是整数，然后一一列举出所有可能。 18．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 【答案】 6 8 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 题目中淘气的排列方法是按照从小到大排列，找出24的因数之后，按照从小到大的顺序排列，即可找出漏写的数。据此即可解答。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 所以淘气漏写了6后面的8。 19．3和7是因数，21是倍数。( ) 【答案】× 【分析】整数a除以整数b，所得的商是整数而且没有余数，就是a是b的倍数，b是a的因数。所以，因数和倍数是相互依存，不能单独存在，表述时不能单独说某个数是因数，某个数是倍数，必须谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 【详解】由可知，3和7是21的因数，21是3和7的倍数。 题干中“3和7是因数，21是倍数”的说法错误。 故答案为：× 20．一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。由此可知，一个数的倍数可能等于它的因数，不一定比因数大。 【详解】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。所以一个数的倍数不一定比它的因数大。 故答案为：× 21．一个数的最大因数是a，最小倍数是b，则a＝b。( ) 【答案】√ 【分析】根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身。因此，最大因数a和最小倍数b都等于这个数，所以a等于b。 【详解】一个数的最大因数是它本身，所以a等于这个数；最小倍数是它本身，所以b等于这个数。因此，a＝b。 故答案为：√ 22．一个数的最大因数和最小倍数一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等（在提到因数和倍数时，一般是不包括0的。）。 【详解】例如，10的最大因数是10，最小倍数是10；15的最大因数是15，最小倍数是15。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等，原题说法正确。 故答案为：√ 23．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( ) 【答案】√ 【分析】这句话是正确的，这是由因数和倍数的定义决定的：对于任意一个非零自然数，它的因数是能整除它的数，这些因数里最大的那个就是它自己（比如8的因数有1、2、4、8，最大因数是8）；而它的倍数是这个数乘1、2、3……得到的数，其中最小的倍数就是它乘1的结果，也就是它本身（比如8的倍数有8、16、24……，最小倍数是8）。所以“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的说法是成立的。 【详解】因数的定义：一个数的因数是指能整除这个数的数。一个数的因数个数是有限的，其中最大的因数是它本身（因为一个数除以它自己，商是 1，能整除）。 倍数的定义：一个数的倍数是指这个数的整数倍（乘以 1、2、3……）。一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身（因为这个数乘 1，结果就是它自己）。 因此，“一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身” 的说法符合因数和倍数的基本概念，是正确的。 故答案为：√ 24．某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？ 【答案】4种 【分析】根据题意，行数×列数＝60，即行数和列数是60的一对因数，并且需要满足条件：行数≥3，列数≥3，每行人数＞每列人数，根据乘法算式列出60的因数，看满足条件的有几对即可。 【详解】1×60＝60（1＜3，不符合） 2×30＝60（2＜3，不符合） 3×20＝60（每行20人，每列3人，符合条件） 4×15＝60（每行15人，每列4人，符合条件） 5×12＝60（每行12人，每列5人，符合条件） 6×10＝60（每行10人，每列6人，符合条件） 综上：有4种不同排法。 答：有4种不同的排法。 25．把一根长120厘米的铁丝截成同样长的若干段，每段长为整厘米数，大于10厘米且小于20厘米，共有几种截法？ 【答案】2种 【分析】铁丝总长度＝每段长度×段数，因此每段长度必须是120的因数。 找120的因数中满足大于10且小于20的数，每一个符合条件的因数对应一种截法。 【详解】120的因数：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。 大于10且小于20的数：12，15。 答：共有2种截法。 26．医院打算购买一批疫苗，数量在100到200盒之间，并且比25的倍数多7盒，这批疫苗最多有多少盒？ 【答案】182盒 【分析】先确定25的倍数在100到200之间的最大值，因为要找最多的盒数，所以先计算200除以25得到8，但25×8＝200不符合“在100到200盒之间”的要求，因此取25的7倍，再加上7，即可得到符合条件的最大数量。 【详解】200÷25＝8 8－1＝7 25×7＋7 ＝175＋7 ＝182（盒） 答：这批疫苗最多有182盒。 27．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 【答案】这位同学是许强。 【分析】根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。 【详解】经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。 答：这位同学是许强。 【点睛】此题考查了找一个数的因数的方法的应用。 28．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？ 【答案】49张 【分析】比40张多，比50张少，如果按4张一组来数，剩1张，符合条件的数有41，45， 49三个，再找出符合5张一组来数，剩4张的数即可解答。 【详解】因为如果按4张一组来数，剩1张，且图片张数比40张多，比50张少，则图片的张数是4的倍数且多1张； 所以这些图片可能有41，45，49三个； 45是5的倍数，不符合题意， 41÷5＝8……1，不符合题意； 49÷5＝9……4，符合题意； 答：这些图片有49张。 【点睛】本题考查倍数，明确图片的张数是4的倍数且多1张是解题的关键。 29．四年（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人） 【答案】每行4人，排12列；每行6人，排8列 【分析】根据长方形的面积公式：长×宽，先把48写成两个因数相乘的形式；根据题意每行每列不少于3人，可以确定出每种队形的行数和列数，据此解答。 【详解】48＝4×12＝6×8 排成的长方形有：每行4人，排12列 每行6人，排8列（答案不唯一）。 答：每行4人，排12列；或每行6人，排8列 【点睛】本题考查求一个数因数的方法，再根据题意，确定要排成长方形的行数和列数。 30．五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【详解】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【点睛】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。 31．3路和9路公交车早上6时同时从同一个起点站出发，3路车每隔10分钟发一辆车，9路车每隔12分钟发一辆车，那么这两路车第二次同时发车是几时几分？ 【答案】7时 【分析】先求10和12的最小公倍数是60，也就是在60分钟的时候再次同时发车，也就是距离第一次发车的时间6时，经过了1个小时，所以第二次同时发车是在7时。 【详解】10和12的最小公倍数是60。 60分＝1小时 6时＋1时＝7时 答：这两路车第二次同时发车是7时整。 【点睛】考查最小公倍数的应用，重点是能够准确的求出10和12的最小公倍数。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $