奥数专题-解决问题突破（讲义）- 2025-2026学年五年级下册数学人教版

解决问题突破 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：分数加减法实际应用 3 📌 考点二：最大公因数与最小公倍数应用 4 📌 考点三：长方体和正方体表面积应用 5 📌 考点四：长方体和正方体体积与容积应用 7 📌 考点五：折线统计图实际应用 8 📌 考点六：综合实践与拓展应用 9 ⚠️ 易错避坑指南 10 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 12 一、基础夯实篇 (8 题) 12 二、能力进阶篇 (7 题) 13 三、思维跃迁篇 (5 题) 15 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 17 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 17 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 19 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 21 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题围绕五年级下册核心解决问题类型展开，核心是 “建模解题思维 + 六类解题方法落地”，依托分数应用题、因数倍数应用题、几何应用题、统计应用题四大模块，全面突破解决问题难点。 知识模块 核心内容 适用场景 关键注意事项 分数加减法应用题 求两个量的和或差、求剩余量、求比一个数多 / 少几分之几的量 分数加减法相关的生活问题，如工程、行程、消费 找准单位 “1”，区分具体数量和分率 最大公因数与最小公倍数应用题 求最大公因数用于分组、裁剪、分装问题；求最小公倍数用于周期、相遇、同余问题 生活中的分组、排队、运输、时间安排问题 明确问题是求最大公因数还是最小公倍数 长方体和正方体表面积应用题 计算长方体、正方体的表面积，解决包装、粉刷、贴瓷砖等问题 物品包装、房间粉刷、鱼缸制作等实际问题 根据实际情况确定需要计算几个面的面积 长方体和正方体体积与容积应用题 计算长方体、正方体的体积和容积，解决不规则物体体积问题 物体体积、容器容积、排水法求体积 单位要统一，区分体积和容积的概念 折线统计图应用题 根据折线统计图分析数据趋势、解决统计问题 气温变化、成绩变化、销售情况等统计问题 准确读取数据，结合实际分析趋势 综合实践应用题 结合多个知识点的复杂问题，如找次品、打电话、数学广角 生活中的优化问题、逻辑推理问题 运用优化策略和逻辑推理解决问题 二、解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 数量关系分析法 找出题目中的数量关系，列出算式解答 ①读题理解题意； ②找出已知量和未知量； ③分析数量关系；④列式计算 先找关系，再列算式 公式代入法 利用几何公式、数量公式直接代入计算 ①确定适用的公式； ②找出公式中对应的量； ③代入公式计算；④检验结果 记熟公式，对应量代入 分组转化法 将复杂问题转化为求最大公因数或最小公倍数的问题 ①分析问题本质； ②确定是求大公因还是小公倍； ③用短除法计算；④结合实际解答 分组求大公因，周期求小公倍 数形结合法 通过画图帮助理解题意，分析数量关系 ①根据题意画出线段图或示意图； ②在图上标注已知量和未知量； ③结合图形分析数量关系 画图辅助，一目了然 逆向推理法 从问题出发，反向推导所需条件 ①明确要求的问题； ②找出解决问题需要的条件； ③逐步推导，直到找到已知条件 从后往前推，步步找条件 分类讨论法 考虑问题的多种可能情况，分别解答 ①找出问题的所有可能情况； ②对每种情况分别分析计算； ③综合所有情况得出结论 不遗漏，不重复 三、奥数思维提升 1. 建模思维：将实际问题转化为数学模型，用数学方法解决。 2. 转化思维：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。 3. 分类讨论思维：考虑问题的多种可能性，全面分析解答。 4. 数形结合思维：利用图形直观理解数量关系，简化问题。 5. 优化思维：在多种解决方案中，找到最优的方法。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：分数加减法实际应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 求剩余量） 一根绳子长米，第一次用去米，第二次用去米，还剩多少米？ 解题步骤： ① 先算两次一共用去的长度：米； ② 再用总长度减去用去的长度：米。 【答案】米 【知识点睛】求剩余量用总数量减去用去的数量，异分母分数加减要先通分。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 分率问题） 一块菜地，种白菜，种萝卜，剩下的种青菜，种青菜的面积占这块地的几分之几？ 解题步骤： ① 把这块菜地的总面积看作单位 “1”； ② 先算白菜和萝卜一共占的分率：； ③ 再算青菜占的分率：。 【答案】 【知识点睛】分率问题中，把总量看作单位 “1”，用 1 减去其他部分的分率得到剩余部分的分率。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 比多少问题） 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天比第一天多看了全书的，两天一共看了全书的几分之几？ 解题步骤： ① 先算第二天看的分率：； ② 再算两天一共看的分率：。 【答案】 【知识点睛】求比一个数多几分之几的数，用加法计算，注意单位 “1” 统一。 📌 考点二：最大公因数与最小公倍数应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 最大公因数应用） 有两根铁丝，一根长 18 米，一根长 24 米，现在要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每段最长多少米？一共可以截成多少段？ 解题步骤： ① 求每段最长多少米，就是求 18 和 24 的最大公因数； ② 用短除法计算，18 和 24 的最大公因数是 6； ③ 一共可以截成的段数：18÷6+24÷6=3+4=7 段。 【答案】每段最长 6 米，一共可以截成 7 段 【知识点睛】截成同样长的小段无剩余，求每段最长是多少，就是求两个数的最大公因数。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 最小公倍数应用） 小明和小红去图书馆借书，小明每 6 天去一次，小红每 8 天去一次，如果 5 月 1 日他们在图书馆相遇，那么下一次他们同时去图书馆是几月几日？ 解题步骤： ① 求下一次同时去图书馆的时间，就是求 6 和 8 的最小公倍数； ② 用短除法计算，6 和 8 的最小公倍数是 24； ③ 5 月 1 日加上 24 天，是 5 月 25 日。 【答案】5 月 25 日 【知识点睛】两人再次相遇的时间，就是两人去图书馆间隔天数的最小公倍数。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 同余问题） 一批水果，分给 8 个小朋友或 10 个小朋友都正好分完，这批水果最少有多少个？如果分给 8 个小朋友或 10 个小朋友都剩 3 个，这批水果最少有多少个？ 解题步骤： ① 正好分完时，水果总数是 8 和 10 的最小公倍数，8 和 10 的最小公倍数是 40； ② 都剩 3 个时，水果总数是最小公倍数加 3，40+3=43 个。 【答案】正好分完最少 40 个，都剩 3 个最少 43 个 【知识点睛】同余问题，余数相同时，总数 = 最小公倍数 + 余数。 📌 考点三：长方体和正方体表面积应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 完整表面积计算） 一个长方体礼盒，长 20 厘米，宽 15 厘米，高 10 厘米，要在它的表面包一层彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 解题步骤： ① 长方体表面积公式：(长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高)×2； ② 代入数据：(20×15+20×10+15×10)×2=(300+200+150)×2=650×2=1300 平方厘米。 【答案】1300 平方厘米 【知识点睛】完整的长方体表面积需要计算 6 个面的面积和。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 无盖表面积计算） 一个无盖的长方体鱼缸，长 8 分米，宽 5 分米，高 6 分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 解题步骤： ① 无盖鱼缸只有 5 个面，缺少上面； ② 表面积 = 长 × 宽 +(长 × 高 + 宽 × 高)×2； ③ 代入数据：8×5+(8×6+5×6)×2=40+(48+30)×2=40+156=196 平方分米。 【答案】196 平方分米 【知识点睛】无盖的长方体表面积要减去一个上面的面积。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 切割与拼接表面积变化） 把一个棱长为 6 厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 解题步骤： ① 把正方体切成两个长方体，会增加 2 个正方形的面； ② 每个正方形面的面积：6×6=36 平方厘米； ③ 增加的表面积：36×2=72 平方厘米。 【答案】72 平方厘米 【知识点睛】切割物体时，每切一次增加 2 个面的面积；拼接物体时，每拼一次减少 2 个面的面积。 📌 考点四：长方体和正方体体积与容积应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 体积计算） 一个长方体木箱，长 5 米，宽 3 米，高 2 米，它的体积是多少立方米？ 解题步骤： ① 长方体体积公式：长 × 宽 × 高； ② 代入数据：5×3×2=30 立方米。 【答案】30 立方米 【知识点睛】长方体体积 = 长 × 宽 × 高，正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 容积计算） 一个长方体油箱，从里面量长 50 厘米，宽 40 厘米，高 30 厘米，这个油箱可以装多少升汽油？ 解题步骤： ① 先计算油箱的容积：50×40×30=60000 立方厘米； ② 单位换算：1 升 = 1000 立方厘米，60000 立方厘米 = 60 升。 【答案】60 升 【知识点睛】容积是从容器里面量尺寸计算的，注意体积单位和容积单位的换算。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 排水法求不规则物体体积） 一个长方体水槽，长 20 厘米，宽 15 厘米，水深 10 厘米，放入一块石头后，水深上升到 14 厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 解题步骤： ① 石头的体积等于上升的水的体积； ② 上升的水的高度：14-10=4 厘米； ③ 石头的体积：20×15×4=1200 立方厘米。 【答案】1200 立方厘米 【知识点睛】排水法求不规则物体体积，物体体积等于排开的水的体积。 📌 考点五：折线统计图实际应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 数据读取与分析）下面是某地区 2025 年上半年月平均气温统计图：1 月：2℃，2 月：5℃，3 月：12℃，4 月：18℃，5 月：24℃，6 月：28℃（1）哪个月的平均气温最高？哪个月最低？ （2）平均气温上升最快的是哪个月到哪个月？上升了多少度？ 解题步骤： ① 比较 6 个月的气温，28℃最高，对应 6 月；2℃最低，对应 1 月； ② 计算每个月的气温上升幅度：2 月比 1 月上升 3℃，3 月比 2 月上升 7℃，4 月比 3 月上升 6℃，5 月比 4 月上升 6℃，6 月比 5 月上升 4℃； ③ 上升最快的是 2 月到 3 月，上升了 7℃。 【答案】（1）6 月最高，1 月最低；（2）2 月到 3 月，上升了 7℃ 【知识点睛】折线统计图中，折线越陡，说明数据变化越快。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 趋势预测与决策）某商店 2025 年 1-5 月空调销量如下：1 月 10 台，2 月 15 台，3 月 25 台，4 月 40 台，5 月 60 台。（1）空调销量整体呈什么趋势？ （2）预测 6 月销量可能是多少台？为什么？ 解题步骤： ① 观察销量数据，逐月增加，整体呈上升趋势； ② 5 月比 4 月增加了 20 台，预测 6 月增加的幅度会继续增大，可能是 90 台左右； ③ 原因：天气越来越热，空调需求会继续增加。 【答案】（1）上升趋势；（2）约 90 台，因为天气变热，需求增加 【知识点睛】预测数据要结合实际背景和前面的变化趋势。 📌 考点六：综合实践与拓展应用 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 找次品问题） 有 5 袋盐，其中 4 袋质量相同，另有 1 袋质量不足，用天平称，至少称几次能保证找到这袋盐？ 解题步骤： ① 把 5 袋盐分成 2 袋、2 袋、1 袋； ② 把两份 2 袋的放在天平两端称量，如果平衡，剩下的 1 袋是次品；如果不平衡，次品在轻的 2 袋中； ③ 把轻的 2 袋再称一次，轻的是次品。所以至少称 2 次。 【答案】2 次 【知识点睛】找次品最优方法是三分法，尽量平均分成 3 份。 ✨ 典型例题 2（奥数型 —— 打电话问题） 一个舞蹈队有 15 人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知 1 人，最少花多少分钟就能通知到所有人？ 解题步骤： ① 第 1 分钟，老师通知 1 人，共通知 1 人； ② 第 2 分钟，老师和 1 个队员分别通知 1 人，共通知 1+2=3 人； ③ 第 3 分钟，老师和 3 个队员分别通知 1 人，共通知 3+4=7 人； ④ 第 4 分钟，老师和 7 个队员分别通知 1 人，共通知 7+8=15 人。所以最少花 4 分钟。 【答案】4 分钟 【知识点睛】打电话问题，每分钟通知的人数是前一分钟的 2 倍，n 分钟最多能通知 2^n-1 人。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 分数应用题单位 “1” 找错 错误示例：一根绳子长 5 米，用去米，还剩米。 正确分析：这里的米是具体数量，不是分率，应该用 5-=4米。 修正方法：区分具体数量和分率，分率是没有单位的，具体数量有单位。 ❌ 最大公因数与最小公倍数应用题混淆 错误示例：用长 6 厘米、宽 4 厘米的长方形纸片拼成一个正方形，至少需要多少张？求 6 和 4 的最大公因数。 正确分析：拼成正方形，边长是 6 和 4 的最小公倍数，不是最大公因数。6 和 4 的最小公倍数是 12，正方形边长 12 厘米，需要 (12÷6)×(12÷4)=2×3=6 张。 修正方法：求 “最少需要多少”“下一次同时” 等问题，一般是求最小公倍数；求 “最多每份多少”“最长多少” 等问题，一般是求最大公因数。 ❌ 长方体表面积计算漏面或多算面 错误示例：计算无盖鱼缸的表面积时，算了 6 个面的面积。 正确分析：无盖鱼缸只有 5 个面，缺少上面，应该用长 × 宽 +(长 × 高 + 宽 × 高)×2 计算。 修正方法：根据实际情况判断需要计算几个面的面积，常见的无盖、无底、通风管等要注意面的数量。 ❌ 体积与容积单位混淆，单位不统一 错误示例：一个长方体油箱，从里面量长 5 分米，宽 4 分米，高 3 分米，容积是 60 立方米。 正确分析：单位错误，5×4×3=60 立方分米 = 60 升，不是 60 立方米。 修正方法：计算时注意单位统一，容积单位常用升和毫升，1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米。 ❌ 排水法求体积时，用水的总体积代替上升的水的体积 错误示例：水槽长 20 厘米，宽 15 厘米，水深 10 厘米，放入石头后水深 14 厘米，石头体积是 20×15×14=4200 立方厘米。 正确分析：石头体积是上升的水的体积，应该用 20×15×(14-10)=1200 立方厘米。 修正方法：排水法求体积，用底面积乘水面上升的高度，不是乘现在的水深。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇 (8 题) 1. 一根铁丝长米，第一次用去米，第二次用去米，还剩多少米？ 2. 有两根绳子，一根长 12 米，一根长 18 米，要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每段最长多少米？ 3. 一个正方体棱长 5 分米，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 4. 一个长方体油箱，从里面量长 6 分米，宽 5 分米，高 4 分米，这个油箱可以装多少升油？ 5. 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了全书的几分之几？ 6. 有 10 个零件，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 7. 一个长方体水池，长 10 米，宽 5 米，深 2 米，在它的四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 8. 某地区一周的气温如下：周一 15℃，周二 16℃，周三 18℃，周四 20℃，周五 19℃，周六 17℃，周日 16℃。这一周的平均气温是多少摄氏度？ 二、能力进阶篇 (7 题) 9. 一块菜地，种黄瓜，种西红柿，剩下的种茄子，种茄子的面积比黄瓜多占这块地的几分之几？ 10. 学校组织学生参加活动，人数在 40 到 50 之间，如果分成 6 人一组或 8 人一组都正好分完，参加活动的学生有多少人？ 11. 一个长方体玻璃缸，长 8 分米，宽 6 分米，高 4 分米，水深 2.8 分米。如果投入一块棱长为 4 分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 12. 把一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 6 厘米的长方体切成两个完全相同的长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 13. 小明和爸爸绕操场跑步，爸爸跑一圈用 6 分钟，小明跑一圈用 8 分钟。他们同时从起点出发，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时爸爸和小明各跑了多少圈？ 14. 一个房间长 6 米，宽 4 米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。现在要粉刷这个房间的四壁和顶面，粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米需要涂料 0.5 千克，一共需要多少千克涂料？ 15. 下面是某商店 2025 年上半年 A、B 两种品牌饮料销量统计表：| 月份 | 1 月 | 2 月 | 3 月 | 4 月 | 5 月 | 6 月 ||---|---|---|---|---|---|---||A 品牌 / 箱 | 120|100|80|90|110|130||B 品牌 / 箱 | 90|110|120|130|140|150|（1）根据统计表绘制复式折线统计图；（2）哪种品牌饮料的销量增长更快？（3）如果你是店主，下半年应该如何进货？ 三、思维跃迁篇 (5 题) 16. 有一个长方体，它的底面是一个正方形，表面积是 160 平方厘米，如果把它切成两个体积相等的长方体，表面积增加了 32 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 17. 一个长方体容器，底面是边长为 20 厘米的正方形，里面水深 15 厘米。现在把一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 5 厘米的长方体铁块浸没在水中，水面会上升多少厘米？ 18. 有一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友，如果每人分 5 个，还剩 32 个；如果每人分 8 个，还有 5 个小朋友分不到。这批苹果有多少个？ 19. 一个正方体木块，棱长为 10 厘米，把它的表面都涂上红色，然后切成棱长为 1 厘米的小正方体。问：三面涂色的小正方体有多少个？两面涂色的有多少个？一面涂色的有多少个？没有涂色的有多少个？ 20. 甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲完成了这项工程的，乙完成了这项工程的，剩下的由丙完成。丙完成了这项工程的几分之几？谁完成的工程最多？ 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 1. 【答案】米 解题步骤： ① 先算两次一共用去的长度：米； ② 再算剩余长度：米。 【知识点睛】分数加减法要先通分，再计算。 2. 【答案】6 米 解题步骤： ① 求每段最长多少米，就是求 12 和 18 的最大公因数； ② 12 和 18 的最大公因数是 6。 【知识点睛】截成同样长的小段无剩余，求最长段长用最大公因数。 3. 【答案】表面积 150 平方分米，体积 125 立方分米 解题步骤： ① 正方体表面积 = 棱长 × 棱长 ×6=5×5×6=150 平方分米； ② 正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 = 5×5×5=125 立方分米。 【知识点睛】熟记正方体表面积和体积公式。 4. 【答案】120 升 解题步骤： ① 油箱容积 = 长 × 宽 × 高 = 6×5×4=120 立方分米； ② 120 立方分米 = 120 升。 【知识点睛】1 立方分米 = 1 升。 5. 【答案】 解题步骤： ① 通分，分母 6 和 4 的最小公倍数是 12； ② 。 【知识点睛】异分母分数相加，先通分再计算。 6. 【答案】3 次 解题步骤： ① 把 10 个零件分成 3 个、3 个、4 个； ② 称两份 3 个的，平衡则次品在 4 个中，不平衡则在轻的 3 个中； ③ 最多再称 2 次就能找到次品，一共 3 次。 【知识点睛】10 个物品找次品最少需要 3 次。 7. 【答案】110 平方米 解题步骤： ① 抹水泥的面积 = 底面面积 + 四周面积； ② 底面面积 = 10×5=50 平方米； ③ 四周面积 =(10×2+5×2)×2=60 平方米； ④ 总面积 = 50+60=110 平方米。 【知识点睛】水池抹水泥只抹底面和四周，不抹上面。 8. 【答案】17℃ 解题步骤： ① 先算一周总气温：15+16+18+20+19+17+16=121℃； ② 平均气温 = 121÷7≈17℃。 【知识点睛】平均数 = 总数量 ÷ 总份数。 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 9. 【答案】 解题步骤： ① 先算茄子占的分率：1--=； ② 再算茄子比黄瓜多的分率：-= 【知识点睛】求一个数比另一个数多几分之几，用减法计算。 10. 【答案】48 人 解题步骤： ① 人数是 6 和 8 的公倍数，6 和 8 的公倍数有 24、48、72……； ② 在 40 到 50 之间的是 48 人。 