精品解析：吉林长春力旺实验初级中学2025-2026学年九年级下学期6月中考模拟数学试题

数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 根据法则进行计算即可． 【详解】解：， . 2. 下面几何体中，是三棱锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： A．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，，此选项不符合题意； B．根据积的乘方法则：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘 ，，此选项不符合题意； C．与不是同类项，不能合并，因此，此选项不符合题意； D．根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加， 正确，此选项符合题意． 4. 若是某不等式的解，则该不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足不等式的数就是不等式的解，将代入各选项验证即可得到答案. 【详解】解： A选项： 不成立，不是不等式的解，故A选项错误； B选项： 不成立，不是不等式的解，故B选项错误； C选项： 成立，是不等式的解，故C选项符合要求； D选项： 不成立，不是不等式的解，故D选项错误． 5. 已知正比例函数的图象上两点，，如果，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点横纵坐标的大小关系判断正比例函数的增减性，利用正比例函数的性质得到关于m的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵点，， ∴， 又∵， ∴随的增大而减小， ∴正比例函数的比例系数， 解得：． 6. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，可以求出，，根据平行线分线段成比例定理即可求出的长度． 【详解】解：如图所示， 直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ，， ， ， ， ， ． 7. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 8. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴，轴，可证四边形是正方形、，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，轴， ， 四边形是矩形， ∴， ， 是第一象限的角平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为， 代入反比例函数的解析式， 可得：， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果． 【详解】解：单项式的系数是-1． 故答案是：-1． 【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义． 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个扇形的面积是其所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角是______度． 【答案】120 【解析】 【分析】设圆心角为，半径为r，利用圆面积以及扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设圆心角为，半径为r， 由题意：， 解得， 故答案为：120． 【点睛】本题考查扇形的面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13. 如图，用三个完全相同的正五边形地砖铺设地面，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理求出正五边形每个内角的度数，再根据周角是求出的度数． 【详解】解：如下图所示， 正五边形的每个内角为， ， ． 14. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是、的中点，连接、交于点，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】证明，利用全等三角形的性质可判断①，结合余角的性质得到，再利用三角形等积法可算出，可判断②；过点G作于M，交于N，利用勾股定理求出，等面积法求出，得到，勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，可判断③；利用，得点A、B、E、G四点共圆，即可得出，可判断④． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 和分别为和中点， ， ， ，故①正确； ∴，， ， ， ，即， ，， ， ， ∴故②正确； 过点G作于M，交于N， 则四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴点A、B、E、G四点共圆， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 16. 五一期间，甲、乙两人决定从以下部电影中任选一部观看：A《消失的人》，B《寒战1994》，C《给阿嬷的情书》．两人各自随机从中任选一部电影．请用列表或画树状图的方法，求出甲、乙两人选择同一部电影观看的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人选择同一部电影观看的情况有种，甲、乙两人选择同一部电影观看的概率为 【详解】解：画树状图如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人选择同一部电影观看的情况有种， 甲、乙两人选择同一部电影观看的概率为 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作矩形，使点P在边上； （2）在图②中，作使点P为对称中心． 【答案】（1）如图，矩形即为所求， （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）取点P所在的格线上的格点C、D，得格线、且使，再连接、、即可． （2）连接，并延长至格点E，连接，并延长至格点F，再连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某生活超市用元购进一批饮料，进入市场后供不应求，超市又用元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 【答案】 购进第一批饮料的单价为元 【解析】 【分析】设购进第一批饮料的单价是元，则第二批饮料的单价是元，列分式方程求解即可． 【详解】解：设购进第一批饮料的单价是元，则第二批饮料的单价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 答：购进第一批饮料的单价是元． 19. 如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC，结合已知条件，从而得出四边形EBFC是平行四边形，再根据得出四边形EBFC是菱形． 【详解】证明：， ， ∴四边形EBFC是平行四边形 又， ∴四边形EBFC是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 20. 随着科技发展，人工智能已然走进了人们的生活．现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（）的数据进行整理分析，共分为四组，A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：62，74，76，87，87，90，93，96，98，100． 人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：89，89，90，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 豆包 86.3 86.3 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若本次调查有1000名用户对豆包进行了评分，有1200名用户对进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的用户总数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为________． 【答案】（1）88.5；87；89 （2）640 （3）88 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：豆包人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平均数， 中位数； 豆包人工智能软件得分数据中87出现的次数最多， 众数； 人工智能软件得分数据中：共10个数据，其中位数为第5与第6个数之和的平均数， 组有（个，组有（个， 人工智能软件得分的中位数为组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， 中位数． 【小问2详解】 解: （名， 估计估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为640名． 【小问3详解】 解：新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88， 新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是88分，即有两个评分低于88分，有两个评分高于88分， 豆包人工智能软件原得分从小到大排列的第5个是87，第6个是90， 合在一起的15个评分中，第8个是88，即中位数为88． 21. 节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，直接写出该游客所花的费用． 【答案】（1）40 （2） （3）900元 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）先理解题意，再把代入求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴优惠前草莓的销售价格为每千克40元． 【小问2详解】 解：设当时y与x的函数解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴当时y与x的函数解析式为． 【小问3详解】 解：∵ ∴当时，． 答：该游客所花的费用为900元． 22. 【知识背景】 如图①，、都是等腰直角三角形，，只用无刻度的直尺作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形． 【方法探索】 （1）数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等腰直角，，点是外一点，连结、、，若，，，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法．小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等腰直角，，连结．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 （2）如图④，为的直径，，点是弧上的一点，连结，，点是外一点，且，连结．若在点运动过程中，始终有，连结，则线段长度的最大值为________． 【答案】（1）解：以为边作等腰直角，，连结，如图③， 则， ， ， 等腰直角，， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得， ， ． （2）10 【解析】 【分析】（1）先证明，得，再在中，由勾股定理，得，然后在中，由勾股定理，得，则，即可求解． （2）作的垂直平分线，垂足为E，交于F，证明在点运动过程中，始终有，则点D在以点F为圆心，为半径的圆上，所以当经过点F时，最大，即的最大值为的直径，则的最大值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶如图，作的垂直平分线，垂足为E，交于F， 则， 是等边三角形， ，即， ， ， 是等腰三角形， ， 在与中， ， ， ， ， 在点运动过程中，始终有，则点D在以点F为圆心，为半径的圆上， 当经过点F时，最大，即的最大值为的直径， 的最大值． 23. 如图1，在中，，．点是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且，分别连接、． （1）________； （2）证明； （3）如图2，连接，当时，求的长； （4）当点、点其中一点到的距离等于另一点到的距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：根据旋转可得：， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过点C作于点F，解直角三角形得出，根据勾股定理先求出，再求出； （2）先证明，得出，从而得出，根据两边对应成比例且夹角相等即可证明； （3）设与交于点H，根据等腰三角形的性质得出，根据，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据相似三角形的性质得出，求出结果即可； （4）分两种情况：当点到的距离等于点D到的距离的2倍时，当点D到的距离等于点P到的距离的2倍时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设与交于点H，如图所示： ∵，， ∴，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：当点到的距离等于点D到的距离的2倍时，过点D作于点H，过点P作于点Q，过点A作于点F，如图所示： 则，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 当点D到的距离等于点P到的距离的2倍时，过点D作于点H，过点P作于点Q，过点A作于点F，如图所示： 则，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上，或． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）经过点和点．点是该抛物线上一点，点的横坐标为，连接、和． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积是时，求点的坐标； （3）已知点是直线上一点，且点的横坐标为，连接和： ①当时，求的值和的面积； ②当，且的面积是面积的一半时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）①，；②或或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法进行计算即可； （2）先表示出点，由点、的坐标可知，，且轴，因此，代入解方程即可； （3）①利用坐标和勾股定理表示出、和，由可得，代入解方程，求出的值后，利用（2）中的面积公式进行计算即可； ②延长交轴于点，先求出直线的解析式，从而得到点，利用割补法求出，结合（2）的结论，，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是该抛物线上一点，且横坐标为， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，且轴， ∵， ∴， ∴，即， 当时， 整理，得， 解得， 当时， 整理，得， ， ∴该方程无实数根， 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①由题意可知，点的坐标为， 设， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得， ∴点的坐标为， 由（2）可知，； ②如图，延长交轴于点， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴ ， 由（2）可知，， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 当时， 整理，得， 解得或； 当时， 整理，得， 解得或（负值舍去）； 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下面几何体中，是三棱锥的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是某不等式的解，则该不等式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正比例函数的图象上两点，，如果，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是______． 10. 分解因式：____________． 11. 计算的结果是________． 12. 一个扇形的面积是其所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角是______度． 13. 如图，用三个完全相同的正五边形地砖铺设地面，则的度数为________． 14. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是、的中点，连接、交于点，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 五一期间，甲、乙两人决定从以下部电影中任选一部观看：A《消失的人》，B《寒战1994》，C《给阿嬷的情书》．两人各自随机从中任选一部电影．请用列表或画树状图的方法，求出甲、乙两人选择同一部电影观看的概率． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作矩形，使点P在边上； （2）在图②中，作使点P为对称中心． 18. 某生活超市用元购进一批饮料，进入市场后供不应求，超市又用元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 19. 如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形. 20. 随着科技发展，人工智能已然走进了人们的生活．现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（）的数据进行整理分析，共分为四组，A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：62，74，76，87，87，90，93，96，98，100． 人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：89，89，90，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 豆包 86.3 86.3 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若本次调查有1000名用户对豆包进行了评分，有1200名用户对进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的用户总数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为________． 21. 节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，直接写出该游客所花的费用． 22. 【知识背景】 如图①，、都是等腰直角三角形，，只用无刻度的直尺作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形． 【方法探索】 （1）数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等腰直角，，点是外一点，连结、、，若，，，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法．小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等腰直角，，连结．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 （2）如图④，为的直径，，点是弧上的一点，连结，，点是外一点，且，连结．若在点运动过程中，始终有，连结，则线段长度的最大值为________． 23. 如图1，在中，，．点是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且，分别连接、． （1）________； （2）证明； （3）如图2，连接，当时，求的长； （4）当点、点其中一点到的距离等于另一点到的距离的2倍时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）经过点和点．点是该抛物线上一点，点的横坐标为，连接、和． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积是时，求点的坐标； （3）已知点是直线上一点，且点的横坐标为，连接和： ①当时，求的值和的面积； ②当，且的面积是面积的一半时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $