21.1二次函数 课件 -2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数定义，涵盖一般形式、参数求解及实际应用。通过围网面积、销售额增长等问题情境导入，结合复习函数、一次函数等旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，含视频引导思考曲线与函数关系。 其亮点是以实际问题驱动，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理与运算）、数学语言（建立模型）。如矩形面积、销售利润问题引导抽象二次函数，典例精析强化定义理解，附带详细解析助学生巩固，教师可直接用于基础巩固与提升教学。

沪科版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 21.1二次函数 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级上册21.1二次函数同步练习题 本次练习题紧扣21.1二次函数核心知识点，涵盖二次函数的定义、判别、一般式转化、参数求解及简单实际应用，题型由浅入深，贴合课本重难点，适合课后基础巩固与提升，附带详细参考答案与解析。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. \(y=3x-1\) B. \(y=\frac{1}{x^2}\) C. \(y=x^2-2x\) D. \(y=2x\) 2. 若函数\(y=(m-2)x^2+3x-1\)是二次函数，则\(m\)的取值范围是（） A. \(m≠2\) B. \(m=2\) C. \(m>2\) D. \(m<2\) 3. 矩形周长为20cm，设一边长为\(x\)cm，面积为\(y\)cm²，则\(y\)与\(x\)的函数关系式是（） A. \(y=x(20-x)\) B. \(y=x(10-x)\) C. \(y=10x-x^2\) D. B、C均对 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 二次函数\(y=2x^2-5x+1\)的二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______。 5. 若\(y=(m+1)x^{m^2+1}\)是二次函数，则\(m=\)______。 6. 将函数\(y=(x-2)^2+3\)化为二次函数一般式为____________。 三、解答题（共60分） 7.（20分）判断下列函数是否为二次函数，若是，请写出各项系数；若不是，请说明理由。 （1）\(y=5x^2-7\) （2）\(y=3x(x-1)\) （3）\(y=\sqrt{x^2+1}\) （4）\(y=2x+1\) 8.（20分）已知一个直角三角形的两条直角边的和为12cm，设其中一条直角边长为\(x\)cm，三角形面积为\(S\)cm²，求\(S\)与\(x\)的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围。 9.（20分）某商店销售一款文具，每件进价4元，售价为\(x\)元，每天销量为\((100-5x)\)件，求每天的利润\(w\)（元）与售价\(x\)（元）之间的二次函数关系式。 参考答案与解析 一、选择题 1. C 解析：二次函数需满足自变量最高次数为2，且整式形式，A、D为一次函数，B为分式函数，只有C符合定义。 2. A 解析：二次函数二次项系数不为0，即\(m-2≠0\)，得\(m≠2\)。 3. D 解析：周长20cm，邻边长为\((10-x)\)cm，面积\(y=x(10-x)=10x-x^2\)，B、C式子等价。 二、填空题 4. 2、-5、1 5. 1（解析：\(m^2+1=2\)且\(m+1≠0\)，解得\(m=1\)） 6. \(y=x^2-4x+7\) 三、解答题 7. （1）是，二次项系数5，一次项系数0，常数项-7；（2）是，展开得\(y=3x^2-3x\)，二次项系数3，一次项系数-3，常数项0；（3）不是，不是整式函数；（4）不是，自变量最高次数为1，是一次函数。 8. 解：另一条直角边长为\((12-x)\)cm，\(S=\frac{1}{2}x(12-x)=-\frac{1}{2}x^2+6x\)，自变量取值范围：\(0<x<12\)（边长为正数）。 9. 解：单件利润为\((x-4)\)元，利润\(w=(x-4)(100-5x)=-5x^2+120x-400\)。 练习小结：本次练习重点巩固了二次函数的核心定义，核心要点为整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，同时结合几何、销售实际场景，掌握二次函数模型的建立方法，是本节课的基础核心考点。 思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗? 点击视频 开始播放 1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 3. 一元二次方程的一般形式是什么？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数. 2. 什么是一次函数？正比例函数？ ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). 问题1 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 二次函数的定义 1 解 设围成的矩形水面的一边长为 x m，面积为 S m²，则有 S = x(20 - x) S = - x2 + 20x 对于 x 的每一个值，S 都有唯一确定的对应值，即 S 是 x 的函数. 追问：S 与 x 是函数关系吗？ 问题2 某公司今年 1 月销售额为 100 万元. 公司制订销售目标，计划每月销售额增长率为 x. 按此计划，3 月的销售额是多少万元？ 解 按题意，2 月的销售额为 100(1 + x) 万元. 设 3 月的销售额为 y 万元，则有 y = 100(1 + x)2 y = 100x2 + 200x + 100 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 追问：y 与 x 是函数关系吗？ 问题3 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间t s 满足 h = 10t - ×10t2 + 0.2. 排球离地面的最大高度是多少？ h = -5t2 + 10t + 0.2. 追问：h 与 t 是函数关系吗？ 对于 t 的每一个值，h 都有唯一的一个对应值，即 h 是 t 的函数. 问题 1~3 中的函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 S = - x2 + 20x y = 100x2 + 200x + 100 h = -5t2 + 10t + 0.2. 想一想 二次函数的定义： 一般地，表达式形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； （2）a，b，c 为常数，且 a ≠ 0； （3）等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 知识要点 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量) ① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x²； ③ y = x2； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = (x+3)² - x². 不一定是，缺少 a≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 6x + 9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等. 方法归纳 解： （1）由题意知 解得 （2）由题意知 解得 m = 3. 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视. 注意 例2 (1) 当 m 取何值时，此函数是 正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？ 典例精析 1. 已知 ，k 取何值时，y 是 x 的二次函数？ 解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的二次函数. 解： 由题意得 所以 m ≠ ±3. 练一练 12 解： 由题意得 【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 思考：在问题1 中，所得出 S 关于 x 的函数关系式 S = - x2 + 20x，其自变量 x 的取值有什么限制吗？ x＞20 【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际情况，使实际问题有意义. 例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. 解：∵ AB 边长为 x 米， ∴ y＝ (30－x)x＝ ∴ AD 边长为 (30－x) 米. (0＜x＜30). 在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围. 注意 二次函数的值 例4 已知二次函数 (k 为常数). （1）求 k 的值； （2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式，得 （2）当 k = 2 时， 2 此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值. 归纳总结 【练一练】某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元. 每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次. 解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120， 整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝12 (舍去)，x2＝6． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数 C 1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 . -3x2 -16 12 随堂练习 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5. ① 当 m =＿＿时，y 是 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是 x 的二次函数. 1 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y = 2x＋1 B． C．y = 3x2＋1 D． C 随堂练习 5. 若函数 是二次函数，求： （1）a 的值； （2）函数表达式； （3）当 x = -2 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 a = -1. （2）函数表达式为 （3）将 x = -2 代入函数关系式中，得 随堂练习 6. 写出下列各函数关系式，并判断它们的函数类型. （1）正方体的表面积 S (cm2) 与正方体棱长 a (cm) 之间的函数关系； （2）圆的面积 y (cm2) 与它的周长 x (cm) 之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为 26 cm，求菱形的面积 S (cm2) 与一对角线长 x (cm) 之间的函数关系. 二次函数 二次函数 二次函数 随堂练习 7. 某商店销售一种成本为每千克 40 元的商品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克 55 元时，计算月销售量和销售利润分别为多少； （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围）. 450 kg，6750 元 随堂练习 8. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求： （1）y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当 x = 3 时矩形的面积. 解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2. 随堂练习 25 二次函数 定 义 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0. 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数) 课堂小结 $