【知识点睛】正好分完，人数是两个数的公倍数。 11. 【答案】6.4 升 解题步骤： ① 玻璃缸剩余空间的体积：8×6×(4-2.8)=8×6×1.2=57.6 立方分米； ② 正方体铁块的体积：4×4×4=64 立方分米； ③ 溢出的水的体积：64-57.6=6.4 立方分米 = 6.4 升。 【知识点睛】溢出的水的体积 = 铁块体积 - 玻璃缸剩余空间体积。 12. 【答案】最多增加 160 平方厘米，最少增加 96 平方厘米 解题步骤： ① 切割一次增加 2 个面的面积； ② 要使表面积增加最多，就平行于最大的面切割，最大面是 10×8=80 平方厘米，增加 80×2=160 平方厘米； ③ 要使表面积增加最少，就平行于最小的面切割，最小面是 8×6=48 平方厘米，增加 48×2=96 平方厘米。 【知识点睛】切割面越大，增加的表面积越多。 13. 【答案】24 分钟，爸爸跑了 4 圈，小明跑了 3 圈 解题步骤： ① 求再次在起点相遇的时间，就是求 6 和 8 的最小公倍数； ② 6 和 8 的最小公倍数是 24； ③ 爸爸跑的圈数：24÷6=4 圈； ④ 小明跑的圈数：24÷8=3 圈。 【知识点睛】两人在起点再次相遇的时间是两人跑一圈时间的最小公倍数。 14. 【答案】粉刷面积 76 平方米，需要涂料 38 千克 解题步骤： ① 粉刷面积 = 顶面面积 + 四壁面积 - 门窗面积； ② 顶面面积 = 6×4=24 平方米； ③ 四壁面积 =(6×3+4×3)×2=60 平方米； ④ 粉刷面积 = 24+60-8=76 平方米； ⑤ 需要涂料：76×0.5=38 千克。 【知识点睛】粉刷房间要减去门窗面积。 15. 【答案】（1）绘制复式折线统计图（略）；（2）B 品牌增长更快；（3）下半年多进 B 品牌饮料，同时保持 A 品牌的进货量 解题步骤： ① 绘制统计图：横轴是月份，纵轴是销量，实线表示 A 品牌，虚线表示 B 品牌，描点连线； ② 分析趋势：A 品牌销量先降后升，B 品牌销量持续上升，且增长幅度更大； ③ 进货建议：根据销量趋势，多进增长快的 B 品牌。 【知识点睛】复式折线统计图便于对比两组数据的变化趋势。 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 16. 【答案】128 立方厘米 解题步骤： ① 切成两个长方体，表面积增加了 2 个底面的面积，所以一个底面面积是 32÷2=16 平方厘米； ② 底面是正方形，所以底面边长是 4 厘米（因为 4×4=16）； ③ 长方体的侧面积 = 表面积 - 2 个底面面积 = 160-32=128 平方厘米； ④ 长方体的高 = 侧面积 ÷ 底面周长 = 128÷(4×4)=128÷16=8 厘米； ⑤ 原来长方体的体积 = 底面积 × 高 = 16×8=128 立方厘米。 【知识点睛】切割增加的表面积是 2 个切面的面积，侧面积 = 底面周长 × 高。 17. 【答案】1 厘米 解题步骤： ① 铁块的体积 = 10×8×5=400 立方厘米； ② 容器的底面积 = 20×20=400 平方厘米； ③ 水面上升的高度 = 铁块体积 ÷ 容器底面积 = 400÷400=1 厘米。 【知识点睛】水面上升的高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 18. 【答案】152 个 解题步骤： ① 每人分 8 个，5 个小朋友分不到，说明少了 8×5=40 个苹果； ② 两种分法相差的苹果数：32+40=72 个； ③ 每人相差的苹果数：8-5=3 个； ④ 小朋友的人数：72÷3=24 人； ⑤ 苹果总数：24×5+32=120+32=152 个。 【知识点睛】盈亏问题，(盈 + 亏)÷ 两次分配差 = 份数。 19. 【答案】三面涂色 8 个，两面涂色 96 个，一面涂色 384 个，没有涂色 512 个 解题步骤： ① 三面涂色的小正方体在正方体的顶点处，正方体有 8 个顶点，所以 8 个； ② 两面涂色的在棱上，每条棱上有 10-2=8 个，12 条棱共有 8×12=96 个； ③ 一面涂色的在面上，每个面上有 (10-2)×(10-2)=64 个，6 个面共有 64×6=384 个； ④ 没有涂色的在内部，有 (10-2)×(10-2)×(10-2)=512 个。 【知识点睛】正方体涂色问题，三面在顶点，两面在棱上，一面在面上，无色在内部。 20. 【答案】丙完成了，丙完成的最多 解题步骤： ① 丙完成的分率：1--=1--=； ② 比较三个分率：=，=，>>； ③ 所以丙完成的最多。 【知识点睛】把工程总量看作单位 “1”，用 1 减去甲和乙完成的分率得到丙的分率，再比较大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $